一类最值问题的一般解法

【摘要】近几年，高考题和高考模拟题经常出现求齐次式的最值，对于该类问题求解，学生往往一筹莫展，心存畏惧。事实上对于齐次式求最值可根据具体情况，会有多种解法：因式分解后换元，重要不等式法等。现代数学教学往往弱化特解特法，注重通解通法，这里着重介绍这类问题的最一般解法——极坐标代换法和判别式法，谈谈这两种方法如何实施。

【关键词】极坐标法 齐次式 判别式法

【中图分类号】G634.605 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）45-0164-02

题目1： 已知x2-xy+y2=3，求x2+xy+y2的范围。（2005年浙江高考题改编）

命题组提供了两种解法：一种是构造二次方程用判别式法；另一种用重要不等式求解，但两种解法都有一定的局限性，尤其不等式法往往只能确定上界或下界，另一个界常常要综合考虑，费时费力。

我们注意到已知等式和目标式都是齐次式，对于齐次式求最值的一般性方法是极坐标代换法与代“1”转化为纯齐次式再减元，然后用判别式法求解。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入已知等式

？圯ρ2=■，

？圯x2+xy+y2=ρ2（1+sinθcosθ）=3■=3■（-■≤t=■sin2θ≤■）=3（-1-■）∈[1，9]

解法2：令x2+xy+y2=s？圯■=1？圯x2-xy+y2=3■？圯（■）■-■+1=■[（■）■+■+1]（令t=■）？圯（1-■）t2-（1+■）t+1-■=0？圯△=（1+■）■-4（1-■）■≥0？圯1≤s≤9 （1-■=0時？圯s=3显然成立）

近年来在数学竞赛和高考模拟中常常出现已知和目标都是齐次式求最值的情形。

题目2：已知x2-3xy+2y2=1，求x2+y2的最小值。（2012年辽宁初赛题）

命题组提供解法：由已知得 （x-y）（x-2y）=1？圯令x-y=t，得x-2y=■？圯x=2t-■，y=t-■？圯x2+y2=5t2+■-6≥2■-6

所以，最小值是2■-6。

这种解法局限于已知二次齐次式在有理数域上能分解，若已知齐次式只能在无理域或复数域分解或者分解式较繁，则该方法不是最佳选项，我们还是回归到问题的一般解法上。

解法1： 令x=ρcosθ，y =ρsinθ？圯ρ2=■

？圯ρ2=■？圯x2+y2=■？圯最小值为■=2■-6

解法2：令x2+y2 =s？圯■（x2+y2）=1？圯x2-3xy+2y2=■（x2+y2）

两边同时除以y2 ，并令■=t？圯（1-■）t2-3t+2-■=0，（显然s=1时，t=-■）s≠1时？圯△=9-4（1-■）（2-■）≥0？圯s≥-6+2■（s>0）

题目3：已知■-y2 =1，求3x2-2xy最小值。（2016年南通市二模试题）

命题组提供解法：一是将已知分解代换，与上述例题第一种解法类似，另一种解法则是利用双曲线的参数方程转化为三角式再求导求最值。但因式分解代换法较难想到，而双曲线参数方程现教材不作要求，因而两种解法均不具有一般性，我们依然采用上述一般解法。

解法1：令x=ρcosθ，y=ρsinθ？圯ρ2=■？圯3x2-2xy=

■=4■=4■（m=3-2tanθ）？圯3x2-2xy=■≥■=6+4■

解法2：令3x2-2xy=s？圯■（3x2-2xy）=1？圯x2-4y2=■（3x2-2xy）两边同时除以y2，并令■=t？圯（1-■）t2+■t-4=0，（显然s=12时，t=6）s≠12时？圯△=■+16（1-■）≥0？圯s≥6+4■

数学教学的要旨是把解题的通解通法教给学生，特殊解法固然重要，但通解通法更能体现数学的本质和精髓。

以下两题供大家践行一下上面的解法：

1.已知a，b∈R+，■+■=1，求ab最大值。（2017年期初省扬中等六校联考试题）（提示：令s=ab？圯■=1） 2.若4x2+xy+y2=1，求2x+y最大值。（2011年浙江高考题）

（提示：将目标平方后转化）

作者简介：

单和平 （1969.10-），副教授，研究方向：数学教学论，初等数学研究。