一类四阶抛物方程的一个低阶混合元的超收敛分析

杨晓侠++程会锋

摘 要：对一类四阶抛物方程利用双线性元给出了一个低阶混合元半离散格式。基于双线性元的高精度结果，利用导数转移技巧和插值后处理技术，在半离散格式下得到了原始变量在H1-模意义下和中间变量在-模意义下的阶的超收敛结果。

关键词：四阶抛物方程 混合元方法 双线性元 半离散格式 超收敛

中图分类号：O242.21 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）10（a）-0198-02

考虑如下四阶抛物方程的初边值问题[4]。

（1）

其中是矩形区域，为的边为单位外法向量，和是已知的光滑函数。

四阶抛物问题有着广泛的应用，它可以用于人口问题中的弥散和增长及描述梁的静态运动或刚体运动等。由于与Galerkin方法相比，混合有限元方法具有对空间要求光滑度较低，并能同时得到原始变量和中间变量的误差估计等优势，应用混合有限元方法来研究四阶抛物问题受到了广泛关注[2-4]。但我们注意到上述文献讨论的都是边界为“”的四阶抛物方程，而对于边界为“”的四阶抛物方程基于双线性元进行的混合有限元分析， 似乎还未见报道。

本文首先针对问题（1），通过引入中间变量，将四阶问题转化为两个二阶方程方程组成的方程组；其次，建立了该方程组的混合有限元半离散格式，同时结合双线性元的高精度结果，采用关于时间t的导数转移技巧和插值后处理技术，得到了原始变量在H1模意义下和中间变量在模意义下的阶超收敛性质。

1 单元构造及性质

设是Ω的一个矩形单元剖分组，满足正则性假设。

，记它的四个顶点坐标分别为，

其平行于轴的边长分别是。

双线性元空间为其中。对于，设为由上誘导的插值算子，满足，及。

文献[5]利用积分恒等式技巧已证明了如下结论。

引理1：若，则 。 （2）

2 半全离散格式及其超收敛分析

令，则问题（1）等价于

（3）

问题（2）对应的变分问题为：求，使得

（4）

我们定义问题（4）的半离散逼近格式为：求，使得

（5）

类似于文献[4]，可以证明问题（5）存在唯一解。

定理1设分别为（4）和（5）的解，当

时，则有

其中，。

证明：令

。

根据（4）和（5）式得下面的误差方程

（6）

在（6）中令，利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，可得

（7）

在（6）中令，再次利用引理1及Schwarts和Cauchy不等式，则有

（8）

由（7）式和（8）式，可得

对上式从0到t积分，并且注意到则有

从而有

对上式利用Gronwall引理可得

为取得整体超收敛结果，我们引入文献[5]中构造的插值后处理算子，易证下面结论成立。定理2设，分别为（4）和（5）的解，在定理1的条件下有如下的超收敛结果。

参考文献

[1] C.I.Christov， J.Pontes，D.Walgraef etc.Implicit time splitting for fourth-order parabolic equations[J].Comput.Methods Appli.Mech. Engrg，1997（148）：209-224.

[2] 石东洋，史艳华，王芬玲.四阶抛物方程H1—Galerkin混合元方法[J].计算数学，2014，36（4）：363-380.

[3] 杨晓侠，石东洋，张芳.一类四阶抛物方程一个低阶非协调混合元方法的超收敛分析[J].应用数学，2016，29（2）：370-380.

[4] 曹欣杰，李永献，王俊俊.一类四阶抛物方程的一个非协调混合元全离散格式[J].山西大学学报：自然科学版，2016，39（1）：17-23.

[5] 林群，严宁宁.高效有限元构造与分析[M].保定：河北大学出版社，1996.endprint