具有知识溢出效应的双寡头博弈的混沌动力学分析

黄萌佳，张雅慧，唐兴巧

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

具有知识溢出效应的双寡头博弈的混沌动力学分析

黄萌佳，张雅慧，唐兴巧

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

把不同理性、非线性成本及知识溢出效应等参数引入到模型中，建立了具有学习能力的有限理性异质双寡头博弈模型，对有限理性预期下的动态决策过程和系统的混沌复杂性进行研究，并借助Matlab工具分析了系统在相关参数变动下企业双方的演化路径，探讨了企业双方生产技术水平、知识溢出效应的差异对系统的影响.

双寡头；学习能力；知识溢出；混沌

双寡头市场是最具有代表性的寡头垄断市场，在经济学中，Cournot模型[1]与Bertrand模型[2]都是研究寡头市场的经典理论，但 Cournot模型是以生产同质产品和给定产量为前提，Bertrand模型是以价格作为决策变量.近年来，国内外许多经济学者对Cournot模型进行了改进，把有限理性、适应性预期、不同的策略和溢出效应等因素引入到经典的Cournot模型中，使得该模型成为分析寡头市场中各个企业策略行为时应用最广泛的模型之一，并通过数值模拟发现倍周期分岔、混沌等一系列复杂的动力学现象.Jaffe[3]提出企业间的知识溢出是指企业通过观察其它企业的产品技术，低成本地学习其它企业的创新，提高自身研发效率.刘天卓等[4]分析了知识溢出的双寡头博弈，但未分析其混沌现象的产生.马如飞等[5]利用微分博弈研究了双寡头企业的动态研发和合作竞争的问题，但研究限定两家企业生产相同的产品.然而在一个双寡头市场竞争中两家企业可能生产异质产品，并且每个企业的学习能力也是有限的.植璟涵等[6]分析了具有技术溢出和学习能力的有限理性企业间的寡头竞争，并研究了社会福利的影响，但是未分析动态系统的混沌复杂性下不同策略对系统混沌模型的解释.Tramontanna[7]和 Ma[8]对寡头竞争的异质产品进行研究，但未分析其企业间较为复杂的动力学性质.易余胤等[9]对寡头竞争进行了比较详细的动力学研究，分析企业间较为复杂的动力学现象，但未对混沌分岔现象进行详细解释.本文以企业的生产量作为研究变量，分析各寡头间重复博弈过程的复杂性，并通过产量的逐步调整策略[10]，研究非线性动力系统中寡头的产量竞争.通过理论分析、数学模型的推导以及数值仿真模拟来研究市场中各企业的博弈竞争过程，利用混沌动力学理论研究各企业在博弈过程中所体现的复杂动力学行为，从而为各企业在市场竞争中如何采取策略提供理论支持.

1 模型的构建与求解

假设在某一地区某一市场中，有两个生产异质产品的企业，分别记为企1和企业2，两家企业在市场上进行产量竞争.其中q1(t)和q2(t)分别表示企业1和企业2在t时刻的产量水平，假设企业i(i=1,2)在时刻t的逆需求函数为：

其中a, b, d是三个确定的参数，且0≤d≤b，a表示企业1所处市场的规模，b表示企业2对自身价格的敏感程度，d反映了两个企业所生产产品的可替代性.d接近b说明可替代程度较高；d=b时，产品可以完全替代，也就是说两个产品是同质的；d=0时，表明这两个产品是完全异质的.假设企业i(i=1,2)的成本函数为：

企业i(i=1,2)的利润函数分别为：

企业1的边际利润函数为：

有限理性双寡头企业i(i=1,2)将采用不同的调整机制对产量进行调整.假设企业1理性程度较高，掌握市场信息更丰富，采用GD机制[11-13].它会根据对边际利润的局部估计来决定下一期的产量，若其为正（负）企业1将增加（减少）下一期的产量.企业1的产量调整机制为：

其中w表示企业1的产量调整速率.

