基于短时分数阶傅里叶变换的谱分割算法

卢广阔

(中国西南电子技术研究所,成都 610036)

基于短时分数阶傅里叶变换的谱分割算法

卢广阔

(中国西南电子技术研究所,成都 610036)

多分量非线性调频信号在现代通信和雷达系统中应用越来越广泛,而对其进行有效分析识别的常用算法就是短时分数阶傅里叶变换(Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT)．文章首先讨论了STFRFT的圆特性,证明了它基于高斯旋转窗的非圆性并给出了修正的圆的STFRFT定义;在此基础上研究了时频变换后不同时频点的谱峭度,进而推导出了区域集的谱峭度,并将该区域谱峭度作为谱图上某区域内是否含有信号点的检测因子;最后基于区域集谱峭度的区域增长算法被用于从谱图中盲分割识别出各个非线性调频分量信号．仿真实验验证了所提算法的有效性和鲁棒性．

短时分数阶傅里叶变换(STFRFT);非线性调频信号;区域增长算法;谱峭度

引 言

非线性调频(Nonlinear Frequency Modulation, NLFM)[1]信号指的是瞬时频率随时间非线性变化的一类非平稳信号,它广泛存在于现代雷达、语音、生电和地震物理等领域中．由于多个NLFM信号的分析识别技术具有重大的实用价值,国内外学者对此进行了大量的研究和探索．但该类信号的形式复杂多变,且常常被淹没在噪声之中,这使得对该类信号的分析识别首先需要将信号分量从噪声中检测出来,其次需要将多个NLFM信号分离开来．显然,这是一个非常有难度的问题,因为现有的各类时频分析方法在此类应用中常常存在这样那样的缺陷和不足[2]．短时分数阶傅里叶变换(Short Time Fractional Fourier Transform, STFRFT)[3]是一种新提出的较为有效的时频表示方法,它对于NLFM信号具有较好的时频聚焦性,并对交叉项也具有较强的抑制作用．另外,基于短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform, STFT)的谱分割算法作为一种有效地从谱图中自适应提取信号分量的新算法[4],已经成功地应用于自适应语音识别之中．在本文中,为了将STFRFT用于多分量NLFM信号的盲分析识别,本文拟将谱分割算法[5]引入其中,研究基于STFRFT的谱分割新算法．

本文的第一部分给出了将多分量NLFM信号建模成确定性信号分量的混合模型,并讨论了为什么时频变换要满足圆特性．第二部分主要研究了STFRFT的变换特性,给出了高斯白噪声和NLFM信号分量经过变换后的统计特性;为了更好地用于谱分割,我们给出了一个修正的圆的STFRFT,它使得变换后的所有复高斯噪声变量都是圆的．第三部分进一步讨论了修正STFRFT后噪声点和含信号分量点的谱峭度差异,并推导出了区域谱峭度的表达式．最后给出了基于区域增长的STFRFT谱分割算法,并进行了仿真验证．

1 信号模型

x(n) =s(n)+w(n)

n=0,1,…,N-1.

(1)

式中:s(n)为混合信号分量;l为各分量信号的对应序号;bl为各分量信号的幅度;ail(i=0,1,2,3)为第l个NLFM信号的相位系数;N为采样点数．

(2)

(3)

2 STFRFT的圆特性

作为分析NLFM信号的一种有效方法,STFRFT算法可以通过改变其窗函数的宽度和调频斜率来提高时频聚焦性．其基于时频域的一般定义为[9]

(4)

式中:u为分数阶傅里叶域的索引;hα,σ(τ)为高斯旋转窗函数,该窗函数可以通过改变参数σ和α来分别控制窗的宽度和调频斜率,进而改变STFRFT算法对时频域多分量信号的分析识别性能．

显然,选择一个最优的窗参数是该变换算法的核心,为此研究人员提出了各种选取准则．其中从时频联合分布的角度出发,选择最优窗参数一般是基于最大时频分辨率和最小时频支撑两种准则[6]．在理论分析中,由第一种准则可推出,当且仅当窗函数为高斯窗时,STFRFT具有最大时频分辨率2/|sinα|;而考虑第二种准则,当信号具有最小时频支撑时,可得窗函数[10]

exp-Bαt2/(2T|sinα|)．

(5)

式中:T为时宽;Bα为信号在α阶分数阶傅里叶域的频宽．

2.1旋转高斯窗的谱密度

对离散时间序列x(n)进行M次STFRFT,则其时频谱可以认为由M次复值傅里叶变换构成,取冗余点数为0,则表示为

(6)

