基于尺度变换的宽带线性调频信号时差/尺度差估计算法

郭付阳 张子敬 杨林森

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室,西安 710071)

基于尺度变换的宽带线性调频信号时差/尺度差估计算法

郭付阳 张子敬 杨林森

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室,西安 710071)

提出了一种基于尺度变换的宽带线性调频信号时差和尺度差的快速算法. 根据两路接收到的线性调频信号间调频率之比为尺度差的平方的特点,利用分数阶傅里叶变换分别估计出两路信号的调频率,即可获得尺度差的估计. 将估计的尺度差对一路信号进行伸缩,并计算伸缩后信号与另一接收信号的时域相关,根据相关峰的位置估计出时差. 相比于传统基于宽带互模糊函数的方法,该方法避免了二维搜索宽带互模糊函数的峰值,只需若干次快速傅里叶变换即可实现,能够显著降低运算量. 仿真结果显示该方法在高信噪比下逐渐接近克拉美-罗下界.

分数阶傅里叶变换;宽带互模糊函数;时/尺度差估计;宽带线性调频信号; 克拉美-罗下界

引 言

在无源定位中,一种常用的定位方法是利用多个位于不同位置的接收机来接收辐射源信号,通过估计各接收信号间的时差来实现定位. 当接收机和辐射源存在相对运动时,接收机所接收到的信号波形相比于发射信号表现出被拉伸或者压缩的特性. 对于窄带信号,该影响可近似认为接收信号相比发射信号的载频产生了多普勒频移. 因此,对于窄带信号,在相对运动存在时,常通过估计两路信号的时差和多普勒频差来定位未知的辐射源[1-4]. 然而,对于宽带信号,继续沿用多普勒频移的设定会导致定位出现较大误差. 为了对辐射源进行精确定位,需要估计的参数为接收信号间的时差和尺度差.

宽带互模糊函数(Wideband Cross Ambiguity Function, WBCAF)是估计两路信号间时差和尺度差的常用工具之一[5-7]. WBCAF将两路信号在时域和尺度域进行二维相关,其峰值的位置对应真实的时差和尺度差. 由于WBCAF与连续小波变换具有相同的表达式,因此WBCAF的计算可通过小波变换来实现. 然而,在无源定位中,接收信号为未知辐射源辐射的信号,其解析式往往未知,直接应用小波变换需要对接收信号进行变采样率处理,运算量过大,尤其当尺度差接近1时,往往难以实现[8]. 文献[9]利用互小波变换的性质,分别计算出两路接收信号相对于某一给定的小波的小波变换,再由小波变换的结果获得两路接收信号的WBCAF. 在该方法中,伸缩变换的对象为解析式已知的小波,无需对接收信号进行变采样率处理,因而降低了部分运算量. 然而,该方法需要联合两路接收信号小波变换的结果来计算WBCAF,运算量仍然较大. 文献[10]提出了一种对离散信号进行尺度变换的快速计算方法,并将之用于WBCAF的计算,能够有效降低运算量. 不过,该方法仍需二维搜索WBCAF峰值,在尺度差需要搜索的范围较大时,运算量偏大,不利于实时处理.

本文提出了一种基于尺度变换的时差/尺度差的快速估计方法. 由于线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号在雷达、声呐等领域的广泛应用[11-13],本文所针对的信号为宽带LFM信号. 对于宽带LFM信号,接收机所接收到的同一辐射源信号间的尺度差的平方等于两路接收信号调频率之比. 通过分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform, FrFT)分别估计出两路接收信号的调频率,即可获得尺度差的估计. 在搜索最优角度的过程中,为了提高搜索效率,采用了分级搜索的结构．利用估计到的尺度差对第一路接收信号进行伸缩,并将伸缩后的信号与另一路接收信号做时域相关,由时域相关峰的位置估计出时差. 与传统基于WBCAF的方法相比,该方法只需一维搜索出接收的LFM信号所对应的最优角度即可估计得到尺度差,再一维搜索一次时域相关峰的峰值获得时差的估计. 由于避免了二维搜索模糊函数峰值,并且只需对接收信号做一次尺度变换,该方法能够显著降低估计所需的运算量. 仿真实验表明随着信噪比的提高,该方法所估计的时差和尺度差的均方误差逐渐接近克拉美-罗下界.

