让思维可见 让学习发生课堂教学感悟系列

张玉平

[摘 要]为了让数学课堂体现数学的思维价值，为了让学习真正发生，教师要不断钻研教材，帮助学生学会数学地思维。以“圆的认识”的概念教学为例，从学生的生活经验出发，精心设计教学素材，让学生在体验中学习，有助于学生进一步体会数学的本质。

[关键词]数学概念；教学本质；数学思维

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）32-0014-02

特级教师、尝试教育创始人邱学华先生发表在2015年的《小学数学教师》上的特稿《为小学数学正名》一文中指出：小学数学一姓“小”，二姓“数”，只有抓住这两个特征，才能真正做到对小学数学的本质把握。

【教学片段一】

师（板书：圆）：由这个字，你想到了什么？

生1：车轮。

生2：风车。

生3：电风扇。

生4：钟面。

生5：平面图形。

师：其他同学想到的都是圆形的实物，而你想到圆是平面图形，不错！我见过的车轮都是圆形的，没有长方形或者正方形的，这是为什么？

生6：因为如果是正方形的车轮，那就走不动了。

生7：因为圆形是可以滚动的。

师：椭圆也是可以滚动的，为什么车轮不做成椭圆形的呢？

生8：椭圆形的车轮没有圆形的滚得快。

生9：圆形车轮滚动的时候很轻松。

师：是不是可以这样理解，车轮做成椭圆形，滚动的时候一会儿高一会儿低，而圆形的车轮滚动就平稳了。那么我们今天就来认识圆。（板书课题：认识圆）

【自悟：日常生活中许多物体是圆形的或者表面是圆形的，还有一些物体的运动轨迹是圆形的，这是五年级学生已经积累的生活经验。写下的“圆”字能让学生展开联想，从而自然地沟通了数学与生活的联系。紧接着教师提出的实质性问题“车轮都是圆形的，为什么？”则指明了本节课研究的方向：圆的特征。目标明确，直奔主题。】

【教学片段二】

师：老师手中有一根绳子，绳子的一头系着粉笔头，想想看，用这个能不能画一个圆？

生（齐）：可以。

师（请一个学生在黑板上画圆）：我们看看她是怎么画的。

生1：她先按住绑粉笔的绳子的另一头，定了一个点，但是她没能拉紧绳子。这个点要固定，旋转时拉紧绳子，这样就能画出一个圆了。

师：你们两人合作，试试看。

（学生一人按住绳子的一头，另一人拉紧绳子用粉笔绕一圈画出了圆）

师：看，合作有多重要，两个人力量大，就干成了。现在请大家先看这个粉笔头，把它想成一个点，我甩动绳子的时候，你看到圆了嗎？你想到了什么？

生2：粉笔头在转动。

生3：我想到了电风扇、竹蜻蜓。

生4：物体的运动轨迹也可以是一个圆。点的运动轨迹是一个圆。

师：看作点就是点的运动轨迹。现在请大家闭上眼睛，再想一想，能不能想象出来呢？

生（齐）：想出来了。

师：圆可以说成是由一条曲线围成的平面图形，也可以说成点的运动轨迹。学习就是要用自己的语言来说。（板书：点的运动轨迹）

【自悟：从利用圆形物体的面来画圆，到利用绳子和粉笔来画圆，最后用圆规来画圆，是画圆的三个不同层次，这三个层次体现了思维的不同水平。对于第二个层次“用绳子和粉笔来画圆”，是不能让学生缺位的。在这个操作活动中，学生的感悟是最深的：通过按住一点不动体会圆心的固定作用；通过绳子的长短体会圆的大小；通过拉紧绳子体会圆的半径都相等；通过粉笔头的旋转体会圆的形状及周长……除此之外，学生还能在操作中感悟合作的重要性。

圆从本质上来说是一种数学模型，用数学语言来描述就是“圆就是定点的距离等于定长的点的轨迹”。在小学阶段只要求学生能够描述圆，以及认识圆心、半径、直径，而不需要给圆下定义。正是有了动手操作的过程，学生在看了教师的演示后才能通过自己的想象得出“点的运动轨迹形成圆”这样深刻的理解。这对于五年级的学生来说真的很了不起，从而更加坚定了我的信念：我们一定要相信孩子，相信他们可以给出我们意想不到的答案。也就是说，学生是会学习的，关键看教师怎么教。】

