探究多项开式的规律

■安徽省宣城中学高二(24)班 唐 睿

探究多项开式的规律

■安徽省宣城中学高二(24)班 唐 睿

当我们将多项式展开时,会发现一些规律,比如:

(1×x+1×y)2=1×x2+2xy+1×y2;

1×101+1=11,1×102+2×101+1×100=121,112=121;

(1×x+2×y)2=1×x2+4xy+4y2;

1×101+2=12,1×102+4×101+4×100=144,122=144;

(1×x+3y)2=1×x2+6xy+9y2;

1×101+3=13,1×102+6×101+9×100=169,132=169。

再往下推,就需要进位:

(1×x+4y)2=1×x2+8xy+16y2;

1×101+4=14,1×102+8×101+16×100=196,142=196。

我们还可以进一步推广:

1×102+4=104,1×104+8×102+16×100=10816,1042=10816。

如果次数不是二次,还有上面规律吗?

(1×x+1×y)3=1×x3+3x2y+3xy2+1×y3。

1×101+1=11,1×103+3×102+3×101+1×100=1331,113=1331。

(1×x+2×y)3=1×x3+6x2y+12xy2+8y3。

1×101+2=12,1×103+6×102+12×101+8×100=1728,123=1728。

猜想数字是任意值都有上面的规律,下面给出证明过程:

证法一:(ax+by)n的展开式中,满足:

Tk+1=Ckn(ax)k(by)n-k=Cknakbn-k·xkyn-k。

这个规律还能继续推广:

项数为2也满足;项数为2个以上需要将多项式看成一个整体,最终变为2项才满足。其实,不一定非要乘以10的多少次方,乘以任意的数都可以,不过并没有太大的意义。

多项式还有另一个规律:

(1×x+4y)2=1×x2+8xy+16y2。

142=196;1+8+1+6=16;

1+9+6=16。

(1×x+1×y+1×z)2=1×x2+1×y2+1×z2+2xy+2xz+2yz;

1112=12321,1+1+1+2+2+2=9;1+2+3+2+1=9。

(ax+by+…)n也满足上面的关系式。

(责任编辑 徐利杰)