基于灰色算子的分形法及应用

周伟杰，党耀国，顾荣宝

(1.常州大学商学院，江苏 常州 213164； 2.南京航天航空大学经济与管理学院，江苏 南京 211106;3.南京财经大学金融学院，江苏 南京 210046)

基于灰色算子的分形法及应用

周伟杰1，党耀国2，顾荣宝3

(1.常州大学商学院，江苏 常州 213164； 2.南京航天航空大学经济与管理学院，江苏 南京 211106;3.南京财经大学金融学院，江苏 南京 210046)

在灰色缓冲算子和灰色调整系数的框架下，构造灰色算子，提出了权重可调的加权移动平均去趋势法，进一步将其拓广为多重分形加权移动平均去趋势法。算法表明原有的移动平均去趋势法及其多重分形形式分别是加权移动平均去趋势法及其多重分形的特例。用带波动和线性趋势的分形高斯噪声与二项式多重分形进行数值模拟，表明权重为6的中心加权移动平均去趋势法及其多重分形能有效地去除序列趋势，计算出的Hurst值和多重分形谱f()比原有算法更接近真值。将权重为6的中心加权移动平均去趋势法及其多重分形分析南京市气温序列的长记忆性与多重分形性，结果表明从1951-2008年，七月份气温增速要明显小于一月份的增速，一月份和七月份气温都存在长记忆性，但七月份气温序列的长记忆性要高于一月份，表明一月份和七月份气温序列均可预测，七月份的可预测性更高些，这为通过预测对气温灾害风险防范提供了可行性；此外，一月份、七月份的气温序列均有多重分形性，说明可从多标度角度对其建模分析。

灰色算子；加权移动平均去趋势法；多重分形加权移动平均去趋势法；长记忆性

1 引言

分形特征和长记忆性普遍存在于自然界和社会科学中[1-2]。计算单分形和多重分形的方法有很多，比如结构函数法、去趋势波动法(Detrended Fluctuation Analysis,简记为DFA)、配分函数法、小波领袖多重分形法等[3-4]。英国水文学家Hurst提出的重标极差R/S分析法是研究时间序列分形特征最基本的方法[5]，然而经典的R/S分析难以区分短期和长期记忆性[6]。Peng 等在研究DNA分子链内部相关性时提出的去趋势波动法(DFA)[7]，与R/S分析法相比，它更具有稳健性[8]。DFA及其多重分形去趋势波动法(Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，简记为MFDFA)已被用于生物、医学、自然、地质、水文、气候、金融等序列的结构分析中[9]。最近，Alessio等[11]将Vandewalle 和Ausloos[10]提出的移动平均技术进行了推广，提出了移动平均去趋势法(Detrended Moving Average，简称DMA法)，由于DMA可以在无任何假定条件下处理非平稳信号的长记忆性(相关性)，已在实际序列中得到广泛应用[12-14]。进一步的数值模拟表明DMA算法在某些方面要优于DFA算法[15-16]。在DMA的基础上，Gu 和Zhou提出多重分形移动平均去趋势法(Multifractal Detrended Moving Average, 简记为MFDMA)，数值模拟结果表明，MFDMA在多重分形分析方面要优于多重分形去趋势波动法[17]。

DMA算法在计算时间序列{x(t)}某点x(t0)的趋势时采用均值化算子，即取x(t0)周围s个点平均值作为x(t0)的趋势。然而，在实际生活中时间序列各点之间是相互联系的，与x(t0)相近点的关联性一般要大于远离x(t0)的点。根据这一原则，在计算某点的趋势时应该给予邻近点更大的权重，为此可以构造加权去趋势算子。由刘思峰[18]提出的灰色缓冲算子从把握真实行为序列的变化规律出发，弱化冲击扰动因素，光滑原始序列，使时间序列的预测精确性得到进一步提高。如刘以安等[19]利用灰色缓冲算子提高了雷达系统的跟踪精度。吴正朋等[20]构造一类新弱化灰色算子，使模型精度得到提高。此外，灰色系统理论中灰类调整系数具有邻近某个灰类其权重较大的特点[21]。因此，本文借鉴缓冲算子能析出序列变化趋势及灰类调整系数能区分因素重要性的特点，先将灰色缓冲算子与灰色调整系数结合构造出灰色算子，进而提出权重可调的加权移动平均去趋势法(Detrended Weighted Moving Average，简记为DWMA)，用于计算时间序列的长记忆性，即Hurst指数，简记为H。进一步将DWMA拓展为多重分形形式(Multifractal Weighted Detrended Moving Average，简记为MFDWMA)。类似Peng等[7]的做法，通过数值模拟，来检验加权移动平均去趋势法的效果。

