案例法在微积分教学中的应用

赵彦勇　刘原

摘 要 本文研究了案例法在“微积分”教学中应用的作用和意义，指出了微积分教学中案例选择的四个要求，以及采用案例法在微积分教学中实施的四个步骤。在微积分的教学中采用案例教学法能很好地调动学生的学习积极性和主动求知欲，让学生在轻松愉悦的环境中最大限度地获取知识，培养数学思维和数学意识。

关键词 微积分 案例法 选择 实施

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.09.046

Abstract This paper studies the case teaching method in "calculus" teaching function and significance of the application. It points out the case teaching method choose four requirements in calculus teaching and the implementation of four steps in the case method in the calculus teaching. Using case teaching method in the teaching of calculus can be a very good way to mobilize students' learning enthusiasm and the initiative intellectual curiosity. It can make the student relax and pleasant environment to maximize access to knowledge， and train their consciousness of mathematical thinking and mathematics.

Keywords calculus； case teaching method； choice； implementation

0 引言

微積分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）以及有关概念和应用的数学分支，它是解决变量问题的数学，是数学学科中的一个基础学科。[1]微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微积分的教学肩负着激发学生数学学习兴趣、培养学生数学素养、为其它后续课程打好基础的重任。在微积分的教学过程中，课堂教学尤为重要，教师如何充分地利用课堂时间，最大限度地激励学生的学习兴趣，更好地传授知识取决于教师的上课模式。

在传统的教学方法中，教师扮演着传授知识者的角色，教师上课往往以讲授为主，教学方式简单，课堂容量大，但是，这种方法无法最大程度地激发学生的学习兴趣，不利于知识的传授，学生对所学的内容也是一知半解。因此，我们在微积分的教学中尝试使用案例教学法。案例教学法是一种以案例为基础的教学法（case-based teaching），案例实际上是在课堂中展现一种教育的两难情境，没有明确的解决问题的办法和思路，教师在课堂中作为引导者积极鼓励学生勇于参与讨论，表达自己的观点和想法，教师与学生共同思考找到解决问题的思路和办法。1920年代，美国哈佛商学院倡导采用案例教学法教学，以商业管理的真实情境或事件为教学案例，这种教学方法能有效地培养学生主动参与课堂讨论的积极性，激发学生的学习兴趣。实施之后，颇具成效。直到1980年代，案例教学法才受到教育界广泛的认同和重视，特别地，1986年在美国卡内基小组提出的《准备就绪的国家：二十一世纪的教师》的报告书中，特别强调案例教学法在师资培育课程中的价值，并将案例教学法视为一种十分有效的教学模式进行推广。1990年代以后国内教育界开始尝试和探究案例教学法，至今，案例教学法在现代教学中得到了广泛的认可并推从。

1作用

在微积分教学中应用案例法是把典型的实际问题展示在学生面前，让学生独立地去思考、分析并进行讨论，它主要起到三方面的作用：激发学生的学习兴趣、调动学生学习的主动性；培养学生分析问题和解决问题的能力；理论与应用相结合，缩小理论与实际的距离。实践证明，运用“案例法”能收到良好的教学效果。

1.1 激发学生的学习兴趣、调动学生学习的主动性

微积分的教学理论性强、方法复杂多变，单凭老师上课的讲解难免让学生觉得枯燥无味，难以调动学生学习的积极性。而通过案例教学可以提供实际案例由简单到复杂，让学生身临其境主动去思考解决问题的办法。同时在教师的引导下，让学生积极大胆地参与讨论，发表自己的看法和思路，在轻松和谐的课堂氛围中，加深对所学知识的理解，很好地激发了学生的求知欲，调动了学生学习的主动性，教师只是作为引导者参与讨论，在必要的时候对学生的观点提出建议。

1.2培养学生分析问题和解决问题的能力

在微积分的案例教学中，学生需要独立参与并对案例进行分析和讨论，这就为提高学生分析问题和解决问题的能力创造了良好的条件，例如在讲授数列极限时引入巴菲特的投资分析：巴菲特以价值投资著称，收益稳定，年平均投资收益率约为24%。假设他每年收益率为24%，若投入100万美元，提问学生，（1） 一年后，资产是多少？（2） 两年后，资产是多少？（3） n年后，资产是多少？让学生独立思考后展开讨论，这样会大大地增强教学实效性，加深学生对概念的理解和认识，提高教学效果。有时学生的观点和想法还会出于教师的意料之外。

