第十一届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题答案

2017-11-22湖南大学

力学与实践 2017年5期

关键词：刚体内力质心

出题学校：湖南大学

本试卷分为基础题和提高题两部分满分120分时间3小时30分

说明：个人赛奖项分为全国奖和赛区奖.全国奖先以提高题得分为筛选标准，再按总得分排名，根据名次最终确定获奖人；赛区奖直接按赛区内总成绩排名确定获奖人.全国奖获奖人不再重复获得赛区奖.

注意：答卷中各题所得的最后计算结果用分数表示或用小数表示均可.

基础题部分(填空题，共60分)

一、(6分)如图 1所示，正方体边长为 c，其上作用四个力F1,F2,F3,F4，各力大小之间的关系为F1=F2=Fa，F3=F4=Fb.试计算以下问题，并将结果填在相应的空内.

图1

(2)(2分)若此力系√可简化为一个力，则Fa与Fb的数量关系为

(3)(2分)若Fa=Fb=√F，力系简化为一力螺

解答：

向点O简化

二、(6分)如图2所示，两匀质轮A和B的质量同为m，半径同为r.轮 A位于水平面上，绕于轮B的细绳通过定滑轮C后与轮A的中心相连，其中CA段绳水平，CB段绳铅直.不计定滑轮C与细绳的质量，且设细绳不可伸长.系统处于铅垂平面内，自静止释放.试计算以下问题，并将结果填在相应的空内.(重力加速度用g表示)

图2

(1)(2分)若轮A既滚又滑，则系统的自由度数为(3)；

解答:

问题(1)：3自由度.

问题(2)：轮A平动.分析轮B，动静法求解：

以上结果或通过求解刚体平面运动微分方程得到.

图3

三、(6分)桁架的杆件内力可以应用节点法、截面法以及虚位移原理进行求解.如图4所示，静定平面桁架由水平杆、竖直杆和45◦斜杆组成，在B处受固定铰支座约束，A,C两处由可水平运动的铰支座支承.桁架上作用了3个大小同为F的载荷，试计算以下问题，并将结果填在相应的空内.

图4

(1)(2分)杆DH 的内力为F (受拉)；

解答：

问题(1)：对节点H，依节点法，有

图5

问题 (2)：

图6

解法2--几何静力学方法，需要列多个平衡方程，下面列举其中一种解法.

图7

最后取节点B

四、(6分)如图8所示，小车上斜靠着长为l、质量为m的均质杆AB，其倾角以θ表示.杆处于铅垂平面内，B端与小车壁光滑接触，A端与小车底板的摩擦角为 ϕm=30◦.小车由动力装置驱动 (图中未画出)，沿水平直线轨道向左运动，且其运动可以被控制.小车运动过程中，杆AB相对于小车始终保持静止，试计算以下问题，并将结果填在相应的空内.

图8

(2)(3分)若小车作加速度向右的减速运动，

若 60◦≤ θ＜ 90◦，则 a≤ g cotθ.

解答:

问题 (1)：

几何法求解：

图9

解析法求解：

平衡方程

结合物理方程

可得结果.

问题 (2)：

几何法求解：

图10

加速度a的上限由A点临界滑动确定

当θ≥60◦时，加速度a的上限由杆绕A点翻转确定，所以amax=g cotθ.以上过程也可以采用解析法求解.

图11

五、(6分)如图 12所示，圆形细环管在相连部件(图中未画出)带动下沿水平直线轨道纯滚动，管内有一小壁虎，相对于环管爬行，壁虎可被视为一点，在图中以小球B代替.图示瞬时，壁虎与环管的中心处于同一水平线上，壁虎相对环管的速率为 u，相对速度的方向朝下，相对速度大小的改变率等于0，环管中心O点的速度向右，速度大小也为u，加速度为0.环管中心圆的半径等于R.试计算以下问题，并将结果填在相应的空内.√

图12

(2)(2分)在此瞬时壁虎相对地面的加速度大小为4u2/R；

(3)(2分)在此瞬时壁虎在√相对地面的运动轨迹上所处位置点的曲率半径为55R/8.

解答:

动点:小球；动系:细圆环

图13

则

aB=ae+ar+aC,为小球绝对加速度

图14

六、(5分)图15所示结构中，铅垂杆①和斜杆②均为弹性杆，斜杆②与水平线夹角为 θ，直角三角形ABC2为刚体，边 BC2处于水平位置.现将 C1和C2联结在一起，已知a,δ和θ，则求该两杆轴力用到的

(1)(2分)平衡方程(杆①、杆②的轴力分别用FN1和 FN2表示)为 2FN1−FN2cosθ=0；

(2)(3分)变形条件方程(杆①、杆②的变形分别用 ∆l1和 ∆l2表示)为 ∆l1+2∆l2/cosθ=δ.

