利用辅助圆解决几何问题

孔繁艳

在处理平面几何中的许多问题时，我们常常需要作辅助线，常用的添辅助线的方法有连接、延长、平移或旋转，这些都是对直线而言的，但是有时我们也需要借助于圆的性质，构造辅助圆来帮助我们解决问题。而我们需要的圆多数在原图中并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来。

添补辅助圆的常见方法有：1.利用圆的定义添补辅助圆。2.作三角形的外接圆。3.运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。（2）同底同侧等角的三角形，各顶点共圆。（3）若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆。（4）若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB=PC·PD，则它的四个顶点共圆。

在本文中我重点介绍以下两种添加辅助圆的方法：1.利用圆的定义添补辅助圆；2.动点对定线段所张的角为定值问题中的辅助圆添加。

一、案例1及解法简析

1.题目展示

如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为 。

2.解法简析

要求线段AB′的最小值，经分析点A是一个定点，所以只要研究点B′的运动轨迹，问题就会迎刃而解。而由翻折可知，点B′到点D的距离不变，其长为2，点D也是一个定点，故可知点B′的运动轨迹满足圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合。所以点B′是以D为圆心，2为半径的圆上一点（如图2），这样连接AD与⊙D的交点为使得线段AB′的最小值的B′点。

二、案例4及解法簡析

1.题目展示

如图3，⊙O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 。

2.解法简析

本题的难点仍然在于研究动点C的轨迹。若能从题目中读出△AOB是等边三角形，从而得出∠AOB=60°，所以动点C对定线段AB所张的角∠ACB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，这样就可以确定点C的轨迹，从而求出△ABC的最大面积。

本文中的案例考查知识点多，代数与几何等知识相互渗透，综合性非常强，难度大，涉及分类、转化、数形结合、数学建模等常用的数学思想，考查了学生创造性思维及操作、探究、分析问题等能力，可谓知识与能力齐驱，基本数学思想和基本活动经验联动，回归到了新课标对学生获得“四基”能力的目标要求，关注了学生的学习过程，能有效引领教师平时的数学教学。

到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法，而关于动点对定线段所张的角为定值一类问题，当所张角是直角时，利用“直径所对的圆周角是直角”构造圆——直角（或垂直）与直径有着密切关系，要善于把它们联系起来处理问题，即要见直角（或垂直）想直径，又要遇直径思垂直；当所张角是锐角（想一想为何不会是钝角）时，利用圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”或其推论“同弧所对的圆周角都相等”构造圆——把所张角转化为圆心角或圆周角，最主要的是利用圆心角或圆周角确定出动点的运动轨迹，化动为静，对满足条件的动点准确定位，再解答。这也是解决此类题的切入点、通法，思考时通法优先是解压轴题的基本策略之一。

（作者单位：江苏省锡山高级中学实验学校）endprint