(7)

=wTγ[m,k]w

(8)

式中:0矩阵的大小可以调节与窗宽配对;C和S来自变换核的正弦和余弦,且有

Ω=diag(hα,σ(n))(Cm,k+Sm,k)i,j

(9)

向量w=[w0,w1,…,wNh-1]是由零均值高斯分布

函数构成的协方差矩阵向量;Wα,σ[m,k]和Hα,σ[m,k]分别表示噪声信号w(n)和分析窗函数hα,σ(n)的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT);*表示卷积．

对于高斯旋转窗,定义γ[m,k]矩阵满足

(10)

对γ[m,k]进行特征值分解,可得其非零特征值λα,σ满足[8]

(11)

为了描述旋转高斯窗的非零特征值随时间和频率的变化情况,进一步取λα,σ(γ[m,k])=max(λ1,λ2),并对其做仿真,仿真结果如图1所示．其中,横坐标为采样点数m,纵坐标为频点k,不同颜色表示不同时频点的非零特征值λα,σ(γ[m,k]),其中深红色表示值为1,白色表示值为0.5．

图1 旋转高斯窗的λα,σ[m,k]随参数 m和k的变化

从图1可以看出:越是接近旋转高斯窗频域中间的点,其非零特征值越逼近0.5,则(λ1,λ2)越对称;相反,越是远离旋转高斯窗频域中心的点,其非零特征值越逼近1,则(λ1,λ2)越不对称．

(12)

式中:U(·)表示均匀分布;I0为贝塞尔函数．

2.2基于旋转高斯窗的STFRFT的非圆特性及修正

(cos(-2πkn/Nh))2;

综上所述，我国城市化进程的不断加快，极大地带动了我国建筑行业的发展。为了缓解城市交通压力，使我国地铁工程大力发展，地铁隧道工程施工也得到了越来越多人们的关注。本文通过对某市地铁施工工程进行分析，从超前支护技术、二次衬砌技术、隧道开挖技术、初期支护技术4个方面对地铁隧道施工技术进行了全面的分析，进而不断提高我国地铁隧道施工技术的应用水平，并且在此基础上不断创新，促进地铁施工技术的发展。

(13)

(sin(-2πkn/Nh))2.

(14)

式中,var(·)表示取方差．

(15)

(16)

同样的,上述两式可以重写成:

(17)

式中,函数Φα,σ[m,k]满足

(18)

显然,对于任何一个时频点[m,k],当且仅当Φα,σ[m,k]等于0时,才有λα,σ[m,k]等于1/2,ρα,σ[m,k]等于0,此时才有离散STFRFT的系数Wα,σ[m,k]是圆的,这也就意味着基于高斯旋转窗的STFRFT在该时频点上是圆的．因此,讨论函数Φα,σ[m,k]的性质非常有必要．

由式(18)可得,Φα,σ[m,k]由两部分构成:相位系数e(-4jπkm/Nh)和离散窗函数平方(hα,σ(n))2的DFT．对于确定的m和k,相位系数的值是保持不变的,因此函数Φα,σ[m,k]的特性主要取决于离散窗函数的特性．而高斯旋转窗的特性在2.1节中详细讨论过,不幸地是,其在大部分点上不满足λα,σ[m,k]等于1/2．此时,即使有ρα,σ[m,k]等于0,函数Φα,σ[m,k]的实部也不等于0,则函数Φα,σ[m,k]也不为0．因此,基于旋转高斯窗函数hα,σ(n)的STFRFT在大部分点上都是非圆的．

由第一节可知,当且仅当离散STFRFT是圆的时,零均值高斯白噪声w(n)的功率谱系数才满足中心χ2分布,含有信号能量的噪声点的功率谱系数才满足非中心χ2分布．因此,只有离散STFRFT满足圆特性,这种不同时频点的概率分布不同的特性才能被应用于分离信号和噪声．为此,我们需要重新定义STFRFT如下[10]:

(19)

式中,hα,σ(n)为奇数窗．此时,Φα,σ[m,k]变为

Φα,σ[m,k] =Φα,σ[0,k]

(20)

(21)