1 信号模型

两路接收信号可以表示为[14]

(1)

式中:

(2)

常用估计时差/尺度差的方法是二维搜索WBCAF的峰值. 两路接收信号r1(t)和r2(t)的WBCAF可以表示为

(3)

式中,(*)表示复共轭. 不考虑噪声时,式(3)表示为

(4)

针对上述问题,文献[10]给出了一种对离散信号进行快速尺度变换的算法,并将该方法用于估计宽带信号的时差和尺度差. 尺度变换的思路是对接收到的离散信号用Sinc函数重构其对应的连续信号,并对重构后的信号进行伸缩,最后再对伸缩后的信号进行采样. 尺度变换的快速实现如下所示,假定接收到的离散信号为

x(k)=s(k)+n(k),-N′≤k≤N′,

(5)

则希望得到的尺度变换后的信号为[10]

(6)

式(4)中的WBCAF可写为

(7)

虽然文献[10]提出的尺度变换方法能够用于估计时差和尺度差,然而该方法需要对接收信号r1(t)在不同尺度下进行变换,当需要变换的尺度数量变大时,其运算量急剧增大,不利于实时处理. 针对该问题,本文提出了基于尺度变换的时差和尺度差估计方法. 该方法首先利用FrFT估计出两路接收信号的尺度差,然后用该尺度差对第一路接收信号做伸缩,并将伸缩后的信号与第二路接收信号做时域相关,由相关峰的位置估计出两路接收信号的时差. 该方法避免了二维搜索模糊函数的峰值,只需对信号进行一次尺度变换,并且可利用快速傅里叶变换(Fast fourier Transform,FFT)实现,能够显著降低估计所需的运算量.

2 基于尺度变换的时差/尺度差估计

2.1尺度差的估计

根据式(2),对s1(t)做尺度为1/σ0的伸缩变换并将其延时τ0即可得到

(8)

LFM信号调频率的估计常用FrFT来实现. 某个信号x(t)的FrFT为

(9)

式中,

(10)

cotαopt=-m．

(11)

因此,估计某个LFM信号x(t)的最优角度可通过搜索x(t)在不同角度上的FrFT的峰值来实现,FrFT取到最大值所对应的角度即为最优的角度,有

(12)

当LFM信号x(t)湮没在白噪声中时,式(12)仍然可以直接用于估计最优角度,这是因为白噪声在任意角度的FrFT不会形成峰值. 假设s1(t)所对应的最优角度为α1,s2(t)所对应的最优角度为α2,则两路信号最优角度的估计为

(13)

式中,R1,α(u)和R2,α(u)分别为接收信号r1(t)和r2(t)在角度α的FrFT. 结合式(11)和式(13),获得尺度差的估计为

(14)

在搜索LFM信号对应的最优角度时,为了降低运算量,可以采用分级搜索来减少搜索角度的个数,一般只需三级分级搜索即可搜索到最优角度．FrFT需要搜索的初始角度范围为[-π/2,π/2],假设初始搜索步长为Δα,且有0<Δα<π,采用三级分级搜索的步骤为:

分级搜索的优势在于可以用较低的运算量获得同样的角度精度．在采用三级分级搜索时,可以看到,当搜索角度的精度为Δα/100时,步骤1需要搜索的角度数为π/Δα,步骤2和步骤3分别需要搜索20个角度,因此采用三级搜索只需搜索π/Δα+40个角度,而如果直接以Δα/100搜索整个角度范围需要搜索100π/Δα个角度.由于0<Δα<π,显然在搜索最优角度时采用分级搜索能够显著减少运算量.

2.2时差的估计

(15)

(16)

(17)

3 运算量分析

本节首先分析了本文所提方法的运算量,接着与文献[10]中尺度变换方法的运算量进行了对比. 假设处理的信号长度为N,需要搜索的尺度个数为L.

估计尺度差主要的运算量为计算FrFT,根据文献[18]中FrFT的快速算法,一次FrFT所需的复乘次数为3Nlog2N+3N, 由于需要对两路信号都做FrFT,因此一个角度下的FrFT需要进行6Nlog2N+6N次复乘. 虽然需要搜索的角度个数为L,然而通过分级搜索可将搜索的角度减少为M(M一般为几十),因此估计尺度差需要的复乘次数约为6MNlog2N+6MN. 时差估计的运算量分为两部分:文献[10]中给出了信号进行一次尺度变换所需的复乘次数为4Nlog2N+4N;时域相关利用FFT来实现,包括三次FFT和一次信号点乘,一次时域相关需要计算3Nlog2N+N次复乘. 因此,运用本文方法所需的复乘次数约为6MNlog2N+6MN+7Nlog2N+5N.

文献[10]中的尺度变换方法在一个尺度下所需的运算量与本文方法估计时差时候的运算量一致,需要的复乘次数为7Nlog2N+5N,因此L个尺度下需要计算7LNlog2N+5LN次复乘.

表1为不同信号点数N下的本文方法与尺度变换方法的运算量对比,假设需要搜索的尺度个数L=1 000,则采用三级分级搜索后需要搜索的尺度个数M=50. 从表1可以看到,运用本文方法估计时差和尺度差所需的运算量要远少于尺度变换方法.

