抵御集体风险视角下的人口聚集行为

刘延军，汪小芳，柯见洪

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

抵御集体风险视角下的人口聚集行为

刘延军，汪小芳，柯见洪

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

本文构建了一个集体风险模型分析人口的聚集行为.在模型里，人口分布在具有一定网络结构的格点上，每个格点以一定的概率发生集体风险，设定抵御集体风险的阈值与该格点上的人口数存在幂律关系.每一时步，所有人口都提供一份资金用于防御集体风险的发生.假如某格点上的风险抵御总投资值小于该格点的阈值，则集体风险以随机的概率发生.格点上的每个人根据实际情况可以选择增加（减少）投资或者迁移到邻近格点.数值模拟结果表明，系统经过长时间演化后，人口分布将满足帕累托分布；人口数多的格点的人口分布则符合齐普夫定律.此外，人口分布规律的特征指数取决于风险发生概率、网络拓扑结构等系统参数.

集体风险；人口聚集；数值模拟

随着国民经济的发展，城市化是一个必然的过程.2016年我国城市人口比重为57.35%，而一些经济发达国家城市人口比例在80%以上.因此，我国应该提高城市人口的比重，加速城市化的进程，这有利于提高人口素质和改善人们的生活条件.人口城市化问题是我国当下面临的重要问题，是关系我国社会和谐稳定和经济可持续发展的关键因素.统筹解决人口问题始终是我国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务.人口城市化过程中，必然伴随着人口的迁移与聚集.人口从农村迁移到城镇，或从小城镇迁移到大城市，从而形成了人口总数巨大的大中城市.人口的聚集是社会发展的必然结果，而导致这种聚集现象的因素有很多，比如就业、教育等等.江曼琦与席强敏从人口聚集的角度发现主要城市化地区具有高度聚集的特征；城市行政地域范围与基于聚集视角的主要城市化地区的空间分布存在较大差异[1]；李富田与唐嵩应用人口流动理论和经济增长理论提出西部地区的小城镇建设必须因地制宜,合理定位[2]；石忆邵与王樱晓发现上海市人口聚集与城乡收入差距之间存在长期的均衡关系[3]；陈心颖发现人口聚集度与劳动生产率之间呈“倒U”形关系[4].

众所周知，人类的生产与生活活动不可避免地会导致环境污染.当下，温室效应、雾霾现象日趋严重，这将会带来诸如群体性呼吸道传染病频发等集体风险，因而国家与地方政府不断增加治理投入.显而易见，污染物的集中排放比分散排放更便于控制与处置，相应地治理成本也更低.换而言之，从抵御集体风险角度来看，人口的聚集似乎更加有利.然而，当人们面临共同出资建设公共设施时，“搭便车”行为便是不可避免的，因此人口的聚集势必会带来“公地悲剧（Tragedy of the commons）”或集体风险困境（Collective-risk dilemma）问题.在集体风险困境中，1）参与者投资的钱是不可回收的；2）如果总投资额达不到某阈值，则参与者剩余的私人财产有可能全部损失.例如，联合国气候峰会上温室气体排放量的谈判就是一个典型的集体风险困境问题.Milinski等人[5]开展了一个社会学实验去探索集体风险困境问题，在实验中，志愿者们被随机分为多个6人组，每个人给予40元本金，并被告知：1）每组都将进行十轮出资，每一轮中，志愿者根据自己的意愿出资0、2或4元；2）同组志愿者的出资行为彼此是保密的，但每轮结束后会公布已募集到的总出资额；3）如果10轮过后，总出资额达不到120元，则集体风险将以一定概率发生；4）一旦集体风险发生，志愿者手头剩余的钱将全部损失.研究结果表明，当集体风险发生概率达到 90%时，50%实验组的总出资量达到或超过阈值，从而成功地防范了集体风险；而当集体风险发生概率为10%时，所有实验组的总出资量都达不到阈值.值得一提的是，当集体风险发生概率很高时，所有实验组的平均总出资量非常接近120元的阈值.针对以上问题，文献[6-10]在文献[5]工作的基础上，运用演化博弈理论进行了大量的研究.遵循Milinski等人的研究思路，本文将从抵御集体风险视角去探讨人口的聚集倾向性。