此时,当修正STFRFT取奇数窗时,在除边缘点以外的所有点上都是圆的,因此有Φα,σ[m,k]等于0,对其做仿真,结果如图2所示．不同颜色表示不同时频点的Φα,σ[m,k]值,图中深红色表示值为1,白色表示值为0．由图2可看出:除了边缘点的值逼近1之外,其他点的值都逼近0,这证明了该修正定义的有效性和修正后STFRFT的圆性;边缘点为1,是因为此处的噪声为实高斯变量,不满足圆性．

图2 修正后Φα,σ[m,k]随着参数m和k的变化

(22)

3 修正STFRFT的谱峭度

一般来说,时频图上的每个点都可以视为具有能量值的点,相邻的点聚集起来可以视为某个信号的能量谱．而要想将需要的信号分量从噪声或者其他分量信号中分离提取出来,只需要在时频图上将该信号分量的点区域分割出来,这就是时频分割算法的用途．时频分割就是通过分辨哪些点含有确定性信号分量、哪些点只含有噪声来分割信号和噪声区域的,甚至根据其他信息可以分割不同的信号分量．显然,要想有效分割噪声和信号以及信号和信号,只有能量值信息是远远不够的,这是因为

1) Heisenberg-Gabor不等式使得信号在时频点的能量值受到该点邻域的影响,因此该点的时频变换系数无法完全描述信号在该点的所有信息;

2) 信号的功率谱是随机嵌入噪声功率的,这使得该点的能量值具有随机因素．

综上所述,需要考虑使用其它的统计特征量来代替能量值作为时频分割的检测因子．另外,考虑到时频表示不确定原理,一个点的谱系数无法完全表示该点的全部信息,因此需要考虑一组点的谱系数,也就是说需要考虑一个包含点数目相对较小却能描述某个时频点所有信息的区域集．研究该区域的统计特征来作为新的区分噪声或者加噪信号的标准,从而将信号分量从周围噪声中以及其他信号分量中分离出来．这就是本文的研究思路,而在本文中,选取的统计特征就是区域集的谱峭度．

由2.2节可得

ρα,σ[m,k]=0.

(23)

(24)

(25)

进一步的,选取一个拥有Nh个点的区域,并假定该区域内里有Uα点含有信号的能量,其他点为噪声点,那么有

(26)

(27)

(28)

4 基于STFRFT谱的谱分割算法

4.1算法原理

多个NLFM信号的分析识别主要分为两部分,首先运用第二节所提修正STFRFT算法将混合信号变换到时频域,然后运用基于区域谱峭度的谱分割算法将所含噪信号点和噪声点一一分离,最终提取出想要的分量信号,其算法流程具体如下[3]:

Nh=6σfs,

(29)

式中,mα、ωα和pα分别表示旋转α后的一阶矩、二阶

矩和二阶中心矩．

(30)

式中,MK为含有信号能量的点数．然后,给定噪声方差的较大估计值并将观测信号的STFRFT谱分割成H0和H1两部分．其中H1部分对应二阶统计量大于给定门限值的时频区域,其余部分为H0．在初次迭代中,H0部分中大部分点为噪声点,但有部分点含有信号成分．再次给定较小的噪声方差估计值,对H0部分进行二次分割．随着迭代进行,给定的噪声方差估计值越来越小,越来越逼近真正的噪声方差．

3) 由第三节可得,时频图中混合区域的谱峭度为正,噪声区域的谱峭度为0,因此可用谱峭度作为时频分割算法的迭代终止准则．此时,选取区域谱峭度的二次标准偏差为门限值[4]:

(31)

式中,MiKi为第i次迭代时噪声的点数．当H0部分的谱峭度小于门限值tFRFSK时迭代停止,此时可以认为剩余点只有复圆高斯分布的噪声了,而相对的H1部分可以认为只剩下信号分量了．

4) 最后,对H1部分应用图像分割算法[14]中的区域增长算法[15]．首先选取H1部分中二阶统计量最大的点作为种子,搜索其周围8-邻域的相似点,当所有相似点搜索完毕后将其标记为 label 1;然后再设置另一个种子,继续搜索标记为label 2,最后将时频图内所有的信号分量一一进行识别标记．

4.2仿真实验

为验证所提算法,选取多个NLFM信号组成的多分量信号叠加高斯白噪声作为混合信号,其中加性高斯白噪声w(n)的均值为0、方差为1,信噪比为0 dB．显然,NLFM多分量信号形式非常复杂,需要时频聚焦性较高的时频变换算法才能分辨．下面分别用STFT、魏格纳-威廉分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)、改进B分布以及本章所提STFRFT算法对其进行时频分析,仿真结果如图3所示．

