浅谈数学推广——以若干不等式为例

徐彦辉

(温州大学数学与信息学院，浙江温州 325035)

浅谈数学推广
——以若干不等式为例

徐彦辉

(温州大学数学与信息学院，浙江温州 325035)

推广是数学知识发展的一种基本方式，也是数学家研究和创造的一种基本手段和策略，没有推广就没有数学的发展，推广是引导数学发现的一种重要手段.本文以两道习题的解答与推广为例，展示了数学推广的基本形式与过程.并提出：好的推广应具有满意的广泛性，而又保留了有趣的实例的味道.好的数学推广是一项综合性较强、难度较大的创造性研究工作，需要具备一定的经验和运用科学的思维方法.

数学推广；数学知识发展；推广的过程

推广是数学研究的一种基本方法，也是数学家发现数学规律的一种重要手段.数学自身的发展很大程度上依赖于推广.数学家从不满足于局部范围的统一，而总是通过推广原有的概念和理论去寻求更大范围内的统一，发展和构建新的理论.用数学家Pierce C. S.的话说：“数学思想的一个特征是当它不能推广时，它就没有成功”[1].一当有必要，数学家们总是力图使概念一般化（推广）.数学研究工作者若能成功地推广已有的理论或方法，则其研究就推进了一步.数学能用这个方法扩大其范围，这一工作确实是无可限量的[2].综观整个数学的发展进程，基本上就是一个数学知识、理论和方法不断推广的过程.可以说，数学知识的进步，大都建立在把所获得的原则加以推广的过程上.推广是促进数学理论及其应用适用范围扩大的一种有效手段，数学中许多新概念、新理论、新学科的形成和发展，大都展示出推广方法的重要作用.

从数学知识发展的历史进程来看，我们也可以发现：数学的进步常常不是出自于新的概念，而是由于认识到可以把旧概念推广到用于新的情况.波利亚（Polya G.）曾把许多数学结果的发现归因于“幸运的推广”，并指出：推广对于数学知识的发展非常重要[3].推广是数学发展的一种基本目标和手段，也是数学家研究和创造的一种基本策略.在一定程度上可以说，没有推广就没有数学的发展，在数学学习和研究中绝对必须要具有善于推广的意识和能力.张慧欣[4]举例说明了数学上推广的两种形式与技巧.朱华伟、张景中[5]举例说明了两种类型的推广.笔者[6]曾举例分析了数学推广的四种常见形式.本文将再以两道数学习题的解答与推广为例，进一步论述数学推广的基本形式与过程，并基于此谈一点对数学推广的看法.

1 问题1的解答及推广

证明：由柯西不等式得

而

即

故

证明：由柯西不等式得

推广2 设a, b, c∈R+，且求证

证明：由柯西不等式得

证明：由柯西不等式得

推广4 设a, b, c∈R+，且求证

证明：由柯西不等式得

2 问题2的解答及推广

解：

（1）开始.初看到这个问题，想到运用均值不等式，可是如何运用均值不等式呢?想到设一个参数λ＞0，即即猜想可化为则必须有

因为

所以

又由柯西不等式得：

即

（4）得出结论（评价）.通过对原始问题的解答，抓住问题的本质，得到其变式和拓展问题，这是数学家常用的一种思维方式，学生必须掌握和学会这种思维方式.由于推广命题时用分数指数幂表示，有些不太符合常规习惯，为此将推广命题改为：若求证：

3 结 语

可见，作出一个推广，其目的并不仅仅在于把更多的情况包括进来，而且还在于把不必要的假设丢弃掉[7].这样，就能进一步突现其本质特征和性质（如问题1与问题2的推广），致使其适用范围将会更广阔.但如果没有新的想法而进行推广，那将只是没有意义的玩弄，从而导致产生大量越来越多无用的定理.假如我们只是为了一般化而去寻求一般性，那么我们就误解了这种趋势.这种廉价的一般化并没有给数学增添实质性的东西，而只不过是用水冲淡了美味和富有营养的浓汤，如此而已[8]（如问题1的推广）.菲尔茨奖获得者高尔斯也指出[9]：“要将一个概念一般化，我们应当先找出与其相联系的一些性质，再将这些性质进行一般化.这样做通常只有一种自然的方式，但有时，不同的性质组合会导致不同的一般化，而多种一般化方法有时会硕果累累”.

