理解与重构

董文彬

教材为我们提供了教学活动的蓝本和线索，我们在课堂教学中要尊重教材、理解教材，研究教材、读懂教材。同时，教材也只是个例子，我们还要以科学、审慎的态度对教材适时与适度地进行加工与调整，从中寻求平衡，基于教材又超越教材，有效使用、改编和创生教材，我们的教学活动才能更具有创造性，进而才能把更多学习的可能性还给课堂，还给学生。下面以北师大版小学《数学》教材为例，从不同角度例谈笔者对创造性使用和改编教材的几点思考。

一、问题延伸，获得数学思考的长度

三年级下册《除法》一课，教材中呈现的情境是分橘子（教材第4页）。教材的设计意图是：列出算式后，学生先试算，继而引导学生用小棒代替橘子，体会先分整捆的（分给每人1捆），余下的一捆要把它拆分成10根后和单根的合起来再分，并用算式（横式）记录分的过程。这样的安排为接下来竖式的教学做了铺垫和孕伏。紧接着就是让学生再用竖式表达和记录分物的过程与结果，引导学生将分物的过程与除法运算对应联系，从直观的动作表征到抽象的算式表征，通过实际操作理解除法竖式每一步的意思，感悟运算方法背后的道理，既体现了计数单位的高低转化的运作需求，又体现了分步求商中所蕴含的位值思想。

而接下来的第三个问题（如下图）是：给出三个除法竖式，让学生先算一算，以熟悉两位数除以一位数的竖式计算过程，再想一想“为什么除法要从高位算起呢？”换句话说，为什么除法竖式和加、减、乘法的形式不一样呢？让学生尝试从低位算起，体会计算过程麻烦，进而认同算法。

可是，这个问题在笔者第一次教学这节课时，没有一个学生主动提出。学生通过实践操作理解了算理，掌握了算法，并没有再往深一步去想“为什么除法要从高位算起”，学生没有提、没有想，笔者也就没有引导学生再“知其然”后去思考“知其所以然”。但这确实是在除法竖式教学中不可回避的有深度价值的问题。因此，在两年后再次教学这节课时，笔者作了调整：在学生竖式计算完后，笔者把它作为第四个问题在原有的“问题串”中延伸出来，启发学生自主去思考、尝试、说理。

经过尝试“从低位算起”，学生自己创造了以下两种除法竖式的运算表达方式：

显然，第1种方式从低位算起，要除算3次，再把每一次除得的商求和加一次，才能获取最后的运算结果；第2种方式虽然与“从高位算起”一样也是除算2次，但涉及了不够除需退（借）位的情况。两种方式都让学生感悟到：除法竖式这样从低位算起很“麻烦”，“麻烦”背后的根源是计数单位的运作和转化的次数（特别是本课中被除数的首位数不是除数的整数倍的情况），进而更进一步地理解算法。

可见，延伸多一个教材中的问题串，适当进行调整和加工，拉伸学生数学尝试与经历的时间，能够帮助学生拓展数学思考的长度，理解数学运算的本质，学生对数学的理解就会深入一个层阶。

二、丰富路径，拓展数学论证的宽度

四年级下册《三角形内角和》一课（教材第24页），教材的设计意图是：由两个形状和大小不同的三角形，学生先猜想它们的内角和相比会怎么样，继而通过小组活动用量角器去量准备好的三角形每个内角的度数，再计算内角和，继而发现“三角形的内角和都在180度左右”。在对测量误差讨论的基础上，启发学生通过撕拼（把三角形的三个角撕下来，顶点与顶点重合拼在一起）、折拼（把三角形的一个角向对边平行折，把这个角的顶点放在边上，再折另外两个角，让顶点与顶点重合拼在一起）的方法，结合平角的知识经验，验证三角形的内角和，最终得出结论。

可以说，无论是量算、撕拼还是折拼，让学生通过实际操作来验证猜想或发现，都是順应了学生儿童最原始、最朴素的思维路径，都是通过不完全归纳法得出最后的结论，由特殊到一般，由有限到无限，这也是小学阶段几乎所有数学论证最常用的方法，这种方法更加注重学生在实践操作中完成探究与发现。然而，四年级学生除了在数学活动中积累操作的论证经验外，也应适当地积累更高阶的思维论证的经验。为此，在教材现有编排的基础上，根据学生情况，笔者又丰富了以下两个活动。