在实证部分，将上述模型用于分析南京市气温序列的长记忆性。气温与人们社会生产生活息息相关，特别是高温、低温气候会影响到工业生产以及农作物生长等，因此对气温变化规律的把握可以减少灾害，防范风险。由于影响气温的因素有很多，促成气温是一个复杂的非线性系统，利用一般的线性模型(例如Auto Regressive Moving Average模型，简记ARMA)难以深入研究气温的结构特征。而Madbollettt提出的分形技术，通过消除序列的趋势性来研究序列内部的相关性，可应用于非线性学科的分析研究中。如王鹏和袁小丽[22]基于金融资产多重分形特征提出的多标度分形非对称测度，能提高VaR精度。Kalamaras等[23]利用多重分形法分析了希腊克里特岛日气温序列，表明序列具有长记忆和多重分形性。Mali[24]利用MFDFA法研究了1850-2012年全球月度气温序列，结果表明气温序列的长记忆性以及分布特征是其产生多重分形性的主要原因，序列的多重分形可用二项式多重分形拟合。根据Pincus和Kalman[25]对长记忆与近似熵关系的研究，序列的长记忆性越强，其可预测性也越强。故整确探测出序列的长记忆性是建模预测的基础。本文利用DWMA和MFDWMA法，以南京市一月份和七月份气温为研究对象，分析其长记忆性和多重分形性，并与DMA和MFDMA算法比较，检验新算法的有效性。

2 加权移动平均去趋势法(DWMA)

2.1移动平均去趋势法(DMA)

步骤1. 设{x(t)}为一时间序列，t=1,2,…,N,

(1)

步骤2.计算移动平均趋势：

(2)

步骤3.计算序列残差：

(3)

(4)

F(s)∝sH,

(5)

对式(5)两边取对数，通过最小二乘拟合可计算H值，显然，F(s)与s之间的幂律性越好，则lnF(s)与lns的线性性也好，这样计算出的H值也更具有可信性。一般而言，H∈[0,1],当H=0.5时，时间序列中不存在相关性。当H≠0.5时，序列存在长记忆性，序列之前变动趋势会影响以后走势；0

2.2灰色算子

DMA算法在计算x(t0)点的趋势时，采用均值化算子，而在实际中，时间序列的发展具有内在联系性，与x(t0)邻近点的变化趋势对x(t0)的影响要比远离x(t0)点更加重要。为此，建立加权移动平均去趋势法，图1表示DWMA构建路线图。

图1 加权移动去趋势构建路线图

定义 1[21]设X为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d),称D为序列算子，XD为一阶算子作用序列。

定义 2[21]称满足不动点、信息充分利用、解析化和规范化三公理的序列算子为缓冲算子。

定义 3[21]设有s个不同的决策灰类，令

(6)

定义4 设{x(t)}为一时间序列，t=1,2,…,N。

当θ=0时，t=1,2,…,N-s+1,令：

(7)

(8)

(9)

性质 1当λ>0时，x(t0)邻近点在算子中的权重大于远离x(t0)的点，即：

当λ<0时，则情况相反。

性质 3 当λ=0时，均值化算子是灰色趋势算子的特例。

2.3加权移动平均去趋势法(DWMA)

2.4数值模拟

在数值模拟部分，通过小波变换随机产生长度为10000，H=0.1、H=0.3、H=0.5、H=0.7和H=0.9的分形高斯噪声(Fractional Gaussian Noise，简记为FGN)，同时加入人工波动趋势s=0.01sin(2πt/10000)和线性趋势l=0.000005t(t=1:10000)，用以检验DWMA的效果以及λ取值对H值的精度影响。图2为含趋势的分形高斯噪声。在数值模拟中，先取λ=0,1,2,…,20对1000条分形高斯噪声进行了模拟，发现计算出H的精度呈U型，λ=6时精度最高，这与性质2中λ取值不宜过大是一致的。为了节省空间和讨论方便，没有给出全部结果(如需要，可与作者联系)，只取λ=6的DWMA与 DMA(即DWMA(λ=0))算法进行比较。此外，主要考虑向后、中心、向前加权移动去趋势算法，即θ=1、θ=0.5、θ=0。标度s的范围取为10∶2000。在模拟中，λ=6、θ=0.5时的DWMA去趋势效果较好，计算精度也较优。为了能清楚地表示出加权移动平均去趋势法效果，给出了中心DWMA (θ=0.5)，权重调整系数λ=0和6时标度s和波动函数F(s)双对数图，见图3。对于其它λ和θ值的双对数图在此省略。

图2 带趋势分形噪声H=0.9 (a)无趋势 (b)波动趋势 (c)线性趋势

图3 趋势下s和F(s)的双对数图(a) λ=0, θ=0.5 (b) λ=6, θ=0.5 (c) λ=0, θ=0.5 (d) λ=6, θ=0.5

对于DMA算法，从图3(a)和(b)可以看出，在s=1000处出现交叉现象，这是由于在进行数值模拟时，时间序列中加入了波动和线性趋势，根据文献[7]，趋势和带噪信号之间的竞争导致双标度的产生；对于λ=6的DWMA，图3(c)和(d)标度s和波动函数F(s)的双对数图几乎成一条直线，从而说明DMA可能并没有完全或者只是去除部分趋势，而λ=6时的中心DWMA去趋势效果较好，能控制标度较大时标度和波动函数之间的幂律性。为了检验中心DWMA计算H值的精度性，记数值模拟出的Hurst值为h，结果见表1。