1.3理论与应用相结合，缩小理论与实际的距离

案例是现实问题的缩影，将现实问题带入课堂，让学生感受到实际的应用，微积分不再是复杂的微分和积分，不再是各种复杂的符号和公式，而是解决生活中遇到的实际问题的工具，我们学习微积分的目的不再是去计算得到具体的答案，而是将理论知识转换成应用，通过现实中的典型问题，让学生进入典型案例情景，设身处地地去分析问题，为学生提供一种不用真正身临其境地深入到实践，但却能处理大量典型实际问题的机会，缩短理论与实际的距离。endprint

2微积分教学中案例选择的要求

在微积分的教学中选择案例时首先要注意选取与微积分有关的案例，具体要做到以下几点：

（1）具有明确的目的性。我们在选取案例时是为了解决微积分中的某个知识点，一定要围绕这个知识点去选取合适的案例，例如上文中提到的，为了引出函数的极限我们引入巴菲特的投资分析。

（2）具有较强的趣味性。案例教学法的主要特点就是通过具有趣味性的案例和教学激发学生的学习兴趣，通过具有趣味性的案例将学生的思维带入另一个场景，而不是面对枯燥乏味的课堂绞尽脑汁地思考和计算。所以，我们在案例的选取时会选用趣味性较强的案例来吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，将知识融入案例，让学生在轻松愉悦的环境下获取知识、开发潜能。

（3）具有真实性和实用性。微积分的学习往往比较枯燥乏味，在案例选取时注重真实性和实用性，让学生运用知识解决现实生活中遇到的问题，很大程度上调动了学生学习的积极性。例如在讲授导数时可引入变速直线运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，在讲授定积分时可从曲边梯形面积导入。这样更具有直观性、真实性。学生既容易接受又容易理解。

（4）具有典型性。所选取的案例应该是学生平时有所了解但是又了解不深的普遍问题，这样学生就比较有兴趣去深入钻研，例如我们在讲授函数极限与最值时通常选取一个典型案例就是易拉罐设计问题。学生都喝过圆柱形易拉罐饮料，如百事可乐、王老吉等，假设要设计一个容积固定的圆柱形容器，其中顶面是其他面厚度的三倍，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？当容器所有面厚度一样，问题又会怎样呢？通过这些典型的案例讨论分析，学生学习兴趣更大，主动性更强。

3案例教学法在微积分教学中的实施

3.1选择案例

教师在课前应做好充分的准备，结合《微积分》课本中重要的知识点，选取具有趣味性、真实性、实用性和典型性的案例在恰当的时候提出问题，让学生主动思考，互相讨论解决问题，从而在教师的引导下理解所学知识点。在案例选择时首先选择进入课本内容之前的案例，从实际出发，以问题引导，突出探究；然后选择进入课本时的案例，在讲解完基础知识之后，引入适当的案例，让学生应用所学知识解决案例中提出的问题，增强学生的成就感，提升学生的学习兴趣。

3.2分析案例

在学生理解案例所提出的问题的基础上，教师引导学生如何分析案例，同时，教师也可以让学生独立思考之后进行分组讨论，然后每个小组各派代表表述本组观点，期间可以由教师对各组观点进行指正或者也可以由其他小组发表不同的意见，最后在讨论中大家达成一致，共同完成对案例的分析。让每个学生都参与到课堂讨论中，主动思考，积极表现，在分析案例的同时开拓思维，增长求知欲。

3.3解决案例

通过学生对案例的充分讨论与分析，教师引导学生如何去解决问题是案例教学法的关键一步，教师应当从案例分析中过渡到运用理论知识解决问题。在循循善诱的引导下讓学生自主思考解决问题的办法，学生各抒己见，大家互相讨论指正。让学生自主归纳出解决问题的思路和方法，建立数学模型并求解。最后教师对学生的方法进行点评和补充，使学生在实际问题中解决了问题，提高了学习积极性并受到了启发，大大提高了学生的学习激情。

3.4案例的小结与推广

案例的小结与推广是案例教学法中最后一步，也是重要的一步。在解决某一实际案例的基础上，教师可以提出多个解决此案例的方法让同学们进行思考与讨论。在大家的互动中比较各种方法的优点和缺点，归纳出这些方法的适用类型和特点。让学生在轻松的环境下更加深刻地理解所学知识。最后，教师再列举出相关案例让学生自己动手解决，举一反三巩固所学知识，同时也提高了学生解决实际问题的能力。

总之，充分利用课堂时间，让学生增长知识一直是教师的职责。在微积分的教学中采用案例教学法可以将抽象的理论知识转化为实际应用的需要，将枯燥乏味的数学公式变成解决问题的工具，很好地调动学生的学习积极性和主动求知欲，让学生在轻松愉悦的环境中最大限度地获取知识，培养数学思维和数学意识。

参考文献

[1] Thomas G B，Weir M D， Hass J， et al. Thomas' Calculus Early Transcendentals[M].Pearson，2010.endprint