R0-代数的导子

花秀娟

西安理工大学 理学院 应用数学系，西安 710054

R0-代数的导子

花秀娟

西安理工大学 理学院 应用数学系，西安 710054

引入了代数R0-的导子并研究了R0-代数上导子的相关问题。利用导子的保序性、收缩性、不动点集和R0-代数的滤子，获得了一个滤子成为好的理想导子滤子的充要条件，移植了不动点集在其他代数结构上的一些重要结果。

R0-代数；导子；不动点集；滤子

1 引言

为了给模糊逻辑提供更坚实的逻辑基础，文献[1]中提出了一种形式的演绎系统L*，并以此为背景抽象出R0-语义 Lindenbau代数的基本性质。在文献[2]中，王国俊教授提出了R0-代数，它可以为模糊命题形式演绎系统提供一种完备性解释[3]。

导子的理论来源于分析学，将它引入到代数系统中有助于研究代数系统的结构和性质。许多学者在不同的代数结构上研究了导子的性质[4-14]。Xin等在文献[6]中给出了模格、分配格和具有最大元的格上的导子成为保序导子的等价条件，并利用保序导子刻画了模格、分配格的特征。齐霄霏等文献[8]中从几个不同的角度给出了三角环上可加左导子的结构性质。此外，也得到了满足一定条件的环上可加左导子的两个不同刻画。文献[8]中，利用⊗-导子研究了BL-代数的相关性质。重点讨论了BL-代数的强⊗-导子的性质，研究了格上的∧-导子和BL-代数⊗-导子的关系，并借助保序导子刻画了BL-代数的特征。

本文给出了R0-代数导子的概念，并研究了它的一些基本性质。 而且借助理想导子刻画了R0-代数的特征。

2 预备知识

定义2.1[1]设(M ,∨,∧,0,1)是有界分配格，':M→M是逆序对合对应，→:M→M是二元运算。M称为R0-代数，若以下条件成立：

(M1)x′→ y′=y′→ x′；

(M2)1→x=x,x→x=1；

(M3)y→z≤(x→y)→(x→z)；

(M4)x→(y→z)=y→(x→z)；

(M5)x→(y∨z)=(x→y)∨(x→z)，

x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)；

(M6)(x→y)∨((x→y)→x′∨y)=1。

在R0-代数M 中，对任意x,y∈M ，定义x⊗y=(x→y′)′，x⊕y=x′→y 。称 B(M)={x ∈M,x⊗x=x}为 M 的布尔中心。 在以下，对任意 n＞1，令 xn=

定义2.2[4]设M 是R0-代数，F⊆M。若x,y∈M，有

（F1）1∈F

（F2）x∈F，x→y∈F⇒y∈F

则称F为M上的一个滤子。滤子的全体记为F(M)。

设 A∈M ，由 A生成的滤子(A]=⋂F∈F(M),A⊆M。

若A有限，则称(A]是有限生成的滤子。

定 理 2.3[4](A]={x|∃a1,a2,…,an∈A,v.t.a1→(…(an→x)…)=1,n∈N}

引理2.4[2]设 M 是R0-代数，则以下结论成立：∀x,y,z∈M

（1）x≤y⇔x→y=1

（2）x≤y→x

（3） x′=x→0

（4）(x→y)∨(y→x)=1

（5）若 x≤y，则 x→z≥y→z

（6）若 x≤y，则 z→x≤z→y

（7）((x→y)→y)→y=x→y

（8）x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)

（9）x⊗x′=0,x⊕x′=1

（10）x⊗y≤x∧y,x⊗(x→y)≤x∧y

（11）(x⊗y)→z=x→(y→z)

（12）x≤y→(x⊗y)

（13）x⊗y≤z⇔x≤y→z

（14）若 x≤y，则 x⊗z≤y⊗z

（15）x→y≤(y→z)→(x→z)

（16）(x→y)⊗(y→z)≤x→z

引理2.5设M是R0-代数，则以下结论成立：∀x,y,z∈M

（1）x⊗(y∧z)=(x⊗y)∧(x⊗z)

（2）x⊗(y∨z)=(x⊗y)∨(x⊗z)