“活动1”是以长方形的内角和是360°的已有经验为基础，推导出直角、锐角和钝角三角形的内角和也是180°。“活动2”是从图形运动的角度，运用线段的平移与旋转的具体操作，说明任意三角形内角和是180°，具体为：箭头从①的位置，依次按顺时针方向旋转，沿三角形边的方向平移，再旋转……直到⑥的位置。观察①和⑥位置上的两个箭头在位置与方向上有什么关系？这个关系说明什么问题？可以说，这两个补充活动的抽象程度高、难以想象，更多地指向学生思维活动的开阔性，在数学论证上更具有普适性。教师充分整合动手操作、思维推理等手段，能够帮助学生提供和创造观察性的思维类经验，增强学生在数学活动中的感悟和体会，以获得一般性的、广泛而丰富的数学思维活动经验，拓展了数学论证的宽度。

三、整合资源，发展数学想象的深度

五年级上册《轴对称的再认识（二）》一课（教材第23页），教材的设计意图是：解决两个方面大问题，第一个问题是：在方格纸上补全轴对称图形的另一半。先呈现轴对称小房子的一半，学生试画另一半，呈现错例，让学生辨析画得是否正确，判断理由之一是根据图形沿对称轴对折后能否完全重合的特征，理由之二是根据两个对称点到对称轴的方格数（距离）相等的特征。接着让学生以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形（小树）的另一半，巩固理解“两个对称点到对称轴的方格数（距离）相等”的本质特征。第二个问题是：在方格纸上画出某个图形的轴对称图形。让学生以虚线为对称轴，画出图形（数字）“2”和“6”的轴对称图形，并在操作中感悟两个大问题的异同，同即画法相同，轴对称图形的核心本质相同，不同即前者给的是轴对称图形的一部分，对称轴在图形上，而后者给的是一个完整图形，对称轴在图形之外。

然而，教学前我们对两个班的80名学生进行了前测，结果发现：98%的学生对于教材“问题串”中的三个题目都能画对。于是我们思考：在绝大多数学生已经会了的前提下，这节课该学什么？对于那些表面会画但实际对问题一知半解的学生，如何达到对轴对称图形本质的深入理解？对于那些已经真正理解了问题本质的学生，如何创设认知冲突发展他们的高阶思维？于是笔者决定重新整合教材资源，重新设计学习活动、改编问题串。endprint

环节1：这是一个轴对称小房子的一半，你能想象出整个房子什么样吗？能画出来吗？

让学生先想象，再画，然后借助典型错例，初步对轴对称的特点进行审视，通过生生交流，对形状、距离这些圖形元素逐渐明晰，知其然也知其所以然。

环节2：轴对称图形在我们身边非常常见，也很有意思。比如数字“9”的轴对称图形可能是什么样？

这个问题的设计来自于教材课后习题第24页第4题（见下图）。这个环节同样是先想象，再交流，然后才是操作。操作不再是机械的操作，是对轴对称数学概念的再反思。其次是这个问题的开放性，引起学生对“轴”的重视（第一个活动无法达到这个效果），激发学生的多角度数学思考与空间想象，让学生在思维的开阔性中提炼画法，理解数学本质。

环节3：以虚线为对称轴，试着画出这个图形的轴对称图形。

这个环节的设计是聚焦平行四边形，对称轴也不是水平或竖直的轴。选材的来源除了平行四边形这个轴对称研究中不能绕开的难点外，对称轴方向的设计来自于教材课后习题第1题的最后一图（见下图）：以虚线为对称轴，分别画出下面各点的对称点，说说你是怎么画的。

此活动聚焦学生的问题，在认知冲突中再次明晰轴对称的本质特征。学生在矛盾争辩的过程中，对轴对称特征有了更深一层的认识，甚至有学生提到了线和轴的角度要关注，对图形的构成元素以及元素之间位置关系对称性的关注，这些也是发展空间观念的重要部分。

