二阶广义自治Birkhoff系统极限环不存在性

曹秋鹏，陈向炜

(1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009；2.商丘师范学院 电子电气工程学院，河南 商丘 476000)

二阶广义自治Birkhoff系统极限环不存在性

曹秋鹏1，陈向炜2

(1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009；2.商丘师范学院 电子电气工程学院，河南 商丘 476000)

建立二阶广义自治Birkhoff系统的微分方程.首先全面分析了该系统的奇点类型，由于不存在焦点型奇点，从而判定二阶广义自治Birkhoff系统不存在极限环；然后进一步用梯度系统方法探讨了该系统的定性性质，把该系统分别转化为4类梯度系统，由梯度系统的性质得到了二阶广义自治Birkhoff系统极限环不存在的条件.最后举例说明结果的应用.

广义Birkhoff系统；奇点；梯度系统；极限环

常微分方程的定性理论是许多基础学科乃至自动控制、航天技术、生物工程等应用技术研究的不可缺少的数学工具，且已成为一个热门课题[1].非线性系统的极限环的研究一直是其定性分析的重点内容[2-3].极限环反映非线性系统周期振荡现象，有着很重要的物理意义.Birkhoff系统动力学是近年来研究较热的一类微分动力学系统，是Hamilton力学的自然推广[4].Birkhoff系统动力学的研究已取得了丰富的成果[5].作者试图将微分方程定性分析的基本理论和方法引入到Birkhoff系统的研究，得到了一些有意义的结果[6].梅凤翔先生考虑Birkhoff方程添加附加项的情形，从而建立了广义Birkhoff系统动力学[7].近几年广义Birkhoff系统的研究已有大量的结果[8]，但这些结果大多集中在对称性、守恒量、积分方法和稳定性的研究，对广义Birkhoff系统定性理论的研究还未广泛展开，广义Birkhoff系统极限环的相关研究还没有涉及.

梯度系统是一类重要的动力学系统[9]，文献[10]介绍了梯度系统的四种类型.如果满足一定的条件，各类力学系统可以转化成梯度系统，此时便可以用梯度系统的性质来研究力学系统的一些问题.梅凤翔及其他研究者在梯度系统的基础上，研究了各类力学系统的梯度系统表示，系统零解稳定性以及系统的积分[11-14].

本文进一步开展广义Birkhoff系统的定性理论研究，分别利用奇点分析方法和梯度系统方法研究广义Birkhoff系统极限环的性质，得到了该系统极限环不存在的相关条件.

1 系统的运动微分方程

二阶自治广义Birkhoff系统的微分方程有形式[6]：

(1)

其中

(2)

(3)

B=B(a)为Birkhoff函数，Rν=Rν(a)为Birkhoff函数组，Λν=Λν(a)为附加项.

对于系统(1)可以写成

(4)

2 系统极限环的不存在性

下面我们将考虑系统(1)极限环的不存在性.主要考虑两个方法，第一种方法利用奇点的类型.这种方法主要思想：我们知道极限环的邻域内的轨线都是螺旋地趋近或远离它，如果系统的奇点不存在焦点则系统就不存在极限环.

2.1 奇点法

我们接下来就是要探讨什么情况下，系统(1)不存在焦点型奇点.关于系统(1)的奇点类型在文献[8]已详细介绍，这里仅仅简单叙述.

(5)

(6)

(7)

当系统(1)满足

(8)

此时系统(1)的线性化系统(7)没有焦点型奇点.但是这仅仅是系统(1)的线性化方程，我们知道在考虑非线性项之后，线性化系统(7)的中心型奇点可能会成为焦点，我们还要保证线性化系统的中心仍是原系统的中心.

其实，如果(8)式成立，且满足

(9)

此时B是系统(1)的积分，那么系统(7)的中心型奇点仍为系统(1)的中心型奇点.

上述讨论的结果归结为：

命题1如果二阶自治广义Birkhoff系统(1)满足(8)和(9)，那么系统(1)不存在焦点型奇点，系统(1)不存在极限环.

2.2 梯度法

极限环实际上就是非线性微分系统的一条孤立的闭轨线.那么只要二阶自治广义Birkhoff系统(1)没有闭轨线，就更不存在极限环.第二种方法利用梯度系统的性质，用Poincaré切性曲线法探究二阶自治广义Birkhoff系统极限环的不存在性.

性质1由Poincaré切性曲线法[1]可知，如果存在函数F(a)∈C1(D)，使得

(10)

2.2.1 通常梯度系统

系统的微分方程为

(11)

对系统(11)

(12)

对于系统(1)，当(4)满足

(13)

(1)成为一个通常梯度系统.

2.2.2 斜梯度系统

系统微分方程为

(14)

其中bij=-bji.

对系统(14)

(15)

对于系统(1)，当(4)满足

(16)

(1)成为一个斜梯度系统.

2.2.3 具有对称负定矩阵的梯度系统

系统微分方程为

(17)

其中((sij))是对称负定矩阵.