1 模型概述

假设一个地区的每个人都会制造出相同数量的污染物，相应地每人都需要支付一定量的治污资金.如果某地区的治污总资金小于处置这些污染物所需的最低金额（阈值），则集体风险将以一定的概率发生；一旦集体风险发生，该地区所有人的财富将遭受损失.如果该地区的治污总资金不少于治污阈值或者集体风险不发生，则每个人都可以保有剩余的资金（扣除其支付的治污资金之外）.考虑到集中处置污染物相对成本更低，一个人口为n单位的地区治污阈值将小于n个人口为1单位的地区治污阈值之和.这里设阈值和人口数满足幂律关系可以实现上述的关系，不妨令集中治污阈值T与地区人口数n满足如下函数：

其中幂律指数α（管理效率指数）表征集中治污的效率，α值越大，则效率越高.为简单起见，不妨设每个人有相同的薪金收入，然后根据个人意愿支付薪金的一定比例用于治污。

接下来讨论不同情况下的居民的可能行为.如果某地区的总出资量达不到阈值而恰好灾难发生了，则该地区的居民们会接受教训，在下一次的筹款中增加个人的出资量以确保总出资量达到阈值，或者干脆迁移到其他地区.当某地区的总出资量达到阈值，或者灾难没有发生，则该地区居民为了增加自己的个人财富，将可能减少下一轮的出资.经过长时间演化后，各地区的人口将重新分布.本文将采用数值模拟的方法研究上述的抵御集体风险驱动下的人口聚集行为.

2 建立模型

首先构造一个100×100的二维规则网络，每个网络格点初始有50个粒子（粒子代表人），每一轮开始前，每个粒子都被给予10个单位资金，然后根据每个粒子意愿出资0到9中的某一金额（如果出资10个单位，则个人剩余资金将为0，故舍去这种策略）.为简单起见，每个格点集体灾难发生的概率都为p.在每一时步，选择一个格点n0，统计该格点所有粒子的总出资量.如果总出资量小于公式（1）所示的阈值（在所有模拟中，T0取为5，α取0–1），且灾难恰好发生，该格点上的每个粒子将进行如下的策略选择：（i）如果多付出1个单位，就能使该格点达到抵御灾难的标准，则必定选择留下，且下一时步的出资策略选择为原出资量基础上增加1个单位；（ii）如果多付出1个单位仍然无法使总出资量达到阈值，则将优先按一定规则迁移到近邻格点，否则采用（i）的策略.迁移规则如下：先计算出粒子所处格点n0的平均出资额fn0，然后任选它的一个最近邻格点m0，并算出其平均出资额fm0，邻近格点的出资额越高，那么迁移到邻近格点的概率也愈大，这里设粒子迁移到近邻格点的概率为费米函数[11]：

其中参数K＞0.如果该格点没有发生灾难，或者总投资大于或等于阈值，则该粒子选择不迁移，同时下次的出资策略为原出资额基础上减少1个单位.在一个时步内，每个粒子平均完成一次策略更新.每次模拟共进行2000时步.最后，统计模拟数据，着重分析网格上的粒子数分布.

为了分析网络拓扑结构对人口聚集行为的影响，本文还分别模拟了NW小世界网络和BA无标度网络上的人口聚集行为.

3 模拟结果及分析

3.1 粒子累积分布

图1所示的是二维规则网络上各格点的人口分布图.由图可见，经过长时间演化后，粒子不再均匀分布：少量的格点上占据了很多的粒子数而大量的格点上只有少量的粒子数.

图1 二维规则网络上的粒子分布Fig 1 Particle Distribution on a 2-D Regular Network

本文采用累积分布分别统计了不同网络下最后时步的粒子分布.图2所示的是规则网络和小世界网络上的粒子数累积分布曲线.当粒子数较小时，粒子数累积分布随着粒子数的增加缓慢减小；当粒子数很大时，粒子数累积分布随粒子数急剧降低，并近似服从幂律（Power-law）分布，其指数γ为3.48±0.15.可见，粒子数很大时，粒子数人口分布服从齐普夫（Zipf）定律[12]，这与文献[13]中提供的我国大城市人口分布的规律相符合，表明基于抵御集体风险的迁移也会导致幂律形式的城市人口分布.