图15

解答：(1)以三角形刚体为研究对象，ΣmB=0⇒2FN1−FN2cosθ=0.

图16

(2)设三角形刚体绕B点转动小角ϕ，

∵ ∆l2/cosθ=aϕδ−∆l1=2aϕ

∴ ∆l1+2∆l2/cosθ=δ

七、(5分)一种能量收集装置，可简化为图17所示悬臂梁模型.梁AB长l，弯曲刚度为2EI；梁BC和BD长均为l，弯曲刚度均为EI.梁AB与梁BC和BD通过刚节点B连接，三梁均处于水平位置.梁和刚节点B的重量均不计.梁BC和BD端部固定有重量均为W 的物块，该两梁之间有小间隙.则梁端D的挠度与物块重量之比fD/W=8l3/(3EI).

图17

解答

其中

八、(6分)已知一危险点的单元体处于平面应力状态，最大切应变γmax=5×10−4，通过该点相互垂直的微截面上正应力之和为28MPa.若材料的弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.25.则

(1)(3分)该点主应力 σ1=54MPa，σ2=0MPa，σ3= −26MPa；

(2)(3分)用最大切应力强度理论校核时相当应力σr3=80MPa.

所以σx−σy=2×5×104×0.8×105=80MPa，又 σx+σy=28MPa，解得：σ1=54MPa，σ2=0，σ3= −26MPa；于是σ=2τ=80MPa.r3max

九、(6分)图18所示刚架中，水平梁为刚杆，竖直杆①、②均为细长弹性杆，只考虑与纸面平行的平面内的失稳.则

(1)(2分)刚架失稳时载荷的最小值F由杆①决定；(注：填入①，②)

(2)(4分)刚架失稳时载荷的最小值 F =π2EI/(2l2).

图18

解答：最低临界载荷对应两竖杆均朝一边变形，在该变形情况下柱内无剪力，相当于悬臂柱，于是有

十、(8分)图19所示等截面直角刚架ACB，杆件横截面为圆形，弯曲刚度为EI，扭转刚度为0.8EI.C处承受大小为m、方向如图所示的外力偶，该力偶矢量方向与刚架轴线处于同一平面内.则

图19

解答：

图20

求解，得

或

提高题部分(计算题，共60分)

十一、(共15分)如题图21(a)所示，质量均为m的圆轮和细直杆AC固结成一组合刚体.其中，杆AC沿圆轮径向，O为圆轮轮心，C点为轮与杆的固结点，也是组合刚体的质心.初始时刻，组合刚体静止于水平面，左边紧靠高度为r的水平台阶，然后，在图示不稳定平衡位置受微小扰动后向右倾倒，以ϕ表示组合刚体在杆端A与地面接触之前的转动角度 (参见图 21(b)).圆轮，半径为 r，组合刚体关于过轮心O并垂直于圆轮的轴之转动惯量为JO.略去各处摩擦，试求解如下问题.

图21

(1)(5分)圆轮与台阶B点开始分离时的角度ϕ的大小？

(2)(6分)组合刚体的角速度与角度ϕ的关系？

(3)(4分)圆轮右移的距离 S与角度 ϕ的关系？

解答:

组合刚体的运动存在两个阶段，一是绕O的定轴转动；二是质心水平速度保持不变的平面运动.首先确定由定轴转动到平面运动的临界转角.问题(1),刚体绕O作定轴转动.依动能定理

图22

式(7)两边对时间求导

式(7)也可由对点O的动量矩定理得到.

由质心运动定理

anC=rω2,aτC=rα.方程 (9)也可由动静法得到.式(9)中代入加速度

球与凸台分离的角度由FN2=0确定.

对应角速度ω0=

问题(2):

当

图23

当ϕ＞ϕ0时，组合刚体与台阶脱离接触，作平面运动，水平方向动量守恒，质心C的水平速度不变，为

O点速度vO水平，以其为基点，质心C的速度表示为

质心C的水平速度为

依动能定理，有

其中，JC=JO−2mr2.

