径向点插值法局部形参的改进校准方法

禹忠 杨刘伟 柯熙政

(1. 西安理工大学,西安 710048;2. 西安邮电大学,西安 710121)

径向点插值法局部形参的改进校准方法

禹忠1,2杨刘伟2柯熙政2

(1. 西安理工大学,西安 710048;2. 西安邮电大学,西安 710121)

径向点插值法(Radial Point Interpolation Method,RPIM)中基函数形参、支持域大小和平均节点间距等因素直接影响算法的精度与计算效率,而过小形参会引起插值不稳定现象. 针对此问题,提出一种基于局部形参校准法(Local Shape Factor Calibration Method,LSFCM)改进的形参优化算法,研究RPIM应用于电磁场问题中插值精度的影响因素,在不同形参、支持域大小和节点距离时的全局均方根插值误差曲线上,根据插值精度和计算效率灵活选择全局形参,简化形参设置与节点插值计算过程,提高计算效率. 数值试验结果验证了所提方法的有效性.

无网格法;径向点插值;径向基函数;支持域;形参校准

引 言

近年来,径向点插值法(Radial Point Interpolation Method,RPIM)成为时域电磁场数值计算方法的研究热点之一. 相对于目前广泛应用的时域有限差分[1](Finite Difference Time Domain ,FDTD)法和有限元法[2](Finite Element Method,FEM),其不需要生成复杂的网格结构, 可以灵活设置节点位置和密度,网格法中的网格重建亦可以通过自适应的节点分布来代替,因此在处理复杂多尺度结构问题时具有很多优势[3-6].

RPIM是一种高效的数值计算方法,其计算点场值由支持域中其他节点场值采用径向基函数插值近似获得,因其优异的插值特性被引入于电磁场领域求解偏微分方程问题,但RPIM中基函数形参、支持域大小和平均节点间距等因素对插值精度影响较大. 传统RPIM参数选择优化算法的研究集中在交叉验证(Leave-One-Out Cross Validation,LOOCV)法,但其多适用于全局插值或分区域插值[7-10]．局部形参校准法(Local Shape Factor Calibration Method,LSFCM)虽可获取各支持域最优形参[11],但每个支持域设置不同形参较为繁琐.

本文中,采用改进的LSFCM设置校准函数,RPIM计算支持域插值,结合均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE)函数,计算获得不同情况下全局插值RMSE曲线,确定合适的最大误差,即可获得全局最优形参或符合精度的形参范围. 通过分析RPIM应用于二维交错节点分布时,不同支持域大小、不同节点间距对插值精度的影响,测试各种情况下获得的最优形参范围,为RPIM的形参选择提供参考.

1 径向点插值法

计算域中位置X处场分量u(X)可由其支持域中N个节点插值近似[12]为

=rT(X)a+pT(X)b.

(1)

式中:rn(X)为径向基函数;pm(X)为单项式基函数;an和bm为相应插值系数.

实际应用中存在多种径向基函数,而求解电磁场问题时,高斯径向基函数具有更好的性能,其为节点距离的指数函数,即

(2)

式中:形参αc控制基函数平滑度及插值精度;dc表示支持域中节点的平均距离.

低阶多项式基函数项pm(X),可改善局部基函数的收敛特性,增加插值近似的精度.

(3)

式中,插值系数矢量a和b由下式计算:

(4)

式(4)代入式(1),即可获得RPIM形函数Φ(X):

=Φ(X)Us.

(5)

形函数Φ(X)满足Kronecker delta函数特性,保证了对节点场值的准确拟合插值. 形函数沿κ=x,y方向空间导数可表示为

=∂κΦ(X)Us.

(6)

RPIM应用于一阶麦克斯韦微分方程时,其形式类似于FDTD,时域微分由中心差分形式离散,而空间导数则由式(6)插值近似获得,二维TM波更新方程形式如下:

(7)

2 插值精度的影响因素

2.1径向基函数

目前,应用于无网格RPIM中的径向基函数有很多种[13]:复合二次(Multi-Quadrics, MQ)函数、高斯(Exponential, EXP)函数、薄板样条(Thin Plate Spline, TPS)函数、对数型函数和紧支径向基函数(Compactly Supported Radial Basis Function, CSRBF)等. 其中MQ和EXP应用最为广泛,MQ基函数多用于固体力学领域,而EXP基函数更多应用于电磁场领域. 这些基函数均含有部分形参,且形参对其插值精度影响较大. EXP基函数中,形参αc控制径向基函数的平滑度,如图1所示[10].

图1 形参对EXP基函数的影响及支持域选择

研究表明:αc越小,EXP基函数越平坦,RPIM插值近似精度越高;但随着αc趋于0,式(4)中求解形函数的矩量矩阵G条件数急剧增大(指数阶),从而导致矩阵求逆困难,径向点插值会在αc趋于零时产生严重的不稳定现象. 因此,最优形参αc的选择是对稳定性和精度的综合考虑.

