借鉴拓展性课程 编制拓展类试题*

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(金华市教育局教研室，浙江 金华 3210017)

借鉴拓展性课程编制拓展类试题*

●傅瑞琦

(金华市教育局教研室，浙江 金华 3210017)

初中数学拓展性课程，旨在促进学生数学素养的进一步形成和个性化的发展． 通过一道中考试题的编制，探讨如何基于拓展性课程设计理念，在真实的生活情景中，发现数学问题，设置考查方向，实现对学生建模能力、探究能力和创新能力等数学素养的考查．

拓展性; 试题编制; 思考

初中数学拓展性课程，属于知识拓展类，包括学科的研究性学习、专题教育等，旨在拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣，突出课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，促进学生数学素养的进一步形成和个性化发展.

这种理念如何在中考命题中体现呢？着眼于对“数学素养”的考查,需要有问题情景、思考过程来体现数学思想.在真实的生活情景中，发现数学问题，让学生运用所学知识，进行分析、合情推理，体现对学生建模能力、探究能力和创新能力等数学素养的考查.现以2016年浙江省金华市数学中考卷选择题第9题的命制过程，来探讨如何运用拓展性课程理念来设计试题.

1 素材选择

根据试卷双向细目表，选择题的第9题(共10题)难度系数目标为0.75～0.85之间，设计为几何操作探究类问题，选择学生熟悉的学习背景，抽象几何图形，借助学生学习经验的积累，把操作、观察、探究融合在一起，来考查学生的几何直观.为此，笔者选择一智力游戏，作为命题研究的素材.

智力游戏有5个同学站在操场上，其中没有3个人在同一直线上，也没有4个人在同一个圆周上.请找出3个同学用一根绳子围成一个圆，使得剩下的两个同学，一个在圆内，一个在圆外.

操作过程如图1，这5个同学分别站在点A，B，C，D，E，分两步分析：1)易找到点A,B，使得其他3个点在AB的同侧，则3个角∠ACB,∠ADB,∠AEB必然都不相等.若有角相等，则角的两个顶点与A，B在同一圆上，不符合题意.2)不妨设∠ACB>∠ADB>∠AEB，如图2，选中间大小的角的顶点D,作出过点A，B，D的⊙O，则点C在该圆内，点E在该圆外.

图1 图2

2 素材分析

这是浙教版《数学》九年级上册第3章“圆的基本性质”的拓展性学习内容.解决此题可联系圆的相关知识，利用“不在同一直线上的三点确定一个圆”，作出⊙O，利用“圆外角小于圆周角、圆内角大于圆周角”这一性质，可以判定这样作图的合理性.

此素材联想了足球运动，如图2，如果把AB看成球门，点D,C,E为射点，仅从射门角大小考虑，最佳的射点为点C.因此，联想足球场上的进攻与防守，容易抽象出几何问题，有广阔的创造空间，是拓展性课程设计的重要资源,从球员带球线路的方向、守门员出击防守等视角去研究足球运动，联系对应的数学知识，让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的问题探究过程.在一个崭新的背景中，关注建模能力，可以考查学生对知识的应用能力，达到适度区分的目的.

3 成稿研究

方案1如图3，AB为球门，当球员沿EF方向进攻时，在EF上的点E,F,G,H中，仅考虑射门角，射点最好的位置是

( )

A.点EB.点FC.点GD.点H

图3 图4

分析利用“三角形外角大于不相邻的一个内角”，如图4，联结GA,GB,FA,FB.在△AGF中，∠AGD>∠AFD；在△BGF中，∠BGD>∠BFD,从而

∠AGD+∠BGD>∠AFD+∠BFD,

即

∠AGB>∠AFB,

同理可得 ∠AHB>∠AGB>∠AFB>∠AEB,

因此射点在点H处射门角最大.

但是，该方案考查的知识点只有“三角形外角大于不相邻的一个内角”，比较单一，如果学生用量角器等工具量一下，就绕过了对此知识的考查.为此，加入三角函数等相关内容，从运球的方向角度设计问题.

图5

方案2在如图5所示的正方形网格中，点A,B在格点处，球从格点C处沿CP方向进攻，CP上的点离球门越近就越好，设∠OCP=α，tanα=t,则t的范围是

( )

另外，方案1也说明了一个事实，即足球进攻路线与球门AB有交点时，离球门AB越近就射点越好.如果没有交点，那么又可以从哪些角度去设计问题？尝试“最近路程”联系相关知识，设计问题进行研究.

方案3在如图6所示的正方形网格中，小正方形边长为a,CD为运球路线，球门AB中点M为格点，则点M到CD的最近距离是

( )

图6 图7

方案4在如图6所示的正方形网格中，小正方形边长为a,守门员从门柱点A跑出阻拦足球，在DC上的点P处将球击飞后跑回球门柱B,当守门员跑的路程最小时，则该路程是

( )

图8

A.10aB.15a

如图8，联结AE,则AE⊥CD,点A′与点A关于CD对称.联结A′B，则A′B与CD的交点即为点P,最短的路程

这两个方案都是利用相似三角形的性质构造CD的垂线，再应用勾股定理求得相关线段的长.方案3应用的是垂线段最短原理;方案4则是应用轴对称性质作对称点找最近路线，知识联系综合度合适，但较常规，创新力度不够.

