一道考研题的六种解法

薛维顺

【摘要】研究生入学考试中，基础题目的考查占了很大比例。重基础一直是研究生入学考试的主旨。本文通过对一道考研题目分别利用等价无穷小、洛必达法则、泰勒展开式、三角公式等方法求解，旨在培养学生的发散思维、夯实基础，从而培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的综合素质。

【关键词】重要极限 等价无穷小 泰勒公式 洛必达法则 三角公式

【中图分类号】O171 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）45-0153-01

等价无穷小是函数求极限的一种重要工具，洛必达法则有时也会起到重要作用，甚至有时会用到泰勒公式以及三角公式。而对于一题多解，不仅有利于夯实学生的基础，也会加深学生对所学知识的灵活应用，有利于培养学生的发散思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。下面就对一道考研选择题进行分析，给出6种不同的方法，供学生学习。

例（2017年数学二考研试题）：若函数f（x）=■，x>0b， x≤0在x=0连续，则（ ）

A.ab=■ B.ab=-■ C.ab=0 D.ab=2

分析：本题考查的是在一点出函数连续的定义。最终结果是要求函数在0点的右极限等于0点的函数值。而本质是求函数在0点的右极限。

解法1利用等价无穷小的替代

在求极限的过程中，等价无穷小的替换是一个非常重要的步骤，本题的解题过程中用到了（1-cosx～■x2，x→0）

■■=■■=■=f（0），故ab=■

解法2利用洛必达法则

好多同学在求极限的过程中喜欢用洛必达法则，也有的不判定是否满足洛必达法则的条件而直接用。本题正好是■型，且满足洛必达法则的条件，故可以用洛必达法则

■■=■■

再利用重要极限■■=1和函数的连续可得ab=■

解法3利用泰勒展公式的开式

利用泰勒展公式的开式也是求极限的一种方法，本题可以直接利用cosx的麦克劳林展开式计算

■■=■■=■，由函数的连续得出ab=■

解法4利用三角函数的和差化积公式

利用三角函数的运算时解决三角函数极限的一种方法，本题中可以把1用cos0代替，利用三角函数的和差化积公式求解

■■=■■=■■

而后利用重要极限和函数的连续得到ab=■

解法5利用三角函数的倍角公式

对于三角函数的运算，应该熟记倍角公式，本题就可以利用三角函数的倍角公式求解。

■■=■■

然后利用重要極限和函数的连续性求得ab=■

解法6利用三角函数的平方和公式

在三角函数的计算过程中，三角函数的平方和为1是经常利用的结果，本题巧妙的利用平方差公式来构造平方和公式的变形。

■■=■■=■■=■■

然后利用极限的四则运算和重要极限以及函数的连续性可得ab=■

通过上述解法可以看出，方法1最简单。而在等价无穷小的替换过程中一定要注意是否满足等价无穷小的替换，如果不满足，就会产生错误的结果；对于方法2是未定式的求极限过程中用得最多的方法，在用之前一定要判定是否满足洛必达法则的使用条件，当然，用等价无穷小替换后在用洛必达法则往往会起到事半功倍的效果；方法3也是求函数极限需要掌握的一种方法，有些极限题目只能用泰勒展开式求解，在这里就不再举例；对于三角函数类的题目求极限一定要注意利用三角公式。

通过上述解法我们注意到，在日常的教学中不仅要注重基础知识的教学，更要注重解题方法的培养，注重一题多解、多题一解不仅使学生掌握解题利器，更能培养学生的发散思维，从而提高学生的综合素质。

参考文献：

[1]李永乐等.数学历年真题权威解析（数学二）[M].西安：西安交通大学出版社，2017：2.

[2]同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2007.139-145.