假设企业2采取自适应性预期，也就是说其在确定下一时期的产量时，基于自己上一期的产量决策与上一时期的最优产量决策进行，可表示为：

假设企业2具有一定的学习能力，通过多次博弈，其逐步达到完美决策.因此，得到企业2的具有学习能力的自适应产量调整机制为：

其中g为企业2的学习吸收能力.g=0时，企业2的学习能力很强；g=1时，企业2没有学习能力.此时表达式退化为适应性预期方程，由（8）可得

可得到具有不同理性和学习能力的双寡头动态产量调整模型：

2 双寡头动态垄断模型的系统稳定性分析

把（15）式和（16）式分别代入条件1）、条件2）和条件3）中，则条件2）变为

由于均衡点的非负性可得（17）式恒成立，因此条件 2）满足.则系统的稳定域由条件 1）和条件3）决定.其中条件1）可写为：

2.3 数值模拟

为更好地分析系统（11）的动力学特性，借助Matlab工具进行数值模拟，图1为企业1调整参数w的变动对系统演化的影响.系统的参数取值为：企业i(i=1,2)的产量初始值分别为：当w＜ 0.1452时，Nash均衡点是稳定的.当w=0.1452时，系统出现了两周期分岔.当w进一步增大将不再稳定，企业产量将会出现四周期分岔、混沌等复杂的动力学现象.图2表示其它参数不变，企业2学习能力指数g增强时，企业1调整参数w的变动对系统（11）演化的影响，其参数取值分别为：.从图1和图2可以看出，学习能力增强后双方均衡产量减少，并产生不同的混沌行为.

图1 g=0.3时，w的变动对系统（11）演化的影响Fig 1 Dynamic Process of the System (11)with Respect tow, when g=0.3

图2 g=0.7时，w的变动对系统（11）演化的影响Fig 2 Dynamic Process of the System (11)with Respect tow, when g=0.7

2.4 Lyapunov指数图分析

Lyapunov指数是定量描述混沌系统的一个重要指标，它的值是实数.对于系统是否存在混沌现象可从最大Lyapunov指数是否大于零来判断.当最大Lyapunov指数为负时，相空间体积收缩处于稳定运动状态，不具备初值敏感性.当其大于零时，相空间轨道分离[15]，并具有初值敏感性，这时整个系统将处于混沌状态.当最大Lyapunov指数为0时，系统处于两者临界状态.图3为系统（11）随w变化时的最大Lyapunov指数图，从图3可以看出当时系统的最大 Lyapunov指数为负，且系统最终将处于稳定状态.这时两个企业的生产量处于稳定域内，始终保持Nash均衡状态.最大Lyapunov指数接近于0点，即点与图1中系统的第一次分岔点是相对应的，这时系统将会出现周期分岔现象.当时，系统的最大Lyapunov指数小于0.时，最大Lyapunov指数接近于0点，与图1中第二次分岔点是相对应的.随着w值的继续增大，这个时候系统将逐步进入到混沌状态，Nash均衡点处不再稳定，整个市场将处于混乱竞争状态.

图3 系统（11）随w变化时的最大Lyapunov指数图Fig 3 Maximum Lyapunov Exponent Diagram with Variation of w in System (11)

2.5 系统吸引子分析

奇异吸引子是混沌现象的一个重要的内在特征，是对相空间中不规则轨道的一个度量，并且具有临近点吸引子发生指数的离析特征，即随着时间推移，确定性的系统会发生变化，这就是所谓的对初始条件的敏感依赖程度.图4是w取不同值时的混沌吸引子，与图1中系统（11）关于w的单参分岔图相对应.从图4中可以看出，随着w取值的不断增大，分形结构越来越清晰，吸引子的图像也越来越完整.

图4 系统（11）中w取不同值时的混沌吸引子Fig 4 Chaotic Attractors when w is Applied with Different Value in System (11)

从图4中（a）图可看出当w=0.1321时系统是稳定的，（b）图中当w=0.1563时系统发生2周期分岔，（c）图中当w=0.1822时系统发生4周期分岔，（d）图中当w=0.1872时系统发生 8 周期分岔，（e）图中w=0.1877时系统发生16周期分岔，从（f）图-（h）图可看出w＞0.19时系统完全进入混沌状态.

2.6 初值条件敏感性分析

初值条件敏感性是混沌系统的一个重要特征[16]，系统对生产量的初值敏感依赖性可以用系统时间历程图检验.图5为w=0.1895时，系统的初始生产量分别为(0.5,0.5001)和(0.5001,0.5)时的生产量q1, q2的时间历程图.从图5中可以看出，刚开始时两条轨线几乎是重合的，但随着迭代次数的不断增加，两条轨线之间的距离也越来越大.在迭代了大约 50次以后，系统的生产量波动变化也越来越明显.由此可知，生产量初始值发生微小变化会对系统结果产生显著影响.

