移动副间隙对两自由度平面机构非线性动力学的影响

午丽娟

(上海电机学院 机械学院，上海 201306)

移动副间隙对两自由度平面机构非线性动力学的影响

午丽娟

(上海电机学院 机械学院，上海 201306)

对含间隙移动副的机构非线性动力学行为进行了分析研究。建立了间隙元素非线性接触碰撞力模型，其正向接触力采用Hertz弹性力和能量耗散项表征，切向力则由改进的库仑摩擦力表征；对不同间隙值条件下机构动力学性能进行了仿真分析。结果表明，机构运动稳定性和精度随着间隙值的增大而降低；相图和庞加莱截面进一步显示，随着间隙值的增大，机构运动具有从周期趋向混沌的非线性特性。

移动副间隙； 动力学响应； 非线性特性

理想运动副忽略了运动副元素之间由相对运动、磨损及公差等造成的间隙，而实际机构中，运动副都含有配合间隙。研究表明[1-3]，受间隙运动副元素之间接触碰撞的影响，机构运动的稳定性和精度明显降低。在一定条件下，机构运动还将趋向于混沌而非周期。由间隙引起的这种复杂动力学特性已被广泛关注和研究。其中，间隙机构建模和仿真、动力学响应预测和分析是研究的两个主要内容，研究对象多以曲柄滑块机构和四杆机构为典型机构[4-7]。这些研究表明，不同的间隙建模方法在动力学数值求解中既有优点也有缺点，但仿真结果均显示机构的非线性特性依赖于系统参数。因此，尽可能精确地建立间隙动力学模型，并计算出系统参数和响应之间的关系依然是一个重要的工作。

在动力学响应方面，文献[8-10]中对间隙值大小、输入速度、构件的刚性和柔性、间隙运动副的摩擦和润滑等进行了研究，以便精确预测影响因子对间隙机构的动力学性能的影响。系统运动的周期性和混沌性则利用非线性方法，如相图[11]、中心轨迹[12]、庞加莱截面[13]等进行了研究。文献[14]中以含间隙四杆机构为例，研究了曲柄转速和连杆真实阻尼对机构周期和混沌运动特性的影响。结果表明，从周期规律运动向混沌的转变与曲柄的转速有一定关系；超过某一个特定的值，间隙机构响应呈现非周期性，并对初始条件敏感，而阻尼对响应则影响不大；并推测周期性和混沌运动分别对应于连续接触和发生碰撞。文献[15]中利用庞加莱截面和奇特因子研究了不同间隙值下曲柄滑块机构的动力学特性，考虑间隙存在时，机构动力学响应发生变化，在一定条件下，系统展现非线性混沌特性。文献[16]中选择间隙值、曲柄转速和间隙运动副个数作为影响因子，研究了相应的动力学响应；庞加莱截面和运动副中心轨迹表明，间隙值和曲柄转速对接触力、力矩有较大影响，非线性响应与这些因素也密切相关。文献[17]中研究了间隙大小和曲柄转速对含间隙曲柄滑块机构的影响，从滑块速度和位移的相图可以看出，混沌运动不仅与间隙值、曲柄转速有关，与间隙运动副在机构中的位置也有关系。文献[18]中研究了曲柄转速恒定、间隙值改变情况下的机构动力学响应；在一定条件下，庞加莱截面展现了混沌、周期和拟周期特性，且间隙值的微小变化将引起庞加莱截面的巨大变化。上述研究的对象多以单自由度机构为主，缺乏对多自由度机构非线性动力学的研究。

本文以两自由度5杆机构为例，通过对机构中某个构件速度和位移偏离分析，以及长周期运动中，速度和位移参数的相图和庞加莱截面分析，研究了间隙运动副对机构运动的线性和非线性影响。

1 间隙机构建模

1.1含间隙机构模型

以一个5杆机构为例，理想运动副情况下，其自由度为2，机构如图1所示。其中，A、B、C、D点分别为4个旋转运动副中心，E、G分别为BE杆的端点和质心，α、β分别为机构初始角度。

图1 含移动副间隙两自由度平面机构

图1的平面双曲柄机构由5个刚体杆件、4个理想旋转运动副和1个带间隙的移动副组成，杆件1和2 上分别施加两个转矩ω1和ω2驱动机构运动。在移动副中，考虑滑块4和杆件3之间有运动间隙c，其大小为杆3直径和滑块4内孔径之差。各杆件参数如表1所示。

表1 构件基本参数

1.2间隙运动副接触力模型

由于间隙的存在，运动副两元素相对运动过程中会产生接触碰撞，接触力大小和材料变形与能量损失有关。如图2所示为间隙运动副接触点处的接触变形及接触力。其中，O1、O2分别为杆3和滑块4在接触点横截面上的回转中心；t、p为滑块表面在接触点弹性变形的初始点和终点；T、N分别为最大接触变形点的切向和法向；e为偏心距;r为杆3半径。

图2 间隙运动副接触点处的接触变形及接触力

当接触变形量δ≥0时，两元素发生接触碰撞并产生表面弹性变形，滑动约束转化为施加在接触碰撞点正向力FN和切向力FT约束。当δ<0时，两元素分离，约束消除，系统增加2个自由度。图中，为更清楚地表示接触变形，进行了放大处理。则

(1)

式中，K为刚度系数，与材料泊松比、杨氏模量及接触元素几何特性有关；对于金属杆件，设指数n=1.5；D为回滞阻尼系数，与δ、最大阻尼系数有关。

(2)