证明（1）由上面的定义可知

x⊗(y∧z)=[x→(y∧z)′]′又由(M5)和格的性质得：

（2）同理可证。

引理2.6设 M 是 R0-代数，对任意的 x∈M ，a∈B(M)，有 x⊗a=x∧a。

证明 由引理2.3（1）和a∈B(M)可知，a⊗(a∧x)=(a⊗a)∧(a⊗x)=a∧(a⋅⊗x)，因此结论成立。

3 R0-代数的导子

定义3.1设M是一个R0-代数，若d满足：∀x,y∈M ，d(x⊗y)=(d(x)⊗y)∨(x⊗d(y))，则称 d 是 M 的导子。简记d(x)=dx。

注 导子概念源于分析理论，它是对R0-代数中的元素定义的一个映射。在R0-代数中引入它，主要是为了研究R0-代数的结构和性质。

例3.2设 M 是R0-代数，对任意 x∈M ，定义一个映射d:M→M 为d(x)=0，则d是M上的导子，称为零导子。更进一步，对任意 x∈M，定义一个映射d:M→M为d(x)=x，则d是M上的导子，称为单位导子。

命题3.4设M是R0-代数且d是M上的导子，则下列结论成立：∀x,y∈M

（1） d0=0

（2） dx⊗x′=0，dx′⊗x=0

（3） dx≥x⊗d1

（4） d(xn)=xn-1⊗dx

证明 （1）d0=d(0⊗0)=(d0⊗0)∨(0⊗d0)=0⊗d0=(0 → (d0)′)′=(d0 → 1)′=0 。

（2）0=d0=d(x⊗x′)=(x⊗dx′)∨(x′⊗dx)，则 x⊗dx′=0,x′⊗dx=0 。

（3）因为 dx=d(x⊗1)=(dx⊗1)∨(d1⊗x)=dx∨(d1⊗x)，所以dx≥x⊗d1。

（4）dx2=d(x⊗x)=dx⊗x，dx3=d(x2⊗x)=(dx2⊗x)⊗(x2⊗dx)=dx⊗x2，依 次 类 推 ，d(xn)=xn-1⊗ dx成立。

定义3.5设M是R0-代数且d是M上的导子。

（1）若对任意 x,y∈M ，当 x≤y时，有dx≤dy，则称是d保序导子。

（2）若对任意x∈M，有dx≤x，则称d是收缩导子。

特别的，若d是保序的和收缩的，称其为理想导子。

命题3.6设M是R0-代数且d是M上的保序导子，则下列结论成立：∀x,y,z∈M

（1）若 x≤y→z，y≤dx→dz且 x≤dy→dz。

（2）x→y≤dx→dy,d(x→y)≤x→dy。

证明（1）对 ∀x,y,z∈M ，若 x≤y→z，则由引理2.4（13）知 x⊗y≤z，因为d是保序导子，则d(x⊗y)≤dz，即 (dx⊗y)∨(x⊗dy)≤dz，故有 dx⊗y≤dz且x⊗dy≤dz，从而有 y≤dx→dz且x≤dy→dz。

（2）对∀x,y∈M ，由引理2.4（10）知 x⊗(x→y)≤y，则 d(x⊗(x→y))≤dy ，即 (dx⊗(x→y))∨(x⊗d(x→y))≤dy。这意味着dx⊗(x→y)≤dy且x⊗d(x→y)≤dy。因而有 x→y≤dx→dy且d(x→y)≤x→dy。

命题3.7设M是R0-代数且d是M上的收缩导子，则下列结论成立：∀x,y∈M

（1）dx⊗dy≤d(x⊗y)≤dx∨dy。

（2）若d是保的，d(x→y)≤dx→dy≤dx→y。

（3）(dx)n≤d(xn)。

（4）若d1=1，则d是单位导子。

证明（1）因为d是收缩导子，所以对任意x,y∈M，有 dx≤x。又由引理2.4（14）有，dx⊗dy≤x⊗dy且dx⊗dy≤dx⊗y，因而有 dx⊗dy≤(x⊗dy)∨(dx⊗y)=d(x⊗y)。另一方面，dx⊗y≤dx且 x⊗dy≤dy，从而有 d(x⊗y)≤(dx⊗y)∨(x⊗dy)≤dx∨dy。故有dx⊗dy≤d(x⊗y)≤dx∨dy。