2.2最优形参

经过研究,RPIM全局最优形参αc通常选择接近于0的较小值,一般小于1,如取αc=0.01[12],但由于矩阵求逆困难问题,此形参值并非对每一个支持域都可以获得较好的插值精度. 因此,Rippa、Kaufmann等[5-6,14-15]采用了LOOCV法进行RMSE分析,获得了全局或分区域插值最优形参. 而Machdo等[11]通过实验获得最优形参,分别测试了αc=0.1、αc=7.4和αc=8.5的百分比误差,并提出了LSFCM,获得各支持域的局部最优形参,避免矩阵求逆困难问题,减小了插值误差．

相对于之前的LOOCV法,本文中改进的形参校准方法选取插值误差曲线极小值点作为最优形参,避免了过小形参引起的矩阵求逆困难问题;又不同于局部形参校准法,采用了全局插值误差曲线,获得计算域统一的最优形参,简化了形参设置与支持域插值计算过程.

3 局部形参校准方法

本文采用改进的LSFCM设置校准函数,通过RPIM计算支持域插值,结合RMSE函数,计算不同情况下全局插值误差,确定合适的最大误差即可获得最优形参值选择范围. 并进一步分析二维交错节点分布时,电磁场计算中不同支持域大小、不同节点距离对插值精度的影响,测试各种情况下获得的最优形参范围,为RPIM的应用提供参考.

3.1改进的形参校准方法

改进的LSFCM首先设置二维计算域Ω中校准函数:

C(ui)=sin(Kxi)cos(Kyi).

(8)

采用RPIM局部方案对计算域各节点插值近似,为确定最优形参值αc,定义各节点插值误差为

ξi(c)=C(c,ui)-C(ui).

(9)

式中,C(c,ui)为形参αc取c时,对校准函数C(ui)计算域中第i个节点的插值,由式(1)获得. 取计算域各节点插值误差,计算全局插值误差:

(10)

获得插值误差曲线,形参优化方法通过检测误差函数极小值点,即可获得全局的最优形参值或符合精度要求的形参选择范围．其整个计算域只需设置同一个最优形参,可以简化形参设置与节点插值计算过程,提高计算效率,优化RPIM．

3.2数值分析

本文采用电磁场问题交错节点分布[16-17],设置校准函数中最高频率fmax=3 GHz,计算域大小为600×600节点.

3.2.1 支持域半径对插值精度影响

首先考虑支持域半径对插值精度的影响,支持域分别选择4节点(1.0dc)、12节点(2.0dc)、32节点(3.0dc)、80节点(5.0dc),节点间距选择λ/20(5 mm),获得了不同支持域半径时插值误差曲线,如图2所示．

图2 支持域半径对插值精度影响

分析数据可知:形参αc选择0.01,支持域选取12节点时,插值误差为1.26×10-4,而32节点和80节点时均出现不稳定现象;形参αc选取0.1时,支持域半径越大,节点数越多,插值误差越小,80节点时可达到3.31×10-5;检测误差曲线极小值点,支持域取12节点,极小值点αc=2.4时,其插值误差为5.37×10-4,为三者中最小,32及80节点时,支持域半径越大,极小值点越靠近零值,且插值误差越小,分别达到3.65×10-3(αc=1.6)和1.35×10-4(αc=1.3);从总体分布来看,支持域半径越大,误差函数在形参取零值到极小值点间的误差越小,而取大于极小值点时,误差函数正好相反. 支持域选取4节点时,由于支持域半径过小,其插值误差为1.22×10-2,插值精度极低,不建议采用.

综合以上分析可获得以下结论:1) 形参取接近零值时,αc越小,插值精度越高;2) 增大支持域半径,可提高形参取接近零值时的插值精度,但αc过小会引起插值不稳定现象;3) 形参优化方法中,形参取误差函数极小值点,可有效避免过小形参引起的插值不稳定现象,并可达到近零点的计算精度;4) 增大支持域半径,可减小误差函数极小值点插值误差,但对插值精度的提升不明显;5) 综合考虑计算精度和计算效率,12节点(2.0dc)为支持域半径最优选择,而交错节点分布下支持域选择1.5dc～3.0dc时,计算效率较高,插值误差较小.

3.2.2 平均节点间距对插值精度的影响

首先选取支持域半径为2.0dc(12节点),平均节点间距分别设置为λ/10(10 mm)、λ/14(7 mm)、λ/20(5 mm)、λ/30(3 mm)、λ/50(2 mm),应用形参优化方法,分别获得不同平均节点间距时插值误差曲线,如图3所示.