好的推广不是单纯地将一个命题简单的一般化，而是抓住命题的本质，用简单优美的方法把其隐含的本质规律揭示出来，把大量先天彼此毫无关系的个别情况加以综合，这种有价值推广所得的命题及其证法，往往不是简单照搬原命题而轻易得到，这种推广要求在一般化的情景中提炼新想法而不是已有结论的规范化，需要具有深刻的洞察力和高度的抽象能力，还需要具有丰富的知识、理论、方法和工具（如问题2的推广）.好的推广应具有满意的广泛性，而又保留了有趣的实例的味道[10].好的推广常能给人以启迪，结果也往往十分有用.好的推广（如问题2的推广）是不容易得到的，实践中，所研究的对象如果彼此过分相似，它们的推广就稍欠情趣.但是，对于彼此面貌迥异的对象，只要可以辨认出它们共同的性质，则推广就非常有价值.

好的推广（如问题2的推广）其实是一项综合性较强、难度较大的创造性研究工作，它需要具有一定的经验，需要充分科学地运用模拟、抽象、联想、想象、实验、猜想、归纳、类比等方法，通过抓住原命题的本质特征，深入挖掘和发现隐含信息，进一步将一类对象或情境转换到另一类与之关联的对象或一般化的情境中来，提出假设和新的构思，并运用科学的方式进行验证，从而得到更深刻的数学命题[11].做“数学推广”有时也是一种“好的”数学，需要具有一定的数学美的驱动，才能发现隐藏在问题中的数学模式，才能发现隐藏在问题中的一种特征化性质，通过改变这种特定的特征化性质或联系其他的问题（如问题2的推广），就会产生一连串相应的问题（推广）.只有长期做这样类似的工作，才能养成数学推广的意识和能力，才能在新的情境中识别出有利于推广的因素，抓住问题的关键和本质，尝试推广得到新的命题及其证明.

[1] 刘培杰.数学奥林匹克试题背景研究[M].上海：上海教育出版社，2006：272.

[2] 米山国蔵.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986：23-24.

[3] Polya G. How to solve it [M]. 2nd ed. Princeton: Princeton University Press, 1957: 117.

[4] 张慧欣.浅谈数学上的推广[J].数学通报，2000，39（1）：17.

[5] 朱华伟，张景中.论推广[J].数学通报，2005，44（4）：55-56.

[6] 徐彦辉.数学推广及其常见形式举例分析[J].数学通报，2010，49（4）：17-20.

[7] 戴维•盖尔.蚁迹寻踪及其他数学探索[M].朱惠霖，译.上海：上海教育出版社，2001：224.

[8] H•外尔.诗魂数学家的沉思[M].袁向东，译.南京：江苏教育出版社，2008：196.

[9] 蒂莫西·高尔斯.数学[M].刘熙，译.南京：译林出版社，2014：84.

[10] Kapur J N.数学家谈数学本质[M].王庆人，译.北京：北京大学出版社，1989：92.

[11] 熊光汉.推广数学命题的几种思考方法[J].中学数学月刊，1999（4）：15-17.

(编辑：封毅)

Brief Exploration on Mathematical Generalization——Take Several Inequalities as an Example

XU Yanhui
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Generalization is a kind of basic way of mathematical knowledge development and is also a common approach and strategy to research and even create mathematics by mathematicians. Without the generalization, there will be no development of mathematics. Generalization is an important means to guide the mathematical discovery. It is demonstrated in this paper that the basic form and process of the mathematical generalization based on the generalization of two mathematics problems. And the excellent generalization with satisfactory generality and full of the character of living examples. All in all, a perfect mathematical generalization is a kind of creative research work with stronger comprehensiveness and greater difficulty, thus such a job needs a certain experience as well as a scientific method of thinking.

Mathematical Generalization; Development of Mathematical Knowledge; Process of Generalization

O1-0

A

1674-3563(2017)04-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-11-24

教育部人文社科2012年青年基金项目(12YJC880131)

徐彦辉(1975- )，男，江西丰城人，副教授，博士，研究方向：数学教育的理论与实践