谈“解决问题”教学“数量关系”的关键性

范文武

【摘要】 “数量关系”是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的，揭示某些数量之间的本质联系，并以关系式的形式来表示这种联系。“数量关系”是学生“解决问题”的一个有效工具，是发展学生思维能力，培养学生创新能力的有利载体，学生在“解决问题”中需要“数量关系”做理论基础和思维支撑。让学生明白“数量关系”，对培植学生数学观念十分重要，掌握了“数量关系”就会使学生对数量的认识从感性认识上升到理性认识，从而为他们走入数学王国奠定基础。

【关键词】 解决问题 数量关系 关键性

【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）10-019-02

小学《数学课程标准》中指出，“应使学生经历从实际问题抽象出数量关系并运用所学知识解决问题的过程”。

“数量关系”是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的，揭示某些数量之间的本质联系，并以关系式的形式来表示这种联系。“数量关系”是学生“解决问题”的一个有效工具，是发展学生思维能力，培养学生创新能力的有利载体，学生在“解决问题”中需要“数量关系”做理论基础和思维支撑。让学生明白“数量关系”，对培植学生数学观念十分重要，掌握了“数量关系”就会使学生对数量的认识从感性认识上升到理性认识，从而为他们走入数学王国奠定基础。

课改前的“应用题”教学过于重视“数量关系”的分析，忽视了学生发现问题、提出问题的过程，以及解决实际问题的能力；课改后的“解决问题”教学将重心过多地放在数学问题生活化，以及对信息的收集、整理上，反而对“数量关系”的形成与分析显得比较单薄，导致教学从“生活情境”直接走向“实际应用”，忽视了“数量关系”形成这个重要的数学建模的过程。

一、案例分析

教学疑问：相对同一个练习里的其它题目，为什么这道题的列式错误率明显偏高？

原因分析：心理学先入为主原则，第一次学习建立起来的“模型”表象，不仅会给学生留下深刻的印象，而且还具有导向作用。在一至四年级的除法“解决问题”中，都是被除数大于除数。有些老师教学时忽视“数量关系”的分析，缺少“平均每分钟付费多少钱？”和“平均一元钱可以通话多少分钟？”的对比练习，甚至有些老师为了追求成绩，直接告诉学生：“记住你就用大数除以小数！”以至于到了五年级形成不分析“数量关系”凭直觉列式的坏习惯。

由此可见，只要求学生进行“列式解答”，而不分析“数量关系”，学生极容易出现僵化的思维定势，要么“知其然而不知其所以然”，要么“不知所以然”。这就要求我们在“解决问题”时要先确定题目的“数量关系”，然后根据“数量关系”列式解答。

二、“数量关系”的类型

在中、低年级课程里，“数与代数”领域一步计算的“解决问题”的“数量关系”都起源于现实生活，产生于四则运算的意义，形成于对同一类现象的分析、比较、抽象和概括，我们把它们称为基本“数量关系”。两步计算的“解决问题”的“数量关系”又是由几个基本“数量关系”经过交错组合而形成的，我们把它们称为复合“数量关系”。我们把这两类统称为一般“数量关系”。

在中、高年级课程里，“图形与几何”领域一步计算的“解决问题”的“数量关系”都基于图形的计算公式，我们把它们称为公式“数量关系”。两步计算的“解决问题”的“数量关系”是公式“数量关系”和基本“数量关系”的组合。

在高年级课程里，“数与代数”领域的列方程解决问题，需要根据题意的叙述抽象概括出有关“等量关系”的等式。我们把这两类统称为特殊“数量关系”。

梳理小学阶段的“解决问题”，“数量关系”的类型整理如下：

三、“数量关系”的建构

笔者在解读“解决问题”三步教学模式时，“分析与解答”完成两件事：数量关系、列式计算，以此加强“解决问题”教学时“数量关系”的分析。

在教学过程中四则运算意义的教学非常重要，我们要结合具体情境加强对四则运算意义的理解，通过积累和归纳，沟通数学问题与四则运算的联系，建立基本“数量关系”的模型，提升学生分析问题、解决问题的能力。