无标度网络条件下的粒子数累积分布状况如图3所示.粒子数较小时，粒子数累积分布随着粒子个数的增加急剧减小；当粒子数稍增大时，粒子数累积分布随粒子数的增大保持不变，最后当粒子个数继续增大时，粒子数累积分布近似一条直线逐渐减小，呈现出幂率分布的规律，符合帕累托分布的特点，其幂指数为1.278±0.03。

3.2 不同网络拓扑结构和不同管理效率指数α对粒子数分布的影响

下面分析不同网络拓扑结构和不同管理效率指数α对粒子数分布的影响.

图2 不同网络粒子累积分布Fig 2 Cumulative Distribution of Particles for Different Networks

3.2.1 α较大时网络拓扑结构和管理效率指数对粒子数分布的影响

首先讨论不同管理效率指数α对粒子数分布的影响.由图4（a）可以看到，规则网络条件下，在粒子数较小时，粒子数累积分布随着α增大而减小；当粒子数较大时，累积分布则随着α增大而增大.相同的现象也出现在小世界网络和无标度网络中，如图4（b）和（c）所示.这表明随着管理效率指数α的增大，粒子更趋向于聚集，也就是说提高集中治污的效率，粒子会更趋向于聚集.以人口分布系统为例.一般认为人口聚集会加重环境的污染，但本文的模拟结果表明，从集中管理角度探讨环境污染的治理问题，人口的聚集无疑是有利的.环境污染的普遍加重，即集体风险的提升，将会导致更多人口的聚集来抵御集体风险的发生.因为这里的管理效率指数α是小于1的，那么人口聚集会导致人均治污投资减少，即收益增多，所以随着管理效率指数α的增大，人口就聚集程度会更高.

图3 无标度网络上粒子累积分布Fig 3 Cumulative Distribution of Particles for Scale-free Networks

不同网络拓扑结构对粒子累积分布的影响如图4（d）所示，规则网络和小世界网络上的粒子数分布曲线重合，而它们与无标度网络的粒子个数分布区别较大.相对而言，规则网络和小世界网络上的粒子数较小的格点数目较多，而无标度网络上的粒子数较大的格点数较多，即无标度网络相对于规则网络和小世界网络更进一步促进了人口的聚集.造成这一现象的原因与网络的拓扑结构有关.由于本模型中采用的NW小世界网络是通过规则网络上随机加边的方式生成，这样就导致了规则网络和小世界网络在整体结构上比较相似，从而导致了最终类似的粒子数累积分布.而无标度网络的格点度具有幂律分布形式，度大的格点数目多于规则网络与小世界网络的，也就是说，网络格点的度的增大会促进人口聚集.

3.2.2 α较小时网络拓扑结构和管理效率指数α对粒子数分布的影响

图4 不同网络和不同参数α下的粒子累加分布Fig 4 Cumulative Distribution of Particles for Different Networks and Different Parameter

首先讨论不同管理效率指数α对粒子数分布的影响.如图5（a）和（b）所示，置于规则网络或小世界网络上的演化系统，当粒子数较小时，粒子数累积分布随着α增大而增大；当粒子数较大时，粒子数累积分布随着α增大而减小.而对于无标度网络上的演化系统，当粒子数较小时，粒子数累积分布个数随着α增大而减小；当粒子数较大时，粒子数累积分布个数随着α增大而重合，如图5（c）所示.这表明管理效率指数α趋近于0，不利于人口的聚集，因为管理效率指数α趋近于0，人口聚集不会带来人均的最少治污投资减少.

不同网络拓扑结构对人口分布的影响如图5（d）所示，情况与α较小时不同网络拓扑结构情况相似.

综合上述可以得出以下结论：在α小于1的情况下，随着管理效率指数α的不断增大，人口的聚集程度也增大；当α接近0时不利于人口的聚集.因为在α小于1的情况下，每个城市的人口数越多，人均最低投入会越少，收益会增加，所以会促进人口的聚集.在α小于1的情况下，随着α的增大也就是管理效率的提高，人倾向于选择聚集，也就是说聚集有利于问题的解决.但是在α趋近于0的情况下，管理效率的降低不利于人口聚集，也就是说人口聚集并不能带来集中治污成本（或其它集体风险防范成本）的大幅下降.现实世界中，环境气候等集体风险问题困扰着人类，本文的模拟结果对这些问题的解决有一定的启示作用.在效率提升的情况下，我们应该促进人口的聚集也就是城市化，城市化有利于集体风险的解决.此外，无标度网络比规则网络和小世界网络更能促进人口的聚集的结论，为我们提供了一种促进人口聚集的方法，也就是增大城市之间的连通度，即加大城市间交通的投资.