图5 生产量q1,q2的时间历程图Fig 5 Time Response Chart of Production q1,q2

3 结 论

通过理论分析和数值模拟可知，不同策略的双寡头企业博弈是一个动态变化过程，研发能力的高低与企业竞争有很大关系[17].在双寡头市场竞争基础上，本文将有限理性、溢出效应、学习能力、企业的自适应能力及非线性成本等因素考虑在模型之中，构建了具有学习能力和知识溢出的双寡头博弈模型.探讨了系统的稳定性，分析了相关参数变化对系统演化路径的影响，并通过数值模拟对一些混沌现象进行了分析和研究.

[1] Cournot A A. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth [M]. Paris: Hachette, 1897: 22-29.

[2] Stackelberg H. Marktform und Gleichgewicht [M]. Berlin: Springer, 1934: 20-55.

[3] Jaffe A B. Technological opportunity and spillovers of R amp; D: evidence from firms’ parents profits and market value[J]. Econ Model, 1986, 76(5): 984-1001.

[4] 刘天卓，陈晓剑，王荣.知识溢出与空间集聚的双寡头博弈分析[J].科学学研究，2015，7（23）：166-171.

[5] 马如飞，王嘉.动态研发竞争与合作：基于微分博弈的分析[J].科学管理，2011，32（35）：36-42.

[6] 植璟涵，张光宇.基于技术溢出与吸收能力的双寡头企业研发微分博弈分析[J].系统工程学报，2015，18（2）：94-99.

[7] Tramontanna F. Heterogeneous duopoly with isoelastic demand function [J]. Econ Model, 2010, 27(1): 350-357.

[8] Ma J, Wu F. The application and complexity analysis about a high-dimension discrete dynamical system based on heterogeneous triopoly game with multi-product [J]. Nonlinear Dyn, 2014, 77(3): 781-192 .

[9] 易余胤，盛昭瀚，肖条军.具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[J].系统工程学报，2004，19（3）：783-791.

[10] 杜建国，盛昭瀚，姚洪兴.一类混沌经济模型的直线控制法研究[J].系统工程学报，2005，20（4）：197-205.

[11] Elabbasy E M, Agiza H N, Elsadany A A. Analysis of nonlinear triopoly game with heterogeneous players [J]. Appl Math Comput, 2009, 57(3): 488-499.

[12] Agiza H N, Elsadany A A. Chaotic dynamics in nonlinear duopoly game with heterogeneous players [J]. Appl Math Comput, 2004, 149(3): 843-860.

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[14] 范明，董文波，杜建国，等.一类双寡头知识溢出模型混沌分析及控制[J].系统工程学报，2014，18（9）：9-13.

[15] 刘佳.电信业务市场竞争博弈过程解析及其复杂性研究[D].长春：吉林大学管理学院，2016：61-71.

[16] 唐兴巧，蒲新会，蔡成松.一类双渠道供应链博弈模型的分岔与混沌分析[J].温州大学学报（自然科学版），2017，38（2）：26-32.

[17] Matsumura T, Matsushima N, Cato S. Competitiveness and R amp; D competition [J]. Econ Model, 2013, 31: 541-547 .

(编辑：封毅)

Analysis on Chaos Dynamics of Duopoly Game with Knowledge Spillover Effect

HUANG Mengjia, ZHANG Yahui, TANG Xingqiao
(College of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

A type of bounded rational duopoly game model with learning abilities is established in this paper through different rationalities, nonlinear costs and the parameters such as knowledge spillover effect to be introduced into a dynamic competition model. And this dynamic decision-making process under the limited rational expectation as well as the system complexity of chaotic theory are analyzed and researched. System status under different parameter values are showed by employing Matlab numerical simulation. Meanwhile,the enterprise production technology level and difference of knowledge spillover effect on the system of impact are explored.

Duopoly; Learning Ability; Knowledge Spillover; Chaos

O194

A

1674-3563(2017)04-0013-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.04.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2017-01-02

甘肃省自然科学基金项目(148RJZA038)；甘肃省高等学校科研项目(2015B-047)；兰州交通大学青年科学研究基金项目(2015029)；庆阳市自然科学基金项目(KH301308)

黄萌佳(1991- )，女，河南许昌人，硕士研究生，研究方向：混沌经济学