对系统(17)

(18)

对于系统(1)，当(4)满足

(19)

(1)成为一个具有对称负定矩阵的梯度系统.

2.2.4 具有半负定矩阵的梯度系统

系统微分方程为

(20)

其中((aij))是半负定矩阵.

对系统(20)

(21)

对于系统(1)，当(4)满足

(22)

(4)成为一个具有半负定矩阵的梯度系统.

由上面的分析得到：

命题2如果二阶广义自治Birkhoff系统能转化成为通常梯度系统或者具有对称负定矩阵的梯度系统，即当(13)或者(19)成立，根据上文提到的Poincaré切性曲线法可直接判定二阶广义自治Birkhoff系统不存在极限环.

3 算 例

例题1 已知二阶广义Birkhoff系统

R1=a2，R2=0

(23)

(24)

Λ1=-a1+(a1)3，Λ2=a2

(25)

首先我们先写出该系统的运动微分方程，由方程(1)得到

(26)

由方程(26)可得到该系统的奇点是(0，0)，(-1，0)，(1，0)，在这三个奇点处显然有(8)式成立.同时对于系统(26)有

(27)

因此由上面的分析知道系统(26)不存在极限环.

例题2 已知二阶广义Birkhoff系统

R1=a2，R2=0

(28)

B=a1a2

(29)

Λ1=-(a2)2，Λ2=2a1-(a1)2

(30)

由方程(1)我们有

(31)

可以将(31)写成

(32)

其中

(33)

这显然是一个通常梯度系统.

(33)沿着(31)对t求导得

(34)

例题3 已知二阶广义Birkhoff系统

R1=a2，R2=0

(35)

B=-2a1a2-(a1)2a2

(36)

Λ1=-6a2-2a1a2，Λ2=0

(37)

由方程(1)我们有

(38)

我们可以将(36)写成

(39)

其中

(40)

这显然是一个具有对称负定矩阵的梯度系统.

(40)沿着(38)对t求导得

(41)

[1]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001.

[2]崔永新.对微分系统极限环存在性判定准则的解析[J].长江大学学报(自然科学版)，2009，6(1)：130-132.

[3]吕宝红，龙品红.一类非线性微分方程极限环的不存在性[J].武汉理工大学学报(信息与管理工程版)，2010，32(3)：396-398.

[4]Birkhoff G D.Dynamical Systems[M].Providence：AMS College Publisher，1927.

[5]陈向炜，傅景礼，罗绍凯，等.Birkhoff系统动力学研究进展[J].商丘师范学院学报，2004，20(2)：5-13.

[6]陈向炜.Birkhoff系统的全局分析[M].开封：河南大学出版社，2002.

[7]梅凤翔，张永发，何光，等.广义Birkhoff系统动力学的基本框架[J].北京理工大学学报，2007，27(12)：1035-1038.

[8]梅凤翔.广义Birkhoff系统动力学[M].北京：科学出版社，2013.

[9]Hirsch M W，Smale S，Devaney R L.Differential Equations，Dynamical Systems，and an Introduction to Chaos[M].Singapore：Elsevier，2008.

[10]Mc Lachlan R I，Quispel G R W，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients[J].Phil Trans R Soc Lond A，1999，357(1754)：1 021-1 045.

[11]梅凤翔.关于斜梯度系统[J].力学与实践，2013，35(5)：79-81.

[12]Chen Xiang-wei，Zhao Gang-ling，MEI Feng-xiang.A fractional gradient representation of the Poincaré equations[J].Nonlinear Dyn，2013，73(1-2)：579-582.

[13]陈向炜，李彦敏，梅凤翔.双参数对广义Hamilton系统稳定性的影响[J].应用数学和力学，2014，35(12)：1392-1397.

[14]梅凤翔，吴惠彬.约束力学系统的梯度表示(上、下册)[M].北京：科学出版社，2016.

[责任编辑：徐明忠]

NonexistenceoflimitcyclesforsecondorderautonomousgeneralizedBrikhoffsystems

CAO Qiupeng1，CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215009，China；2.Department of Physics and Information Engineering，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China)

The differential equations of second order autonomous generalized Brikhoff systems were established.Firstly，a comprehensive analysis of the type of singular points of the systems was put forward.Secondly，due to the absence of spiral points to determine the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles.Further，the systems were translated into four kinds of gradient systems.The qualitative properties of the systems were discussed by gradient systems.Then the conditions under which the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles are obtained.Finally，some examples are given to illustrate the application of the results.

generalized Brikhoff system；singular point；gradient system；limit cycles

2017-08-25

国家自然科学基金资助项目(11372169)

曹秋鹏(1991—),男,江苏南通人,苏州科技大学硕士研究生,主要从事数学物理的研究.

陈向炜(1967—),男,河南汝南人，商丘师范学院教授,博士,主要从事非线性动力学的研究.

O316

A

1672-3600(2017)12-0014-05