图9

方案5如图9，如果在球门AB前站一排人墙CD,球员从点A沿AP直线带球进攻，有∠MAP=45°，AM为人墙CD的中垂线.若AM=20a,CD=16a,点M到CD的距离6a，那么守门员从点M出发绕过人墙，在射线AP上拦截足球的最近路程是

( )

正确的作图是：联结CM,再过点C作CH⊥AP于点H,如图11，则MC+CH即为拦截足球的最近路程.求解时，只要延长NC交AP于点G,在Rt△CNM中,

图10 图11

另外根据图形特征，求解CH的思路多元,如图12～14，学生可以联系自己熟悉的知识方法来求解.

图12 图13 图14

但是此方案人为编写痕迹过大,知识的应用在两个直角三角形中，都是应用勾股定理通过计算解决，知识联系还是比较单一.

图15

方案6足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小，张角越大，射门越好.如图15的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上,球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在

( )

A.点CB.点D

C.点ED.线段DE的中点

分析点到球门AB的张角，自然联系以AB为弦的圆，这个圆的圆心在AB的中垂线CM上，这就引导学生去尝试画圆.

作过点A,B,C的圆，如图16，格点F即为AC的中点，联结FG与CM交点O1即为圆心，这时发现点D,E都在该圆的内部，即∠ACB最小；作过点A,B,E的圆时，AE的中垂线与CM交点O2即为圆心，作出⊙O2时，发现点D也在该圆上(如图17).若设小正方形边长为a，则

这也说明了点A,B,D,E共圆，于是∠ADB=∠AEB，这时DE的中点在⊙O2内.故选D.

图16 图17

但是，该方案在选项的设置上，点D与点E在同一圆上，选项B,C迷惑不强，难以甄别学生对相关数学知识的清晰认识.另外，最好的射点是否在DE的中点还有待探究.为此，将选项适当修改，形成方案7.

方案7(定稿) 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小，张角越大，射门越好.在如图15所示的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上,球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在

( )

A.点CB.点D或点E

C.线段DE(异于端点)上一点

D.线段CD(异于端点)上一点

分析定稿后的试题，以足球射门最好的射点位置探究为背景，要求学生结合文字信息，在其示意图中，通过“联系知识、画图操作、探究猜测”来确定最好的射点，为学生提供了探究、发现、思考的空间，较好地考查了学生对圆知识的理解、掌握和灵活运用的程度，以及学生的空间观念、空间想象与活动经验，加强了对数形结合思想与合情推理能力的重视．

背景用网格，避免了学生作图过程中的繁琐过程，充分利用图形内在的位置关系、数量关系来考查学生对数学本质的理解层次.

图18

进一步思考：最大射角的点是否在线段DE的中点处？如图18，设过点A，B的⊙O与EC相切于点P,设小正方形边长为a，⊙O半径为x,则

在Rt△AOM中，

AM2+OM2=OA2,

即

化简得

此时

3 命题反思

该试题的编制过程采用“选择生活情景，联系数学知识，抽象数学模型，探究考查方向”的方法，通过不断尝试，形成试题.这给编制含有拓展性课程设计理念的数学试题带来很多启发.

1)选择实际情景.为了考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，选择一个真实的、蕴含数学知识的实际生活情景，通过建模，抽象出数学问题，来实现现实问题数学化.足球场地，学生极为熟悉，其中蕴含的数学知识极为丰富，是拓展性课程常选的素材.从游戏、最值问题到最佳射点的探究，这需要激活学生原有的知识和能力以及数学学习经验，运用到该情景之中，有一定的现实意义，关注了空间图形与生活的结合，体现数学的实用价值.

2)设置考查问题.试题的问题设置：1)设问方向联系实际需求，当运球路线所在直线与球门AB有交点时，研究张角大小;当运球路线所在直线与球门AB无交点时，一方面探究守门员到运球路线的最近路程，另一方面是带球队员进攻时射点的选择，接近于生活实际.2)问题呈现体现研究过程，如定稿后的试题，联系到有关圆的知识后，作过点A，B的圆时，需要几何直觉，根据正方形网格隐含的几何条件，作⊙O1得出∠ACB最小，利用三角形相似作中垂线后进一步作出⊙O2，并通过计算验证得4个点A,B,D,E共圆,得出∠ADB=∠AEB，线段DE(异于端点)在⊙O2内,容易得出答案.让学生经历以“操作、发现、猜想和验证”为活动主线的问题探究过程，在问题的解决过程中，包含对模型的分析和对方法的思考.

3)体现教学导向.抽象出的几何图形是学生熟悉的，联系知识后画图探究离不开学生平时的数学活动经验积累，将圆、正方形、直角三角形等核心知识，通过图形变化联系在一起，借助转化、猜想、计算等形式，较好地实现了知识的整合,突出考查学生应用所学知识解决问题的思维过程,体现良好的教学导向，学习数学关注切实的体验、实践以及数学活动经验的积累，重视读图、认图、释图能力的培养.

2017-06-30

傅瑞琦(1966-)，男，浙江金华人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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