Linex损失下Burr分布参数的Bayes估计

王学敏

（武汉生物工程学院计信系基础数学教研室，湖北武汉430415）

Linex损失下Burr分布参数的Bayes估计

王学敏

（武汉生物工程学院计信系基础数学教研室，湖北武汉430415）

讨论了Linex损失函数下Burr分布参数在不同先验分布下的Bayes估计，并且讨论了多层Bayes估计，给出了容许性估计的一般形式。

Linex损失函数；Burr分布；Bayes估计；多层Bayes估计；容许性

1 引言

如果α=1，则其密度函数为L型的；如果α＞1，则其密度函数是单峰的，峰值在。这个分布称之为两参数BurrXII分布。

Burr分布在社会科学、保险精算学、经济科学等诸多领域得到了更多的推广和应用。现有的文献主要针对标准的两参数Burr分布做了一些参数估计，包括极大似然估计、矩估计、WPS估计和LS估计（Hossain，1997）[2]。另外研究了三参数Burr分布在两类删失数据下的极大似然估计，给出了联系Burr分布和两参数威布尔分布的一个算法（Watkains，2001）[3]。目前，研究此类分布的文章并不多见，张彩平[4]在经典统计的前提下研究了三参数Burr分布的估计和检验等问题，而对于该分布的Bayes估计却并未涉及。而本文在Linex损失下，我们对Burr分布参数的Bayes估计进行研究。

陈志强等[5]讨论了在熵损失下，当参数α已知时，Burr分布的参数θ的Bayes估计，并且在的共轭分布下讨论了参数的多层Bayes估计，并给出了容许估计的一般形式，其中。而Linex损失是不对称的，与熵损失、平方损失的形式和意义都不一样，并且在某些情况下也非常实用。因此本文在Linex损失下对Burr分布参数的Bayes估计进行研究，得到了在两种常见的先验分布下贝叶斯估计的精确形式。

2 θ的贝叶斯估计

2.1 基本假设

我们来定义Linex损失函数的形式为

其中b为该损失函数的尺度参数，b∈R且b≠0，δ为θ的估计值。本文只考虑Linex损失中b＞0的情形，对于b＜0的情形可自行类似讨论。由数学分析的知识可以了解到该损失函数关于δ是严凸的，且在δ=θ处取得最小值。

随机变量X服从双参数Burr分布，其密度函数为

其中α≥1，θ≥0为未知参数，记X1，X2，…Xn为独立同分布的样本。在α已知的条件下对任意的先验分布，我们得到了Linex损失下Burr分布参数θ的贝叶斯估计。