（一）基本“数量关系”

在教学时完成了第一步的“示意图”后，老师紧接着手指“示意图”，通过问：要求“一共有几只兔子？”和“原来有多少个口哨？”就是要怎样？引导学生明确就是把“左边的兔子和右边的兔子合起来”，和把“领走的口哨和还剩的口哨合起来”。在渗透加法的意义“把两个数合并成一个数的运算”的同时，建构出了题目的“数量关系”：“左边+右边=一共”和“领走的+剩下的=原来的”，这里虽然加法“数量关系”的模型没有抽象出来，但是学生在分析和操作的过程中已经形成了一个表象：“部分数+部分数=总数”。需要强调的是，教师在教学时要引导学生从题目自身的情境出发去构建，而不是概括抽象的数量关系式。

（二）复合“数量关系”

教材循序渐进地呈现两步计算的“解决问题”，也为两步计算“解决问题”的“数量关系”建构提供了“跳板”。

二（上）32页例5要解决两个问题，第一个问题是第二个问题的基础。教学第一步的“示意图”时，可以先让学生尝试着自己画；教学第二步时，可以让学生根据“示意图”找到题目的“数量关系”：“女生人数-男生比女生少的人数=男生人数”和“女生人数+男生人数=小组人数”，并根据“数量关系”列式计算。为了渗透两步计算的解题策略，解答完之后教师可以把第一个问题“男生有多少人？”去掉，只留下“美术兴趣小组一共有多少人？”问学生：如果只求“美术兴趣小组一共有多少人？”你们能直接解答吗？为什么？追问：那想求“美术兴趣小组一共有多少人？”就要先求什么？学生在抽象变化中明白了两步“解决问题”的关键所在。

三（下）52頁例3是连乘法“解决问题”，教学第一步的“示意图”可以老师引领着画；教学第二步时，可以让学生根据“示意图”想一想：要想求“一共卖了多少钱？”要先求什么？再让学生根据自己的思路确定“数量关系”和列式计算。

在小学中、高年级课程里，“解决问题”的公式“数量关系”出现在“图形与几何”领域，有时是单独出现（一步），有时是和基本“数量关系”联合出现（两步）。特殊“数量关系”则更多出现在方程“解决问题”和分数“解决问题”之中。

（三）公式“数量关系”

五（上）88页例1是一道一步计算的“解决问题”，平行四边形的面积公式：s=ah其实就是“数量关系”。解题时一定要先想这道题目的公式“数量关系”是什么？再解答。

六（上）68页例1是一道三步计算的“解决问题”，用到了两个“数量关系”，一个是公式“数量关系”：πr2=s，一个是基本“数量关系”：每份数×份数=总数（单价×数量=总价）。教学时要先思考“先求什么？再求什么？”，再确定对应的“数量关系”，并列式计算。

（四）等式“数量关系”

例2是方程“解决问题”，方程“解决问题”的解答关键是找准等量“数量关系”，学生根据“示意图”确定“数量关系”，这里的“数量关系”不止一个，教师要引导学生依照题意选择最容易理解和最容易列式解答的“数量关系”。

例4是分数“解决问题”，分数“解决问题”的解答关键是找准等量“数量关系”和判断单位“1”是否知道？这道题目有多余信息，在确定“数量关系”时，其实就已经排除了多余信息。可见在“解决问题”分析题意中要求学生先确定题目的“数量关系”，然后再根据“数量关系”解答问题多么的关键。

“数量关系”贯穿小学数学“解决问题”的始终，在“解决问题”的教学过程中，教师要注意加强学生对“数量关系”的分析，让学生从分析“数量关系”的角度来建立数学模型。

[ 参 考 文 献 ]

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）.

[2]义务教育数学课程标准（2011年版）解读.endprint