(a) STFT (b) WVD

(c) 改进B分布 (d) STFRFT图3 多个NLFM信号分量的时频图

从图3可以看出:STFT算法虽然没有受到交叉项的影响,但对信号的聚焦性一般;而WVD算法可以达到时频聚焦性的下限,但它产生了大量的自交叉项和互交叉项且对噪声极为敏感;作为保留时频聚焦性的同时去除噪声和交叉项的一个折衷算法,改进B分布是目前核函数类时频分析方法中最好的变换,但是仍然比不上STFRFT算法的聚焦性,因此这证明了本文所提算法时频聚焦性优于其它算法．

在对多分量混合信号进行STFRFT后,得到了该混合信号的时频图．接着,运用基于区域谱峭度的谱分割算法来提取时频图中的信号分量,并用不同的颜色分别进行标记．具体步骤见4.1节,仿真结果如图4所示,三个不同的信号分量被成功提出,并且用不同颜色一一标记．其中,大部分噪声被滤除,且估计噪声方差为1.004;当迭代终止时,H0部分的谱峭度为0.042,而门限值为0.045．

图4 多个NLFM信号分量的STFRFT谱分割结果

接着,为了比较所提算法在多种信噪比情况下性能,对NLFM分量信号的瞬时频率进行估计,取其均方误差(Mean Squared Error, MSE)为评判标准,仿真结果如图5所示.显然所提算法的仿真性能优于其他算法,且在低至-5 dB信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)下仍然有效．

图5 NLFM信号分量的瞬时频率估计MSE值

5 结 论

本文提出了一种基于STFRFT和谱峭度的谱分割新算法,并将其成功用于多个NLFM信号的检测和识别中．本文首先研究了高斯白噪声的离散STFRFT的功率谱概率密度和非圆性,给出了一种满足圆性的修正STFRFT算法;接着,研究了变换后噪声点和信号点的谱峭度差异,并推导出了区域谱峭度的公式;然后区域谱峭度被用于谱分割迭代算法的终止准则,并通过区域增长算法成功地提取混合信号中所需的信号分量．最后,仿真验证了本文所提算法的有效性和自适应性．

另外,本文算法尽管提高了NLFM信号的盲识别性能,但同时也增加了算法的复杂度,毕竟非线性、自适应性以及更好估计性能都需要更大的计算成本．尤其是随着NLFM信号数量的增加,H1部分的点数会增加,后续图像分割算法的迭代次数也会增加,最终会增加整个算法的计算复杂度．而在提高算法性能的同时降低算法的复杂度是本文进一步的研究方向．

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卢广阔(1983—),男,河北人,2016年获电子科技大学信号与信息处理博士学位,主要研究方向为通信信号侦察、多分量信号分析识别等．

AnewspectralsegmentationalgorithmbasedonshorttimefractionalFouriertransform

LUGuangkuo

(SouthwestChinaInstituteofElectronicTechnology,Chengdu610036,China)

The short time fractional Fourier transform (STFRFT) is a useful tool for the research on analysis and recognition of multi-component non-linear frequency modulation (NLFM) signals, which have been presented on a lot of communication systems and radar systems. This paper investigates the non-circularity of STFRFT coefficients, and proposes a modified STFRFT such that all coefficients coming from white Gaussian noise are circular. In order to use the spectral kurtosis (SK) as a Gaussian test to check if signal points are present in a set of STFRFT points, we study the SK of different points in the time-frequency transform figure, and propose the definition of the local SK. Finally, a time-frequency segmentation algorithm based on the region growing by the local SK is proposed to separate the multi-component NLFM signals. The effectiveness and robustness of this algorithm are evaluated via simulations.

short time fractional Fourier transform; non-linear frequency modulation signals; region growing algorithm; spectral kurtosis

卢广阔. 基于短时分数阶傅里叶变换的谱分割算法[J]．电波科学学报,2017,32(4):474-481.

10.13443/j.cjors.2017030702

LU G K. A new spectral segmentation algorithm based on short time fractional Fourier transform [J]. Chinese journal of radio science,2017,32(4):474-481. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017030702

TN958.93

A

1005-0388(2017)04-0474-08

DOI10.13443/j.cjors.2017030702

2017-03-07

联系人： 卢广阔 E-mail: guangkuolu@gmail.com