定理2.1在损失（1）和模型（2）下，对于θ的任何先验分布π(θ)，θ的Bayes估计为

且是θ唯一的Bayes估计，其中X=（X1，X2，…Xn）是来自模型（2）的独立同分布样本。

证明：设δB(X)为θ的任一估计，在损失（1）下，δB(X)对应的Bayes风险为

又由于g(δ)关于δ是严凸函数，所以δB(X)是其唯一的极小值点，进而δB(X)其唯一的Bayes估计。

接着，我们来讨论θ的Bayes估计的精确形式，前提条件是在两种常见先验分布情形下。

2.2 同等无知的情况

令θ～U(0,c)，c为已知常数且c＞0，则

则此时，θ的精确Bayes估计由下面的定理给出：

定理2.2对于模型（2），取（4）为θ的先验分布，在损失（1）下，θ的Bayes估计为

其中X=（X1，X2，…Xn）是来自模型（2）的独立同分布样本，为不完全Gamma函数。

证明：（4）为θ的先验分布时，得到θ的后验密度函数为

2.3 共轭分布的情况

2.3.1 贝叶斯估计的精确形式

其中m，λ，θ为未知参数。则此时θ的精确Bayes估计由下面的定理给出：

定理2.3对于模型（2），取（6）为θ的先验分布，在损失（1）下，θ的Bayes估计为

其中X=（X1，X2，…Xn）是来自模型（2）的独立同分布样本，。

2.3.2 贝叶斯估计的容许性

讨论θ的Bayes估计的容许性的问题，需要用到下面这一个引理：

引理2.1[6]在给定的Bayes决策问题中，假如对给定的先验分布π(θ)，θ的Bayes估计δB(X)是唯一的，则它是容许的。

定理2.4对于模型（2），取（6）为θ的先验分布，在损失（1）下，θ的Bayes估计是容许的。

证明：事实上，由定理2.1知其Bayes估计是唯一的。再由引理2.1即得。证毕。

定理2.5当A＜A*时，在损失（1）下，对于模型（2），是可容许性的。

证明：在损失（1）下，我们证明了θ有唯一的Bayes解：

其中X=（X1，X2，…Xn）是来自模型（2）的独立同分布样本，。此时的先验分布密度为当时，则令，则由定理2.3知θ的Bayes估计为，且由定理2.4知，δB(X)是可容许性的。

2.4 共轭分布情况下的多层Bayes估计

在共轭分布（6）中的m，λ是未知的参数，那么δB(X)中仍然含有超参数m，λ，因而需要进一步讨论θ的多层Bayes估计。由Burr分布的特征，选取减函数法构造θ的先验分布。

定理2.6对于模型（2），取（6）、（8）为θ的先验分布，在损失（1）下，θ的多层Bayes估计为

其中X=（X1，X2，…Xn）是来自模型(2)的独立同分布样本，。

证明：由（6）、（8）可知，θ的先验分布为

从而θ的后验密度函数为

3 结语

考虑到有关多参数估计的复杂性，本文研究的都是在Linex非对称损失函数意义下双参数Burr分布中α已知的条件下参数θ的贝叶斯估计，并讨论了在两种常见的先验分布下参数θ的贝叶斯估计的精确形式及其相应的容许性、多层贝叶斯估计。

当然，在研究中也有很多问题没有广泛延伸。此外，本文给出的都是含有参数的表达式，只提供了理论上的推导，还可以根据经济市场、保险市场中的历史变化情况，得出相应的参数值，从而得出具体的贝叶斯估计值，这将是很有实际意义的。

[1]Burr,I.W.,1942.Comulativefrequencyfunctions.Ann.Math.Statist.13,pp215-232.

[2]Hossain,Anwar M.,Nath Shyamal K.,1999.Estimation of Parameters in the presence of Outhliers for a burrXII distribution.Commun.Statist.Theory.Meh.,26(3),pp.637-652.

[3]Watkins,A.J.,2001.On the likelihood function for the three parameter burrXII Distribution Inte.J.of Reliahility,Quality and Safety Engineering.Vol8,No.2,pp.173-188.

[4]张彩平.三参Burr分布的估计和检验问题[D].上海:华东师范大学,2006.

[5]陈志强,韦程东等.熵损失函数下Burr分布参数的Bayes估计[J].广西师范学院学报（自然科学版）,2007,24(3):30-34.

[6]韩明.二项分布可靠度的Bayes、多层Bayes估计.数理统计与应用概率.1996,11(3):232-239.（中国数学文摘,1997,11(2)转摘）.

The Bayes Estimation of Burr Distribution Parameter Under Linex Loss Function

WANG Xue-min
（Department of Computer&Information Engineering,Wuhan Bioengneering Institute,Wuhan 430415,Hubei）

In this paper,we discussed the casr that the parameter has different prior information of the Burr distribution under Linex loss function,the Bayes estimations,mltilayer Bayesian estimations and general from of admissible estimater are given.

Burr distribution;Linex loss function;Bayes estimation;Hierarchical bayes estimation;Admissibility

U

A

1671-5004（2017）05-0019-03

2017-07-14

市属民办高校《医药数理统计方法》教学改革研究（项目编号：2014203）；武汉城市地铁车站火灾风险的模糊综合评价的实证研究（项目编号：B1014156）

王学敏（1981-），女，湖北利川人，湖北省武汉生物工程学院计信系讲师、硕士，研究方向：概率论与数理统计。