回归教材寻题根 深度学习悟本质*
——一堂高三试题探究活动课的实录与思考
2017-11-20
●
(灌南县第二中学,江苏 连云港 222500)
回归教材寻题根深度学习悟本质*
——一堂高三试题探究活动课的实录与思考
●任卫兵
(灌南县第二中学,江苏 连云港 222500)
文章通过一道高三模拟试题的讲评,引导学生在复习迎考的过程中重视“回归教材,寻找题根”. 遇到与教材典型例题、习题有关,而又思路不畅的问题时,应及时翻出教材,寻找类似例习题中所蕴涵的丰富的数学思想和方法. 通过回归教材进行内源性地深度学习,感悟数学本质,提升数学素养.
试卷讲评; 回归教材; 深度学习; 数学素养
0 引言
试卷讲评是高三数学复习教学中的一个重要组成部分.它不仅可以检查学生对所学知识的结构的掌握是否完善,分析问题、解决问题、计算能力是否过关,也能发现教师本身在教学中的不足之处,进行自我反思,不断改进教学策略[1].笔者在多年的教学实践中发现试卷讲评课容易出现以下3个问题:
1)忽视学生的主体性.有些教师在讲评课前,忽视学生的课前自我订正和自我反思;讲评课时,教师从头讲到尾,缺少学生的交流与展示,忽视了学生是学习的主体.
2)讲评缺乏针对性.有些教师在讲评课前既不作学生答题情况的统计,也不作错误原因根源的分析.试卷讲评时,学生没搞清的问题一点而过,不需要多讲的地方却花很多的时间,学生只是在机械地记答案,缺乏激情,这样浪费了学生的学习时间也挫伤了学习积极性,收益甚微.
3)缺少方法指导与思维提升.有些教师在讲评课上只是将正确的答案或解法告诉学生,却没有告知学生应从哪几方面进行解题思路的分析、用什么样的思维去思考,更谈不上挖掘试题的根与源、概括题目背后的数学思想方法.
怎样才能提升试卷讲评课的复习效果呢?笔者一直进行着尝试与思考,结合近日的一次模拟考试试题讲评课,整理成文,与同行交流,不当之处敬请指正.
1 课前准备
(2017年5月江苏省苏锡常镇4市高三数学第3次模拟考试第14题)
通过阅卷反馈,本题学生的得分率非常低,48人参加考试,只有1人得分.为了了解学生对本题的主观认识、解题中的思考过程、学生的失分根源,笔者与学生进行了一次课前谈话,分配了学习小组并布置了相关任务:
1)如果这道题目你做出来了,请你还原考试时的解题过程,并谈谈自己的想法;
2)如果你在解题过程中遇到障碍,请从教材中找一个曾经解决过的类似的题目,并尝试解决障碍.
2 课堂实录
师:同学们,模拟试卷第14题我们班的得分率非常低,只有1位同学做对了.下面先请这位做对的同学说一说解题思路.
生1:我是猜的.
师:能猜出正确答案也是一种本事,能说说你是怎么猜的吗?
师:生1是通过“a与2b的轮换对称性”直觉猜测当a=2b时,目标取到最小值.直觉思维体现的也是一种数学素养.但是猜想有可能出现错误,我们可以尝试用其他方法来验证生1的猜测吗?哪位同学有不同的想法?
得
即
ab≥8,
当且仅当ab=8,即a=4,b=2时,上述不等式取到等号.
生3:受生2思路的启发,可以先求a+2b的范围,具体解法如下(思路3):
师:生2、生3都是通过对已知条件进行变形,得到ab=a+2b,在教材中寻找到它的“根”,运用基本不等式求出ab或a+2b的取值范围,再利用基本不等式或者二次函数求得目标式子的最小值.当我们遇到难以解决的问题时,“寻根”很重要.
当且仅当a=2b,即a=4,b=2时,取到等号.
生5:生4的思路4可以改进(思路5):
当且仅当a=2b,即a=4,b=2时,取到等号.
师:很好!生4和生5找到了本题的第二个“根”,考虑“1的代换”,但是怎么想到“分式乘以12”的呢?
生5:为了构造齐次式,以实现基本不等式“二定”这个条件.
当且仅当a=b时取到等号.具体解法如下(思路6):
从而
于是
当且仅当a=2b,即a=4,b=2时,取到等号.
从而
当且仅当m=n,即a=4,b=2时,取到等号.
由ab-a-2b=0,得
当且仅当a=4,b=2时,取到等号.
生10:生9的解法也可以这样处理(思路10):
当且仅当a=4,b=2时,取到等号.
生11:我用消元法消去字母a(思路11):
由ab-a-2b=0,得
令b-1=m,则b=m+1,从而
当且仅当m=1,即a=4,b=2时,取到等号.
师:生9、生10、生11都由教材得到本题的第4个“根”,然后用消元法将双变量问题转化为单变量问题,再利用基本不等式和权方和不等式求得最小值.还有其他想法吗?
生12:我想起第二次模拟考试第14题用到的“切线放缩法”(思路12):
a+2b≥8,
所以
2a+4b-9≥2×8-9=7,
当且仅当a=4,b=2时,取到等号.
生13:我用的是“切线放缩法”加“1的代换”(思路13):
2a+4b-9=
当且仅当a=4,b=2时,取到等号.