由式(11)解出

(当 ϕ＞ϕ0) (1分)

问题(3):

当ϕ≤ϕ0时，S=0 (1分)

当ϕ＞ϕ0时，圆盘向右发生水平移动和转动.注意到

图24

由式(10)有

十二、(共15分)如图25所示，边长为h、质量为m的均质正方形刚性平板静置于水平面上，且仅在角点A、C和棱边中点B处与水平面保持三点接触.位于水平面上的小球以平行于AC棱边的水平速度vb与平板发生完全弹性碰撞，碰撞点至角点A的距离以b表示.已知平板关于过其中心的铅直轴的转动惯量为J=mh2/6，在A、B和C三点处与水平支承面的静摩擦因数和动摩擦因素均为µ.略去碰撞过程中的摩擦力冲量，试求

(1)(3分)碰撞结束瞬时，平板的速度瞬心位置？

(2)(3分)若b=5h/6，计算碰撞结束瞬时平板的角加速度？

(3)(9分)设小球的质量为m/21.碰撞后，板在水平面内绕B点转动，则碰撞点的位置b和碰撞前小球速度vb应满足的条件？

图25

解答:

两物体碰撞及速度突变都发生在水平面内，在铅直方向，方板仍然处于平衡状态.由空间平行力系的平衡知三个支撑点的铅直方向反力.支承面对方板的水平约束力就是动或静摩擦力，由摩擦定律知摩擦力与铅直反力成比例.因此，在碰撞阶段，水平摩擦力的冲量略去不计.

图26

图27

问题(1):

记碰撞冲量为I，考察板

碰撞结束瞬时，板作平面运动的速度瞬心位于通过点B′和点B的直线上.

由 vO0−xω0=0(1分)得

当b=h/2时，板作平移，速度瞬心在无穷远处.式中，x坐标的原点在点O，向右为正，向左为负.问题(2):

将b=5h/6代入式(13)，有x=−h/2，板逆时针转动.此时，板的速度瞬心在AC棱边中点.碰撞结束瞬时，板的角加速度由相对于质心的动量矩定理确定.

板在水平面内受3个滑动摩擦力作用，如下图所示.

图28

代入式 (14)，有

问题(3):

B点速度vB=0，由式(13)知

由对B点的动量矩守恒得到

图29

其中，v′b为小球的反弹速度

碰撞点D的法向速度为

完全弹性碰撞条件为

结合式(15)与式(16)，解出

B点的静摩擦力满足

由质心运动定理和对B点的动量矩定理

此后，板作减速转动，ω ＜ ω0,anO＜ω02,所以FBn＜FBn0.可见，板在停止转动之前，其B端能保持静止不动.(1分)

十三、(15分)图30示圆环细杆，材料的弹性模量为E，受集度为m、矢量方向与环杆轴线相切的均布力偶载荷，变形时杆件始终保持弹性状态，且横截面符合平面假设.环杆轴线半径为R，环杆横截面为圆，其半径为r，且r/R≪1.试确定：

(1)(3分)横截面上的内力；

(2)(10分)横截面的转角ϕ；

(3)(4分)求横截面上内力的最大值.

【提示】：当Y/X≪1时可做简化：X+Y≈X.

图30

解答:(1)横截面上的内力:由半环杆的力偶平衡得

图31

图32

考虑到转角ϕ比较大，因此在变形后截面上一点的位置坐标表达为

将式(20)及上述二式代入Mz和My表达式，有

计算出积分可得

比较式(19)与式(22)得

由此式可见，为了m恒正，即m与题目中所画方向相同而不矛盾，ϕ的取值限定为0≤ϕ＜π.

式(23)代入式(22)得

总之，横截面上的非零内力为

弯矩 Mz= −mR(↞)，

(其余内力分量为零，不用写出)

式(21)或式(23)也可用能量法求得.

(2)横截面的转角ϕ：

由式(23)得转角

(3)内力的最大值Mmax

利用式(21)和式(22)算出横截面上的合弯矩

可见，当ϕ=π时，M=Mmax(1分)

图33

十四、 (15分)图 34和图 35所示的薄壁圆环管压力容器，壁厚为t，环管横截面平均直径为D，环管轴线半径为R.为了加固压力容器，用一根直径为d的细钢丝缠绕圆管，钢丝缠绕时拉紧，以至于钢丝与压力容器间的摩擦力达最大.缠绕的钢丝相邻两圈间相互紧挨，但可忽略其相互挤压作用.只考虑钢丝因长度方向拉伸引起的变形，即可忽略钢丝的弯曲、扭转等变形.设t/D≪1，D/R≪1且d/D≪1.钢丝材料的弹性模量为Es，压力容器材料的弹性模量和泊松比分别为E和ν，钢丝与压力容器间的摩擦因数为µ.