图5 不同网络和不同参数α下的粒子累加分布Fig 5 Cumulative Distribution of Particles for Different Networks and Different Parameter α

4 结 语

本文构建了一个集体风险模型来分析人口的聚集行为，数值模拟结果表明：系统经过长时间演化后，人口分布将满足帕累托分布，人口数多的格点的人口分布符合齐普夫定律，与实际的人口分布规律符合得很好.此外，人口分布规律的特征指数取决于风险发生概率、网络拓扑结构等系统参数.在管理效率提升的情况下，人口的聚集有利于集体风险抵御，从而使个人获得更多的财富.换而言之，城市管理水平的提高将有助于城市化的加速.

[1] 江曼琦，席强敏.中国主要城市化地区测度：基于人口聚集视角[J].中国社会科学，2015（8）：26-46.

[2] 李富田，唐嵩.西部小城镇人口聚集功能探析[J].软科学，2005，19（1）：71-74.

[3] 石忆邵，王樱晓.上海城市人口聚集与城乡收入差距动态关系研究[J].南通大学学报（社会科学版），2013（4）：14-18.

[4] 陈心颖.人口集聚对区域劳动生产率的异质性影响[J].人口研究，2015，39（1）：85-95.

[5] Milinski M, Sommerfeld R D, Krambeck HJ, et al. The collective-risk social dilemma and the prevention of simulated dangerous climate change [J]. Proc Natl Acad Sci U S A, 2008, 105(7): 2291-2294.

[6] Wang J, Fu F, Wu T, et al. Emergence of social cooperation in threshold public goods games with collective risk [J].Phys Rev E, 2009, 80: 016101.

[7] Santos F C, Pacheco J M. Risk of collective failure provides an escape from the tragedy of the commons [J]. Proc Natl Acad Sci U S A, 2011, 108: 10421-10425.

[8] Greenwood G. Evolution of strategies for the collective-risk social dilemma relating to climate change [J]. Europhys Lett, 2011, 95: 40006.

[9] Pacheco J M, Santos F C, Souza M O, et al. Evolutionary dynamics of collective action in N-person stag hunt dilemmas [J]. Proc Biol Sci, 2009, 276: 315-321.

[10] Chakra M A, Traulsen A. Evolutionary Dynamics of Strategic Behavior in a Collective-Risk Dilemma [J]. Plos Comput Biol, 2011, 8(8): e1002652.

[11] György S, Csaba T. Evolutionary prisoner’s dilemma game on a square lattice [J]. Phys Rev E, 1998, 58(1): 69-73.

[12] Zipf G K. Human behavior and the principle of least effort [M]. Cambridge: Addison-Wesley Press, 1949: 124-125.

[13] 施华萍，柯见洪，孙策，等.中国人口分布规律及演化机理研究[J].物理学报，2009，58（1）：1-8.

(编辑：王一芳)

On Population Aggregation Behaviors in the Perspective of Group Risk Resistance

LIU Yanjun, WANG Xiaofang, KE Jianhong
(School of Physics and Electronic Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A collective risk model is proposed in this paper to analyze the aggregation behavior of population.In the model, the population distributes in a lattice of a certain network structure, thus the collective risk usually outbreaks at each node with a certain probability. the threshold against the collective risk for each node has a power-law relation dependent on its population size at such a lattice point. At each time step, all the population provides a sum of funds to defense the collective risk. Once the total investment value is less than the threshold value at this lattice point, the collective risk takes place with a certain probability at random.Each person at the point can select to put either increased (or decreased) investment or migrate to the neighboring node according to the actual situation. The numerical simulation results show that the population distribution will satisfy the Pareto distribution after a long time evolution. And the population distribution with more population number lattice point accords with Zipf's law. In addition, the characteristic exponent of the population distribution regularities depends on the probability of risk occurrence and the system parameters like network topology.

Group Risk; Population Aggregation; Numerical Simulation

TP391.9

A

1674-3563(2017)04-0029-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2017-02-26

国家自然科学基金(11175131)

刘延军(1990- )，男，山西长治人，硕士研究生，研究方向：凝聚态统计物理