分解图形化繁为简

文/广州市矿泉中学 黄粤华

分解图形化繁为简

文/广州市矿泉中学 黄粤华

通过对较复杂图形进行分解或者重新构建，减少背景图形对问题的干扰，提取有效信息解决问题，是处理较复杂图形时比较有效的方法。

一、相似中的基本图形

如图 1，A字型是两个三角形相似的基本图形之一，当DE∥BC时即有△ADE∽△ABC。

图1

例1：如图 2，有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点 D处测得自己的影长 DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度。

图2

分析：此图中包含了两个A字 型 图 形 ， 如 图 3、图 4， 即△FCD∽△FAB和△GEF ∽△GAB，针对此类复杂图形，整体观察较难发现其中隐含的关系，如果对图形进行拆分、观察，分别整理出对应的比例关系，寻找两组比例关系中的共性与区别，则易求路灯杆AB的高度。

图3

图4

评注：此例中的两组相似三角形因为存在公共线段AB，同时有多个未知量且各个量之间还有隐藏关系，不易发掘。因此对与此类复杂图形，如果先进行拆分，分解出两个简单的基本图形即相似中的A字型，然后观察对比，易发现公共部分是路灯杆AB和地面部分线段BF。

二、从圆出发，构建基本图形

例 2： 如图 5，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD=15，CD⊥AB于点M，如果sin∠ACB=，求AB的长。

图5

分析： （方法一）因为∠C是圆周角（如图 6）且已知圆的直径等于 15，要求弦AB的长，则考虑连AO并延长交⊙O于点E，利用直径所对的圆周角是 90°构造 Rt△ABE（如图 7）， 得∠E=∠C， ∵sin∠ACB=， ∴sin∠AEB=，可求AB=9。

图6

图7

（方法二）由直径CD⊥AB于点M，联想垂径定理的基本图形（如图8）， 可以连接 AO构造 Rt△AOM， 可得圆心角∠AOM等于圆周角∠ACB（如图 9）， 于是 sin∠AOM=sin∠ACB=，所以，可求， 得AB=9。

图8

图9

评注：有时候拆分了复杂几何图形，可能只是得到了某些基本图形的一部分，尚不足以解决问题的时候，要通过添加相应的辅助线来构造基本图形，此类构造要紧紧围绕相关定理、性质的模型展开联想。

三、数形结合，各司其职

例3：如图10，已知，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为 （-1,0）， 点 C （0,5）， 另抛物线经过点（1,8），M为它的顶点。

图10

（1） 求 抛物线的解析式；

（2）求△MCB的面积S△MCB。

分析：（方法 一）（1）由一般式易求二次函数解析式y=-x2+4x+5，因此可求顶点 M （2,9）及抛物线与X轴另一个交点B（5,0）；（2） 如图11画出抛物

线的对称轴直线X=2，交BC于点P， 交 X轴于点 D （2,0）， 求 BC所在直线解析式为y=-x+5，所以点 P坐标是（2,3），以 MP为底，图分别以OD、OB为高求△MCP和△MBP的面积，两个三角形的面积之和就是△MCB的面积，所以

图11

评注：此为综合法，在解题的过程中没有拆复杂图形为基本图形，观察△MCB的时候易受到抛物线的干扰，学习处理起来综合难度高，解答较为困难，而且在实际解题时候并不容易发现三角形面积与函数模型及坐标系之间的联系。

分析： （方法二）因为△BCM与抛物线只有公共点 B、C、M，求△MCB的面积，可考虑求出顶点M的坐标（2,9）和与X轴交点B （5,0）后 抹去抛物线，即分离图形，如图12，只留下平面直角坐标系 和 △BCM。如图13，延长MC交X轴于点D，求直线MC解析式为y=2x+5， 得点0）， 所 以 S

图12

图13

（方法三）分离图形同方法二，如 图 14，作 MH⊥y轴于点H，得 H(0,9），则△MCB的面积等于梯形MHOB的面积减去△OCB和△MHC的面积。

图14

总之，分解出组合图形中的基本图形，运用多种方法解决同一个问题，开拓了学习者的思维能力，发展了空间想象能力，通过基本图形联系数学与外部世界，渗透数学学习中的三个基本思想，即抽象、推理和模型。教师在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果。谁能把图形的内涵挖掘的深一些，谁的 “拆分、整合”就灵活些，相应的解题思路就多些，如此坚持下去，解题能力就会不断提高。

责任编辑 韦英哲