【教学片段三】

师：研究平面图形我们一般从形状、大小、位置这些方面入手。现在老师要大家画一个和黑板上一样大的圆，你们能做到吗？

生1：只要用圆规准确地量出直径和半径，就可以画出一个一样的圆。

师：他给了两个概念，一个叫直径，一个叫半径，也就是说认识这个圆，还必须要认识半径和直径。除此之外，还要知道什么？

生2：还要知道圆心。

师：对，除了知道直径、半径，还需要知道圆心。（板书：圆心、半径、直径）

师：这三个词中我们应该先认识哪一个？

生3：圆心。

师：是不是因为我把圆心写在第一个，所以你觉得是第一个？

生3：不是。因为有圆心，才能知道直径和半径。

师（展示学生画的圆）：画圆的时候这个点是不动的，这是圆心。（出示圆心概念的板书）

■

师：从中你读到了什么？

生4：字母O可以表示圆心。

生5：知道了画圆的第一步。

生6：不动的那一点是圆心。

生7：画圆的时候，圆心固定不能动。

生8：圆心只有一个。

师：有第二个吗？为什么？

生8：没有，如果有两个圆心，就可以画两个圆了。

师：读一读这句话。（出示半径概念的板书）endprint

师：从中你读到了什么？

生9：一个圆有无数条半径。

师：为什么圆有无数条半径？

生10：因为圆由无数个点组成，只要连接圆心和圆上任意一点就是半径，所以圆有无数条半径。

生11：半径一定是圆心和圆上任意一点的连线。

生12：半径是线段。

生13：半径有长度。

师：一头在圆心，一头在圆上的线段，是有长度的，顺着这个思路，你想到了什么？

生14：它们的长度都一样的。

师：半径都相等吗？老师有点不相信，谁来解释一下？

生15：因为圆心是圆的中心点，它到圆上的任意一个位置的长度都是一样的。

师：现在我们知道半径有无数条且长度都相等，下面用这样的方法继续学习直径。（出示直径概念的板书）

师：根据这个定义，应该怎么画直径？

生16：通过圆心，从上面画下来，不要出头。

生17：在两端上。

师：還能读出什么？

生18：直径也是线段。

生19：两条半径的长度等于一条直径的长度。

生20：直径也有无数条，每条直径的长度一样。

生21：直径就是圆的对称轴。

师：谁来证明一下直径就是圆的对称轴？

生22：只要将圆对折，两边就能重叠在一起，所以圆是轴对称图形，这个折痕是直径。

师：所以对称轴是直径所在的那条直线。

生23：我还知道直径是圆内最长的线段。

师：分析了这三句话，我们更加了解圆心、半径和直径。因此，数学知识可以读但更要想。

【自悟：本节课的教学虽然没有给圆下几何定义，但是界定了圆心、半径、直径等圆构成部分的概念。这三个概念是一起呈现还是分散在各个环节中出现？是诱导学生说后顺势呈现还是强行植入式呈现？何种方式研读才能实现概念的价值最大化？基于这三个重要问题，教师不能用简单的传授方式进行教学，只有当学生有了画圆过程中积累的认知经验后，再通过师生对话，不断地引导学生联想、论证，才能让学生通过自身的思维加工后将割裂的三个概念结合成一个整体。

首先用一个问题“老师要大家画一个和黑板上一样大的圆，你们能做到吗？”为导向，引导学生说出圆内的三个关键概念：圆心、半径和直径。但是教学经验又告诉我们，学生虽能说，但未必尽知其本质。于是教师采用了逐个击破的方法。教师出示概念卡纸后随即提问：“你读到了什么？”让原来枯燥的概念认识变成了一场思维赛跑，以此让学生进行有理有据的推理。这样的学习比让五年级学生去画多条半径（或直径）测量它们的长度来说明“同一个圆内有无数条半径（直径）且长度都相等”更为深刻细致。这样，让学生以概念为原点，让学生的思维“看遍”知识的风景后，又回到了原点，但我相信，这个原点再也不是学生当初所认识的原点。】

总之，在进行概念教学时，教师可以从学生的生活经验出发，精心设计教学素材，让学生在体验中学习。更为重要的是，教师要让学生学习文字背后的东西，通过读从而思考。学生只有经历了这样一个过程，才能真正理解概念的本质，才能锻炼自身的数学思维能力。

（责编 金 铃）endprint