（2）由引理2.4（10），对任意 x,y∈M ，x⊗(x→y)≤y，可得 d(x⊗(x→y))≤dy。由（1）知，dx⊗d(x→y))≤d(x⊗(x→y))，从而有dx⊗d(x→y)≤dy，即 d(x→y)≤dx→dy 。另一方面，由引理 2.4（6）当x≤y时，dx→dy≤dx→y。从而有 d(x→y)≤dx→dy≤dx→y。

（3）由（1）知 dx⊗dx≤d(x⊗x)，故 dx⊗dx⊗dx≤d(x⊗x)⊗dx≤d(x⊗x⊗x)。依此类推，(dx)n≤d(xn)。

（4）由命题3.4（3）知 dx≥x⊗d1，假设 d1=1，可得x=x⊗1≤dx≤x。故对任意x∈M ，dx=x。即d是单位导子。

定理3.8设M是R0-代数且d是M上的导子，则下面是等价的：

（1）设d是 M 的理想导子且d2=d，其中对任意x∈M ，d2(x)=d(dx)。

（2）对任意 x,y∈M ，d满足dx→dy=dx→y。

证明 (1)⇒(2)假设d是M 的理想导子且d2=d。对任意 y∈M ，由dy≤y得dx→dy≤dx→y。 另一方面，令t≤dx→y，其中t∈M ，则dx⊗t≤y。因为d是保序的，所以 d(dx⊗t)≤dy。由 d(x⊗y)≤(dx⊗y)∨(x⊗dy)，可得d(x⊗y)≤dx⊗y。从而d(dx⊗t)≥d(dx)⊗t，又 d2=d ，所以 dx⊗t≥d(dx⊗t)≤dy。故t≤dx→dy，这意味着dx→y≤dx→dy。因而对任意 x,y∈M ，dx→dy=dx→dy。

(2)⇒(1)假设对任意 x,y∈M ，dx→dy=dx→y。首先，因为dx⊗1≤dx，所以1≤dx→dx=dx→x，则dx⊗1≤dx，即dx≤x。因而d是收缩导子。更进一步，对任意 x,y∈M ，设 x≤y，有dx⊗1=dx≤x≤y，得到1≤dx→y=dx→dy，这意味着 dx⊗1≤dy，即dx≤dy。因而d是保序。 故d是M的理想导子。最后，因为dx⊗1≤dx，所以1≤dx→dx=dx→d(dx)。则 dx⊗1≤d(dx)，得出 dx≤d(dx)，结合 d(dx)≤dx，有d(dx)=dx，即d2=d。

定理3.9设M是R0-代数且d是M上的收缩导子，若d1∈B(M)，则下面结论是等价的：

（1）d是理想导子；

（2）dx≤d1；

（3）dx=d1⊗x；

（4）d(x∧y)=dx∧dy；

（5）d(x∨y)=dx∨dy；

（6）d(x⊗y)=dx⊗dy。

证明 (1)⇒(2)因为对任意 x∈M ，x≤1，且d是单调的，故有dx≤d1。

(2)⇒(3)假设对任意x∈M ，有dx≤d1。因为d1∈B(M)，所以 dx=d1∧dx=d1⊗dx≤d1⊗x ，另一方面，由命题 3.4（3）可知 dx≥x⊗d1，因而有 dx=d1⊗x。

(3)⇒(4)假设对任意x∈M ，dx=d1⊗x。即d(x∧y)=d1⊗(x∧y)=d1∧(x∧y)=(d1∧x)∧(d1∧y)=(d1⊗x)∧(d1⊗y)=dx∧dy。

(4)⇒(1)假设 x≤y，则 x∧y=x。由（4）可知 dx=d(x∧y)=dx∧dy，即dx≤dy。所以d是理想导子。

(3)⇒(5)由引理 2.4（2）和（3）可知 d(x∨y)=d1⊗(x∨y)=(d1⊗x)∨(dx⊗y)=x∨y。

(5)⇒(1)假设 x≤y，则 x∨y=y。由（5）可知 dy=d(x∨y)=dx∨dy，即dx≤dy。 所以d是理想导子。

(3)⇒(6)由（3）可知 d(x⊗y)=d1⊗(x⊗y)=(d1⊗x)⊗(d1⊗y)=dx⊗dy。

(6)⇒(2)dx=d(x⊗1)=dx⊗d1=dx∧d1，即dx≤d1。

命题3.10设M 是R0-代数且d，d1，d2是M上的理想导子，则有

（1）对∀x,y∈Fixd(M)，x⊗y,x∨y∈Fixd(M)。

（2）若d1∈B(M)，则d1=d2当且仅当

Fixd1(M)=Fixd2(M)