表1 本文方法与尺度变换方法运算量对比

4 仿真实验

本节首先给出了本文方法在低信噪比下所估计到的时差和尺度差的仿真;接着,在不同信噪比下,对比了本文方法和尺度变换方法的估计性能,并与克拉美-罗下界进行了比较.

4.1尺度差和时差的估计

图1 第一路接收信号的分数阶傅里叶变换

图2 第二路接收信号的分数阶傅里叶变换

图3 时域相关结果

图4 第一路接收信号的分数阶傅里叶变换

图5 第二路接收信号的分数阶傅里叶变换

图6 时域相关结果

4.2均方根误差以及估计时间的对比

在不同信噪比下,仿真了利用本文方法和尺度变换方法所估计到的时差和尺度差的均方根误差,并与克拉美-罗下界进行了对比. 克拉美-罗下界的仿真曲线根据文献[9]中给出的宽带信号时差/尺度差估计的克拉美-罗下界公式所获得. 图7为时差估计的均方根误差仿真图,图8为尺度差估计的均方根误差仿真图. 从图7和图8可以看到:本文方法与尺度变换方法所估计的均方根误差曲线基本一致;随着信噪比的提高,两种方法所估计到的时差和尺度差的均方根误差均明显降低,并逐渐接近克拉美-罗下界.

图7 时差估计的均方误差曲线

图8 尺度差估计的均方误差曲线

图9为本文方法与尺度变换方法估计时差和尺度差所需CPU时间的对比图.仿真中采样率fs=500 MHz,所需搜索的尺度个数L=1 000,运用本文方法估计时,通过采用三级分级搜索处理结构,所需搜索的角度个数减少为M=50. 由图9可看出:本文方法所需的估计时间要明显少于尺度变换的方法;尤其在处理长信号时,运用本文方法能够更好满足实时处理的要求.

图9 本文方法与尺度变换方法估计时间对比

5 结 论

针对传统的时差/尺度差估计方法存在运算量大导致无法实时估计的问题,本文提出了一种宽带线性调频信号的时差和尺度差估计的快速算法．该方法通过估计信号的调频率来获得尺度差的估计,进而计算WBCAF在尺度差处的切片来获得时差的估计．与传统的尺度变换方法相比,该方法仅需对信号进行一次伸缩,能够有效提高估计效率．仿真实验证明,本文提出的方法能够在不损失估计性能的同时显著提高估计的效率,能够实时估计出时差和尺度差．

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郭付阳(1991—),男,江西人,博士研究生,研究方向为无源定位、雷达信号处理.

张子敬(1967—),男,陕西人,教授,博士生导师,研究方向为无源定位、雷达信号处理.

杨林森(1988—),男,陕西人,博士研究生,研究方向为无源定位、雷达信号处理.

Scaling-basedTDOA/SDOAestimationalgorithmforwidebandchirpsignals

GUOFuyangZHANGZijingYANGLinsen

(NationalLabofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’anShaanxi710071,China)

A method based on scaling is proposed to estimate the time difference of arrival (TDOA) and scale difference of arrival (SDOA) between two

wideband chirp signals. Using the relation that the square of SDOA equals to the ratio of chirp-rates of two received chirp signals, each chirp-rate of two chirp signals is first estimated using the fractional Fourier transform, and then the SDOA can be evaluated. By scaling one received chirp signal with the estimated SDOA and evaluating the correlation of the scaled chirp signal and the other received chirp signal, the TDOA is finally estimated. Since the 2-D searching of the peak position of the wideband cross ambiguity function is avoided and it can be evaluated using only few fast Fourier transforms, the computational cost is significantly reduced. Simulation results show that the root mean square errors of the estimated TDOA and SDOA using proposed method closely meet to the Cramer-Rao lower bound under high signal-to-noise ratios.

fractional Fourier transform(FrFT); wideband cross ambiguity ambiguty(WBCAF); TDOA/SDOA estimation; wideband chirp signal;Cramer-Rao lower bound

郭付阳, 张子敬, 杨林森. 基于尺度变换的宽带线性调频信号时差/尺度差估计算法[J]. 电波科学学报,2017,32(4):441-448.

10.13443/j.cjors.2017060201

GUO F Y, ZHANG Z J, YANG L S. Scaling-based TDOA/SDOA estimation algorithm for wideband chirp signals[J]. Chinese journal of radio science,2017,32(4):441-448. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017060201

TN911.7

A

1005-0388(2017)04-0441-08

DOI10.13443/j.cjors.2017060201

2017-06-02

国家自然科学基金(No.61571349)

联系人： 张子敬 E-mail: zjzhang@xidian.edu.cn