一道高考题引发的思考
2017-11-27山东省德州市第一中学高三杨景瑞
■山东省德州市第一中学高三(5)班 杨景瑞
一道高考题引发的思考
■山东省德州市第一中学高三(5)班 杨景瑞
导数问题在高考中常考常新,而如何构造函数解决导数问题是我们学习的难点,下面以一道高考题为例寻找解决这类问题的方法。
高考题 (2 0 1 5年新课标Ⅱ卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,x f'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )。
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
通过总结,我发现利用导数的运算法则构造函数问题可归结为三种类型。
一、f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型
例1 设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为____。
解析:当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0,所以函数h(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增。又h(x)为奇函数,且h(-3)=0,h(3)=0,h(0)=0,可以画一个符合题意的函数h(x)的图像,由图像得到不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3)。
二、x f'(x)±n f(x)型
例2 设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且x f'(x)+2f(x)>x2,下面的不等式在R内恒成立的是( )。
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)>x D.f(x)<x
解析:构造函数g(x)=x2f(x),则其导数为g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)。
(1)当x>0时,由x f'(x)+2f(x)>x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)>x3>0,即g(x)在区间(0,+∞)上递增,故g(x)=x2f(x)>g(0)=0⇒f(x)>0。
(2)当x<0时,由x f'(x)+2f(x)>x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)<x3<0,即g(x)在区间(-∞,0)上递减,故g(x)=x2f(x)>g(0)=0⇒f(x)>0。
(3)当x=0时,由x f'(x)+2f(x)>x2,得f(0)>0。
综上,对任意x∈R,都有f(x)>0。
三、λ f(x)±f'(x)(λ>0)型
例3 已知定义在R上的函数f(x),满足3f(x)>f'(x)恒成立,且f(1)=e3,则下列结论正确的是( )。
A.f(0)=1 B.f(0)<1
C.f(2)<e6D.f(2)>e6
小结:根据导数的运算法则构造函数问题,第一步,观察两式中间的符号,若是“+”,则构造积的形式,若是“-”,则构造商的形式;第二步,通过对比思考所出题目是哪一种类型,进行构造;第三步,根据构造的新函数的性质,解决问题。只要能熟练掌握以上解题思想并不断练习相关解题技艺,相信我们再遇到这类问题时一定能顺利解决。
(责任编辑 刘钟华)