师:生12和生13联想到第二次模拟考试第14题,利用“切线放缩法”将二次式放缩为一次式,进而利用“基本不等式”或“1的代换”求得最小值.
生14:本题的目标是求最小值,而我们常利用导数研究函数的最值(思路14):
先消元:由ab-a-2b=0,得
令f′(a)=0,得a=0(舍去)或a=4.当a∈(2,4)时,f′(a)<0,f(a)单调递减;当a∈(4,+∞)时,f′(a)>0,f(a)单调递增,从而
f(a)min=f(4)=7,
此时a=4,b=2.
师:生14是从本题的目标入手,寻找到了本题的第5个“根”:求最值.想到消元,构造新函数,用导数这个工具来求函数的最小值,非常巧妙.通过上面的分析,你能学到些什么呢?
生15:当我们遇到一个难以下手的题目时,首先要分析题目的条件,看看条件可以如何转化;其次再分析题目的所求,看看有什么相应的方法;再分析本题所考查知识点所属的模块,联想本知识点常用的解题思路和方法.
师:一位苏联数学家说过:解题——意味着将要解的问题转化为已经解过的问题.生15总结得非常好,当拿到一个较难的题目时,我们可以从3个角度进行思考:条件、目标、所属知识模块,最终都将回到我们曾经解答过的问题,尤其是熟悉的教材、练习册以及考试做过的题目等等.“条条大路通罗马”,只要我们不气不馁,回归教材,总能寻找到题目的“根”,从而找到解决问题的方法.
师:最后给同学们准备了几道题供课后去思考.相信同学们通过今天的探究活动,会有更多的收获.
课后思考题:
4.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,求(am+bn)(bm+an)的最小值.
3 课后反思
3.1 回归教材寻题根
回归教材怎么回?教材是考试内容的具体化,是高考试题的主要来源之一,由针对性原则可知,回归教材是提升复习效率的有效手段[2].很多学校都是在高考前留两周的时间,教师跟学生一起翻教材、看例题和习题.这样的回归教材是低效的,笔者认为回归教材应该贯穿在整个高三复习的始终.在复习的过程中,一旦遇到与教材典型例习题有关,而学生又掌握不佳的问题时,就应该翻出教材,及时发现教材例习题中所蕴涵的丰富的数学思想和数学方法.要探究试题与教材例习题的结合点,善于在教材中寻找试题的原型,通过分解、整合、拓展,引导学生在变化中发现不变的规律,避免学生机械重复.一些看似平淡无奇的习题,也许有着意想不到的功能,教材中的习题若仅停留在它的表面,而不探究它的本质,则会失去习题的内涵与新意,也会失去提升学生学习能力的良机,不利于教学的开展与深入.
题根是什么?题根就是那些源于基础又高于基础,提炼于解题实践又能广泛用于解题实践的结论、习题、例题、各类试题[3].通过对题根的挖掘和思考,可以清楚地掌握基本知识和方法,领悟数学问题的本质,从而有助于脱离“茫茫题海”,“一题可破万题山”.在平时的解题训练中,若能重视题根及其应用,则能举一反三,跳出题海,并提高解题能力.著名数学家苏步青曾说:“学习数学要多做习题,边做边思索.先知其然,然后知其所以然.”教师要在平时的教学中重视教材,教材中有大量值得教师与学生一起探究与学习的材料(包括题根),教师应充分利用这些资源,引领学生进行探究,做到触类旁通、心中有数,激发学生的学习兴趣,使学生在探究中提高基本技能.
3.2 深度学习悟本质
深度学习是学生源于自身内部动机,对有价值的学习内容展开的完整的、准确的、丰富的、深刻的学习.它是一种有意义的学习,要求学生的学习不是单纯的接受,而是在发现基础上的同化;它也是一种理解性的学习,重在引导学生通过深切的体验和深入的思考,达成对学科本质和知识意义的理解渗透[4].深度学习提倡将新知识与已知概念和原理联系起来,整合到原有的认知结构中,从而引起对新的知识信息的理解、长期保持及迁移应用[5].深度学习是内源性的学习,让学生积极主动地参与到课堂教学活动中,学生的学习才有可能是有深度的,也只有学生深度学习,才可能促进学生发展核心素养.准确把握学情和深刻解读教材就显得尤为重要,因为它们是引导深度学习的基点.
德国教育家第斯多惠指出:“不好的老师转述真理,好的老师教学生去发现真理.”有效的教学活动应该引导学生通过动手实践、自主探索,达到叶圣陶所说的“教是为了不教”的境界,最终的目的是使学生感悟数学的精髓,培养学生分析问题和解决问题的能力.
[1] 谢永广.试卷讲评课的教学思考[J].中学数学,2017(4):20-22.
[2] 刘国祥.探究·溯源·拓展·启迪[J].中国数学教育,2017(3):51-53;56.
[3] 蓝云波.两道试题,同一题根[J].数学通讯,2015(12):30-32.
[4] 贺慧.回归课堂原点的深度学习论[J].基础教育课程,2015(12):8-13.
[5] 安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法,2014(11):57-62.
2017-09-10
任卫兵(1983-),男,江苏连云港人,中学一级教师.研究方向:数学教育.
O122. 1
A
1003 - 6407(2017)11-19-05