高中数学解题与化归思想运用分析

山东省实验中学 陈洪泽

高中数学解题与化归思想运用分析

山东省实验中学 陈洪泽

高中数学学习存在较大的困难，在解题过程中不可避免地会遇到多种问题，而重重难题的阻挡也使得许多学生逐渐丧失了学习的信心和主动性。因此，只有将相关问题一一解决，才能够收获更好的学习成效。数学知识非常丰富，相关的题目也是类型各异，所以只有掌握正确的解题思想，即化归思想，才能够顺利将其解决。本文针对高中数学解题与化归思想的运用展开分析和探讨，根据实际的数学问题加以深入剖析，从而对该思想在高中数学学习中的重要性进行良好阐释。

高中数学解题；化归思想；运用

将化归思想灵活地运用于高中数学学习的过程中，不但能够使许多难题迎刃而解，使复杂的问题变得简单，而且可以大大提升解题速度与答案的正确率，同时还可使学生收获成功的喜悦，并且还可锻炼其思维能力，使其在面对问题的时候变得轻松自如。

一、化归思想概述

1.内涵

化归思想具体指的是在数学学习期间，使一些具有较高复杂度的问题变得简单化，使难以正确理解的问题变得容易理解，能够使解答正确率及速度都大大提升。在对数学问题进行解决的过程中，倘若能够将该思想加以灵活应用，那么学生自身的思维能力将会得到锻炼和提高。在解答数学题目的过程中，该思想主要表现在把多元问题转化分解成多个一元问题，或者把一些问题从高维转变为低维，把立体图形转化成平面图形。不同于初中数学，高中数学更加倾向于开拓数学思维以及应用数学方法。因此，将该思想运用于高中数学解题当中极为关键，同时也有助于学生数学综合素养的提升。

2.重要性

化归思想是一种应用频率较高的数学思维方式，其涉及面极为广阔。究其根本，是因为其更加重视遇到繁杂度较高的问题时的具体转化及改变，将复杂变为简单，将多元变为一元。换言之，就是通过化归思想把新知识转化成已经学习过并且熟练掌握的内容。可见，该思想在高中数学学习中十分关键。高中生在学习期间应当主动养成相应的思维方式习惯，积极运用上述思想对数学题目进行解答，锻炼将复杂问题简单化，将未知条件逐渐转变为已知条件，将新内容内化成已牢牢掌握的旧内容的能力，进而在处理数学题目时获取更高的成效。

3.形式

化归思想的形式主要有两种：其一，将问题从多元转化为一元。倘若某个数学题目中存在多个未知数，那么就可借助代入法把多元方程变成一元方程，如此一来，问题的计算即可变得清晰明了；其二，从高次式转变成低次式。我们在面对数学题目时，常常会遇到难以处理的高次式问题，此时只需将次式降低，即可使问题得到圆满解决。除此之外，该思想还可在许多数学问题中加以运用。简单来说，在解答高中数学题目的时候，如果能够对化归思想进行有效运用，那么不但能够使问题的难度降低，而且有助于促进我们数学思维的发散以及综合能力的提升。

二、高中数学解题中对化归思想的运用

1.将不等式转化成等式

在高中数学学习当中，不等式是一个基础性的关键知识，同时也是历年考核的重点题目。许多高考习题都是将对该知识点的考查融合到函数方程当中，从而使其组成一个具有较高复杂度的综合性题目。然而，此类题目不同于我们以往学习的单一知识点的叠加，而是更加倾向于对相关知识内容的综合全面考查。在处理此类题目的时候，应当先将其分割成多个不一样的知识点，然后一个一个分析解决。在此期间都能够对化归思想加以应用，从而使繁杂的题目变得清晰明了，足够简单。譬如，在解答不等式问题的时候，借助等式知识来进行分析，使问题的难度有效减小，解题思维更加清晰，解答更加高效便捷。以下通过实例进行详细探讨。

题目1：假设不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤2｝，则实数k的值为？

在解答此题目的时候应该进行以下思考：针对不等式的解集题目，将端点值代入之后等号得以成立，所以题目解答的思路瞬间清晰，即1与3分别是方程|kx-4|=2的两根，则可得出|k-4|＝2，|3k-4|＝2，从而可以得出k为2。对此类题目进行解答的时候只需做一个转化，即将不等式变成等式，不管问题的复杂度有多高，都会快速找出正确答案。

就题目1 而言，通过细致地观察和认真地思考，开展条件的转化，从而产生全新的联想，在解决不等式问题的时候选择借助证明等式的数学思维方式，即可使我们的分析能力及数学综合能力大幅提升。另外有一点必须引起重视，即解答题目并非根本目的，将化归思想及其相关方法加以掌握才是真正的目的。

2.在等差数列中运用化归思想

几乎每年的高考题目当中都包括数列问题，因此在学习高中数学的时候，应将其作为重中之重。等差与等比数列的根本性知识，常常是需要求出数列的通项以及前n项和，而获取相应的通项公式则是解答此类题目的关键所在。近几年，高考题中也不乏借助递推公式来得出该公式的题目类型。在现实的习题训练当中，可以发现此类题目资源十分丰富，而与其相对应的解答方式也种类多样。在仔细观察和深入分析之后，可以发现此类题目常常可以转化成等差数列问题，数学化归思想方法也因此而得到体现。

数学课本里借助叠加法获取了等差数列通项公式的证明方式，然而考试中却常常以an-an-1=f(n)相近的递推公式出现。在解答此类问题的时候也可利用叠加法加以处理。以下举例说明。

题目2：已知a1=1, an-an-1=n-1，求an。

针对该题目，从题干中可以找出已知条件，发现其属于相对简单的等差数列，所以我们采用叠加法来加以解答，具体如下：由于a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，上述式子相加之后得出 an-an-1=1+2+3+…+(n-1),所以 an=(n2-n+2)/2。

在采用叠加法处理此类问题的时候，通常具有两个特点：第一，等式右边的求和更方便、更简单；第二，叠加之后等式左边可进行错项消除来化繁为简。

3.数学函数中静态与动态的互相转化

高中数学函数是现实生活里两个变量间的关系的反映，在解答相关题目的过程中，我们可有效借助运动与变化的思想来对现实生活中相关问题量的依存关系加以剖析与讨论，将与数学无关的内容抛除在外，使数学特色变得具有抽象性，借助函数方式使上述关系反映出来。如此，原本具有静态特性的量变成了动态，借助函数运动的单调性的基本特点来将问题层层处理，静态与动态的转化得以实现。在高中数学学习期间，我们经常会用到该方法，以下举例说明。

总之，在解答高中数学题期间，合理运用化归思想非常关键。将其运用于题目当中，不但可以使我们快速将具有较高复杂度的问题转化为简单、易于理解的问题，而且还可锻炼数学思维能力。我们在学习高中数学知识期间，必须培养化归思想意识，并且将其灵活运用于各种各样的数学题目当中，只有这样，才可以快速解答出问题的正确答案，也只有这样，我们的数学思维才可得到真正的锻炼，数学综合素养才会得到真正的提升，而所有的数学问题也会迎刃而解，同时也不会再将数学视为一个枯燥、繁杂的学习科目。

[1]靳世杰.高中数学化归思想教学之我见[J].数学学习与研究，2014（17）.

[2]舒镜霖.化归思想在高中数学解题中的应用研究[J].数理化解题研究，2016（9）.

[3]吴明志.试析解决三类函数体的桥梁——化归思想[J].中学教育，2016（01）.