图3 平均节点间距对插值精度影响

分析数据可知:形参αc选取0.01时,插值误差最小达2.07×10-5,最大为3.93×10-3,均可稳定插值;而选取极小值点时,不同平均节点间距的极小值点集中于2.3～2.4,且插值误差最小为4.69×10-5,最大为9.17×10-4,均可达到较高精度．总体来看,平均节点间距越小,插值误差越小.

综合以上分析可得以下结论:1) 平均节点间距越小,插值误差越小;2) 平均节点间距对极值点位置影响较小,即对最优形参值影响较小;3) 采用形参优化方法获得极值点最优形参可获得较高的插值精度.

3.2.3 数值验证

综合考虑以上结论,选取支持域半径为2.0dc(12节点),平均节点间距为λ/20(5 mm),其插值误差为5.37×10-4,具有较高插值精度,对校准函数应用RPIM插值近似,获得了良好效果,如图4所示.

(a) 校准函数

(b) 径向点插值图4 校准函数验证

为验证形参优化方法,参考文献[4]设置二维计算域中高斯点辐射源:

(11)

式中:τ=5.33e-9s;t0=0.8τ. 采用规则交错节点分布,支持域半径为2.0dc(12节点),节点距离d=0.01 m,计算域设置足够大(600×600节点)以避免反射误差,在距离辐射源一倍节点距离处设置观察点. 参考解析解形式如下:

(12)

由RPIM和FDTD方法获得的时域结果如图5所示．与FDTD对比,RPIM更为接近解析解,具有较好精度.

图5 观察点时域波形

表1中列出RPIM和FDTD的计算消耗及节点插值的均方根误差．对比数据可知,在相同的时间步进和节点数时,RPIM内存消耗略微高于FDTD,但计算时间远小于FDTD,且插值误差亦小于FDTD.

表1 计算效率

注:文中所有结果均使用配置为主频2.93 GHz、Intel i5 CPU、4GB RAM的计算机获得,采用Intel MKL LAPACK进行矩阵运算和方程组求解.

4 结 论

本文采用LSFCM改进的形参优化方法,解决RPIM应用于求解电磁场问题中的最优形参选择问题. 主要分析了采用二维交错节点分布时,支持域半径和平均节点间距等因素对插值精度的影响,并通过数值试验验证了形参优化方法的有效性.

相对于目前主要采用的实验方法或交叉验证法,改进的形参校准方法由RMSE函数极小值点获取最优形参,更准确快捷,避免了过小形参引起的插值不稳定现象;又不同于之前的形参校准法,其计算域选取统一的最优形参,简化了误差计算与形参设置,提高了计算效率.

数值试验结果表明,二维交错节点分布时,支持域半径选择1.5dc～3.0dc可获得较高精度,而支持域半径选取2.0dc(12节点)为最优选择. 平均节点间距越小精度越高,可根据计算效率和内存消耗灵活选择,建议平均节点间距选取λ/20,可减少内存消耗,同时可获得较高的插值精度. 本方法亦可扩展到三维领域,而完全不规则节点分布的应用需要进一步研究．

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禹忠(1973—),男,陕西人,副教授,主要研究方向为计算电磁学、天线与微波器件、无线通信信道、移动互联网技术．

杨刘伟(1990—),男,陕西人,硕士研究生,研究方向为计算电磁学．

Theoptimizedcalibrationmethodforthelocalshapefactorsofradialpointinterpolationmethod

YUZhong1, 2YANGLiuwei2KEXizheng2

(1.Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China;2.Xi’anUniversityofPosts&Telecommunication,Xi’an710121,China)

In the radial point interpolation method (RPIM), the shape factors such as the parameters of basis function, the support domain size and the average node distance directly affect the interpolation precision and computational efficiency, and the small shape parameter may lead to interpolation instability. In order to optimize parameter selection in RPIM, the algorithm based on the local shape factor calibration method(LSFCM)is proposed in the electromagnetic field problem. The global root mean square (RMS) interpolation error curve with different support domain size, node distance and different parameters can simplify the process of the shape parameter selection and node interpolation. The numerical results show the algorithm has improved the interpolation precision and computational efficiency.

meshless method;radial point interpolation method; radial basis functions; support domain; shape parameter calibration

禹忠, 杨刘伟, 柯熙政.径向点插值法局部形参的改进校准方法[J]. 电波科学学报,2017,32(4):410-415.

10.13443/j.cjors.2017033001

YU Z, YANG L W, KE X Z. The optimized calibration method for the local shape factors of radial point interpolation method[J]. Chinese journal of radio science,2017,32(4):410-415. (in Chinese).DOI: 10.13443/j.cjors.2017033001

O441.4

A

1005-0388(2017)04-0410-06

DOI10.13443/j.cjors.2017033001

2017-03-30

国家自然科学基金(No.61377080)

联系人： 禹忠 E-mail: zhongyu@mail.xjtu.edu.cn