证明（1）对任意x,y∈Fixd(M)，有dx=x且dy=y。由命题3.7（1）可得 x⊗y=dx⊗dy≤d(x⊗y)≤x⊗y，这意味着 x⊗y∈Fixd(M)。另一方面，d是 M 上的理想导子，所以 x∨y=dx∨dy≤d(x∨y)≤x∨y，由此可得d(x∨y)=x∨y，即 x∨y∈Fixd(M)。

（2）设 d1=d2，很显然 Fixd1(M)=Fixd2(M)。反之，假设 Fixd1(M)=Fixd2(M)，因为 d11∈B(M)，所以由定理3.9（3）可知对任意 x∈M ，d1x=d11⊗x，进而d1(d1x)=d11⊗d1x=d11⊗(d11⊗x)=d11⊗x=d1x，即 d1(d1x)=d1x，故 d1x∈Fixd1(M)=Fixd2(M)，因而d2(d1x)=d1x。同理可得d1(d2x)=d2x。另一方面，d1，d2是M 上的理想导子，有d1(d2x)≤d1x=d2(d1x)。即d1(d2x)≤d2(d1x)。用同样的方式可得d2(d1x)≤d1(d2x)。故d1(d2x)=d2(d1x)，从而d2x=d1(d2x)=d2(d1x)=d1x。

定义3.11设M是R0-代数，d是M上的一个理想导子且F是M 的滤子，对任意 x∈M ，若 x∈F推出dx∈F，则称F是M的理想导子滤子。

命题3.12设M是R0-代数，d是M上的理想导子。 若F是M的滤子，则F是M的理想导子滤子的充要条件是F=(F⋂Fixd(M)]。

证明 设F是M的理想导子滤子。设x∈F，则dx∈F 。又由定理 3.8（1）可知 dx∈Fixd(M)，得到dx∈(F⋂Fixd(M)]。由dx≤x可得x∈(F⋂ Fixd(M)]。从而F⊆(F⋂Fixd(M)]。另一方面，设x∈(F⋂Fixd(M)]，则存在 y∈(F⋂Fixd(M)]使得 x≥y。因此有 x≥dx≥dy=y，故 x∈F。所以F=(F⋂Fixd(M)]。

反之，假设F=(F⋂Fixd(M)]。设x∈F，x→dx∈F，由定理2.3可知存在 a1,a2,…,am∈F⋂Fixd(M)，b1,b2,…,bn∈F⋂Fixd(M)使得 a1→(…(am→x)…)=1，b1→(…(bn→(x→dx))…)=1 ，由定义 3.1（M4）得 x→(b1→(…(bn→dx))…)=1 ，即 x≤b1→(… (bn→ dx)…)。所以 1=a1→(… (am→x)…)≤ a1→(… (am→ (b1→(…(bn→dx))…))…)，因 此 a1→(… (am→(b1→(…(bn→dx))…))…)=1，即 dx∈F 。

4 结束语

本文将导子理论应用到R0-代数上，引入R0-的导子的概念并给出例子。利用导子的保序性、收缩性、不动点集和R0-代数的滤子，获得了一个滤子成为好的理想导子滤子的充要条件，移植了不动点集在其他代数结构上的一些重要结果。由于导子理论可以更好地研究代数系统的结构和性质，因而还可以进一步研究基本代数的导子。

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HUA Xiujuan

Department of Mathematics,Xi’an University of Technology,Xi’an 710054,China

On derivations of R0-algebra.Computer Engineering and Applications,2017,53（21）：54-57.

In the paper,the derivation ofR0-algebra is introduced and investigated.By using the isotone property,contractive property,fixed point sets and filters ofR0-algebra,the necessary and sufficient condition of a filter to be a good ideal derivation filter is obtained.Some important results of fixed point sets on other algebra structure is popularized.

R0-algebra;derivations;fixed point sets;filters

A

O141.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1606-0343

陕西省西安理工大学科学研究计划项目（No.2015CX009）。

花秀娟（1981—），女，博士，讲师，研究领域为模糊代数，不确定性理论，E-mail：huaxiujuan1028@163.com。

2016-06-24

2016-08-30

1002-8331（2017）21-0054-04

CNKI网络优先出版：2016-12-21,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20161221.0842.022.html