环F2+vF2+v2F2上线性码的深度分布

马芳卉

( 山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)



环F2+vF2+v2F2上线性码的深度分布

马芳卉

( 山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049)

主要研究环R=F2+vF2+v2F2上线性码的深度分布及其深度谱，其中v3=v. 基于在环R上的线性码与它们的生成矩阵研究, 可以获得在有限域F2上的线性码C1,Cv,Cv2与它们的生成矩阵. 利用线性码C1,Cv,Cv2之间的关系, 得到了环R上线性码的深度分布及其深度谱.

线性码；生成矩阵；深度分布；深度谱

1 预备知识

(1)

2 环R上码字深度的性质及其递归算法

引理2[1]如果码字c1的码长为n, 深度为i; 码字c2的码长为n，深度为j, 并且ji.那么码字c=c1+c2的码长为n, 深度为i.

由于a+vb+v2d≠0, 我们有d(c)=i.

接下来，给出计算环R上码字深度的一个算法.

3 环R上线性码的深度分布

证明 令C为环R上的线性码, 标准生成矩阵如式(1)所示,C1为环R上的线性码,它的生成矩阵如下所示.

那么C1为C的子码.

假设C2是F2上由下列矩阵生成的一个线性码.

根据C1与C2的生成矩阵, 可以得到

α∈C2⟺vα∈C1or(1+v2)α∈C1or(v+v2)α∈C1

那么对于α∈C2，进一步可以得到

Di(α)=0⟺Di(vα)=0 orDi((1+v2)α)=0 orDi((v+v2)α)=0,

其中vα∈C1, (1+v2)α∈C1, (v+v2)α∈C1.

因此，C1与C2具有相同的深度分布. 由引理2可知, 非零码C2包含k1+k2+k3+k4+k5个非零值,C1也包含k1+k2+k3+k4+k5个非零值. 由于C1是C的一个子码, 那么码C的深度分布至少包含k1+k2+k3+k4+k5个非零值. 下一步我们将要给出如何计算C1,Cv,Cv2中深度分布的个数.

由于码C有标准生成矩阵(1), 那么C1,Cv,Cv2的生成矩阵由矩阵G的行向量的像生成,这些像由映射f,g,h决定，其中矩阵G如下所示.

那么可以得到C1的生成矩阵为

(2)

(3)

因此Cv包含k1+k2+k3+k5+rank(P)个非零的深度值，其中P如下表示，并且rank(P)至多包含k1+k2+k4个深度值.

同样地，也可以得到Cv2的生成矩阵为

(4)

其中,

因此Cv2包含k1+k2+k3+k4+k5+rank(K)个不同的非零的深度值, 并且rank(K)至多包含2k1+k2+k3个深度值.

其中

证明 根据引理2,C1,Cv,Cv2的深度分布分别为

对于∀c=x+vy+v2z∈C, 有

(1) 如果i=0, 那么Di=1;

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(编辑：刘宝江)

The depth distribution of linear codes over F2+vF2+v2F2

MA Fang-hui

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

In this paper, we study the depth distribution and the depth spectrum of linear codes over the ring R=F2+vF2+v2F2, where v3=v. Based on the linear codes over R and their generator matrices, the linear codes C1,Cv,Cv2over F2and their generator matrices are obtained. By using the relationship of C1,Cv,Cv2, the depth distribution and the depth spectrum of linear codes over R are obtained.

linear codes；generator matrix；depth distribution；depth spectrum

2016-03-20

山东理工大学有限域双语教学项目(4052/115017); 山东理工大学博士基金项目(4041/415059)

马芳卉, 女, 18766966153@163.coml

1672-6197(2017)01-0049-06

TN

A