式中，vT为接触点处相对切向速度；μ为摩擦系数，与静摩擦系数μs和动摩擦系数μd有关，即

其中，vd和vs为动摩擦和静摩擦转化的绝对速度阈值。

2 仿真结果和讨论

基于动力学仿真结果分析不同间隙对两自由度平面机构动力学特性的影响。机构仿真模型如图1所示，仿真参数如表2所示，其中，E和ν分别是杆件材料弹性模量和泊松比。

表2 仿真参数

数值计算在ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)中完成。为了获得更快的计算效率和更高的计算精确度，选择刚性积分器GSTIFF和积分算法I3，积分误差控制在0.001,仿真时长设置为杆1的10个旋转周期。

分别取c=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.75 mm，杆1和杆2的转速为ω1=30 d/s和ω2=50 d/s。通过杆3质心点G的速度和位移分析不同c时机构运动稳定性和精确度的变化。进一步对仿真数据进行非线性计算，通过相图和庞加莱截面分析不同c对机构非线性动力学行为的影响。

图3所示为杆3质心点G的速度变化。由图可见，当c=0 mm时，速度曲线光滑；随着c从0.10 mm逐渐增加到1.00 mm，速度曲线的波动幅度和波动频率越来越大；且间隙值0.1 mm的微小变化，引起的速度波动却非常明显，表明G点速度对初始间隙值非常敏感。

以向量AG表征G点的位置，图4所示为3个曲柄旋转周期内G点位置的偏移量，即G点位置相对于c=0 mm理想状态的偏离情况。由图可见，当c=0.10 mm时，最大位移偏移量约为0.5 mm；当c=1.00 mm时，最大偏移量接近5 mm，且随着c从0.10 mm逐渐增加到1.00 mm，位置偏移量越来越大，即随着c增大，运动轨迹相对于理想状态时的偏差越来越大。

(a)c=0 mm

(b) c=0.10 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(e) c=0.40 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

图3G点速度随间隙变化图

Fig.3 Velocity of mass center G at different clearance sizes

图4 G点位置相对间隙为零时的偏离图

图3、4 表明，杆3的运动速度和位移均受移动副间隙的影响，c值增大，运动精度和稳定性下降，这是由于间隙越大，运动副元素间的接触碰撞越频繁造成的。

图5所示为G点速度相对于位移的相图。由图可见，当c=0 mm时，相图轨迹光滑且封闭，机构运动为典型的周期性运动；当c>0 mm时，相图轨迹波动且不封闭，波动幅度随c增大而加剧，表明机构运动从周期趋向非周期。图6所示为G点位移的庞加莱截面图，其横、纵坐标rn、rn+1表示G点位移极值的相邻值。由图可见，当c=0 mm时，截面上只有一个孤立点，机构运动为可预测的周期性运动；当c>0 mm时，随着c增大，截面上的点从有限个孤立点逐渐转变为不可数的密集点分散在整个截面，表明机构运动为拟周期运动和混沌运动。由图5、6可见，机构动力学行为对初始间隙值非常敏感，并具有非线性特性，这是由于间隙的存在，运动副两元素之间的相对运动变得不可预测且随机，导致接触约束即接触力和摩擦力具有不确定性，系统由此表现出不可预测的混沌特性。

(a) c=0 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

图5G点速度相对于位移的相图

Fig.5 Phase plane of velocity vs. displacement of G point

(a) c=0 mm

(b) c=0.10 mm

(c) c=0.20 mm

(d) c=0.30 mm

(f) c=0.50 mm

(g) c=0.75 mm

(h) c=1.00 mm

图6庞加莱截面

Fig.6 The Poincaré section

3 结 语

本文以一个含间隙移动副的两自由度平面连杆机构为研究对象，采用非线性连续接触力模型建立了运动副间隙接触碰撞约束，利用ADAMS对机构进行了数值仿真，研究了不同间隙值条件下，机构动力学行为和非线性特性。结果表明，运动副的间隙明显改变了机构的动力学行为。随着间隙值增大，机构运动速度波动和位移偏移随之增加，运动精度和稳定性显著降低；相图和庞加莱截面显示，机构动力学特性对初始间隙值非常敏感，并且随着间隙增大，系统表现出从周期向混沌转变的趋势。

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Influence of Slider Joint with Clearance on Nonlinear Dynamics of Planar Mechanism with Two Degrees of Freedom

WULijuan

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306，China)

In this study, the influence of joint clearance on the dynamic response of a mechanism with two degrees of freedom is investigated. A nonlinear dynamic model of clearance was built. The normal contact force was characterized by Hertz contact theory and an energy dissipation term. A tangential friction force was built based on Coulomb’s friction law. Dynamic simulation was carried out at different clearance sizes of the slider joint. The simulation results indicate that precision and stability of the system’s motion decrease as the clearance size increases. Furthermore, the phase plane and Poincaré section exhibit that the system has a tendency to move from periodic to chaotic as the clearance size increases.

slide joint clearance; dynamic response; nonlinear characteristic

2017 -09 -30

上海市网络化制造与企业信息化重点实验室开放课题资助(KT20150902)

午丽娟(1978-)，女，副教授，博士，主要研究方向为材料成型及控制，E-mail: wulj@sdju.edu.cn

2095-0020(2017)05 -0249-06

TH 122.1

A