可见，教师基于学情，结合教材的编排意图、课后习题资源，在尊重教材、理解教材的基础上，对教材进行了适当的调整和加工、有效的使用和创编，发展学生数学想象的深度及空间观念，帮助学生收获了非常好的学习效果。

四、模型支撑，生成数学理解的厚度

诚然，基于学情，教师往往要对教学内容的一些素材需因时、因地作出适当调整。而有时，除了学情，听一听教材编者的建议，在对教材进行科学、有价值的加工和补充，会收到意想不到的效果。

五年级上册《小数除以整数（精打细算）》一课（教材第2页）。教材的设计意图是：列出算式后，学生先自主试算，借助元角人民币单位将小数除法转化成整数除法，再用竖式计算，由直观背景到一般意义，由计量到计数，理解竖式的计算过程和每一步的意思。

教学前，笔者对年级同一位教师平行任教的两个班学生进行了深入的前测调研（问卷、追访），以探寻学生真实的思维路径。A班题目：10.2÷3等于多少？请想办法解决，尽可能详细地记录下你的思考过程。B班题目：买3袋奶一共花10.2元，每袋奶多少元？可以利用学具研究，并尽可能详细地记录下你的思考过程。调研结果显示：面对问题，学生由起初的“不知道”到最终的“我会做”之间，有两个阶段需要经历和跨越，一个是整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成新的数后“还能分吗”？这是学生认识和理解上的“难点”。另一个是商中的“点怎么办”？这是学生思维陷入纠结的“结点”。无论A班还是B班，A班有62.5%、B班有85%的学生在答卷中体现出“我会做”，竖式书写作答完全正确，但追访之后发现学生“会做”但不一定“能懂”。另外，提供模型学具（单位人民币实物模型、单位正方形面积模型）的B班比不提供模型学具的A班，学生的理解情况要好得多。可见，直观模型对于学生促进算理理解的效果十分明显。

可是教材的编排中并没有呈现直观模型，这是怎么回事呢？难道直观模型的呈现对五年级学生没有必要？偶然间，看到张丹教授从教材编写者的角度解读教材的例子，很受启发。以下是简要整理：

北师大版教材五年级上册，第一单元小数除法，新修订后的教材中已经加入了面积模型，是在“小数除以小数”那课时，当然，从“小数除以整数”开始用也是可以的。小学数学中的多种直观模型，在本质上都差不多，面积模型突出的一点是它是一个通用工具，其实它就是方格纸，隐去一些线它又是“条”，在解决图形面积、小数、分数以及一些运算中都可以用，很广泛。

因此，在前期学生调研的基础上，又结合教材编写者的解读，我在教学中为学生提供了“元、角”人民币单位的实物模型，以及方格纸面积的半抽象模型等，让学生“因需而用”，借助模型说理，互动交流，特别是对整数部分除完后余数的处理——进一步化低一级的计数单位后与相同计数单位上的数合并，再继续运算。如从1.5元到15角，学生借助摆分“元角”实物模型摆、分、转换、再分来理解；从1.5到15个0.1，学生借助单位方格纸面积模型摆、分、转换、再分，解释说明其中的道理。最后笔者又从整体上帮助学生沟通计量单位与计数单位间的联系（如下图），由动作表征、模型表征到竖式表征，引导学生由计量单位（直观）经单位模型（半抽象）走向对计数单位（抽象）的理解，感悟位值思想，帮助学生真正从直观走向抽象，从计量走向计数，帮助学生生成数学理解的厚度，最终促进学生思维的发展。

由此可见，教师实现“用教材教”，对教材有效地加工和调整，不能随心所欲，不是简单的“增加”和“删除”，而要基于学生学情，基于课堂现场，基于教材编写意图，审时度势、因时因地对教材作有价值的调整，只有尊重教材、理解教材，研究教材、读懂教材，才能有效地使用和创造性改编教材，只有基于教材才能超越教材，进而以学为中心，还给学生更多数学学习的可能性。

（作者单位：北京市中关村第一小学）endprint