表1 带趋势分形噪声模拟的h值

从表1可以看出，若权重调整系数λ不变，中心DWMA (θ=0.5)所计算出的h值与真值H比较接近。当H≤0.5时，无论在波动趋势或是线性趋势下，向后(θ=1)、向前(θ=0) DWMA计算出的h值比H>0.5时更远离真实值；甚至对于H=0.1、H=0.3计算出的结果基本不可信。若位置参数θ不变，除了在波动趋势下H=0.3和H=0.5时，由DWMA (λ=6)计算的h值比DMA(即DWMA(λ=0))法更远离真实值，其余均优于DMA法。因此，总的来说，取λ=6,θ=0.5时的DWMA法模拟出的h值与真值更接近，去趋势效果也较好，可用于时间序列分析中。

3 多重分形加权移动平均去趋势法(MFDWMA)

将加权移动平均去趋势法(DWMA)中的均方根波动函数F(s)拓展为q阶波动函数Fq(s),可得到DWMA的多重分形形式——多重分形加权移动平均去趋势法(MFDWMA)，算法的步骤1～4与DWMA相同，步骤5～步骤6为：

步骤 5.计算q阶波动函数：

(10)

(11)

步骤 6.对于不同标度s,若F(s)与s之间存在幂律性，则有：

Fq(s)∝sh(q),

(12)

对式(12)两边取对数，通过最小二乘拟合可计算h(q)值。时间序列的多重分形性可通过分析广义Hurst指数h(q)与q的依存关系来判断。由式(12)构造标度指数τ(q)：

τ(q)=qh(q)-1,

(13)

若标度指数τ(q)为q的非线性函数，则时间序列具有多重分形性。通过勒让德变换，可计算多重分形两个最重要的参数，奇异指数α和多重分形谱f(α)：

α(q)=h(q)+qh′(q),

(14)

f(α)=q[α-h(q)]+1

(15)

奇异指数α(q)和多重分形谱f(α)描述了时间序列的奇异程度。根据MFDWMA的构造来看，原有的多重分形移动平均去趋势波动(MFDMA)是其λ=0时的特例。利用二项式多重分形x(k)=an(k-1)(1-a)nmax-n(k-1),k=1,2,…,T,T=2nmax,nmax=10,对新算法进行数值模拟。同时为了比较MFDMA与MFDWMA去趋势效果，在二项式多重分形中加入波动趋势0.0001sin(2π(1:1024)/1024)和线性趋势0.000005(1∶1024),见图4。α(q)和f(q)的解析值见文献[17]。

在分析MFDMA和MFDWMA去趋势效果和计算多重分形参数精度时，类似于分析DWMA算法精度，也采用向后(θ=0)、中心(θ=0.5)、向前(θ=1)三种位置参数来分析。在对权重系数λ选取时，发现λ∈[5,10]时，MFDWMA求解的多重分形参数值较为精确，限于篇幅，暂未给出(若需要，可联系作者)。由于有时需要同时对金融时间序列的单分形和多重分形进行分析，DWMA在计算序列单分形时候取λ=6，因此为了计算的方便性，在利用MFDWMA计算序列多重分形时，也取λ=6。

图4 二项式多重分形及其加波动和线性趋势后的二项式多重分形

图5 MFDMA和MFDWMA的去趋势波动函数图

图5为去趋势波动函数Fq(s)与标度s之间的双对数图，可以看出，无论对于加入波动或是线性趋势的二项式多重分形，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)计算出的波动函数lnFq(s)与标度lns的线性性(相应于Fq(s)与s之间的幂律性)要好于MFDMA(θ=0.5)，这样计算出的H(q)也更具可信性。对于向后(θ=0)、向前(θ=1)也发现具有类似特征，限于篇幅，暂未给出(若需要，可联系作者)。图6为加入波动趋势和线性趋势的二项式多重分形谱，α和f(α)为多重分形参数。图6(a)和(b)中不带符号的黑色实线为加趋势前的二项式多重分形谱解析值，可看出无论是加入波动趋势或是线性趋势，在MFDWMA(λ=6，θ=0.5)计算下的多重分形谱，即带菱形符号的墨绿色实线与解析值最为接近。同时，总的来说，相应于三种不同位置参数的MFDMA和MFDWMA(λ=6)，MFDWMA(λ=6)计算出的多重分形比MFDMA更接近解析值。因此，考虑序列内部相互关系的MFDWMA在计算多重分形时更有优势，MFDWMA(λ=6，θ=0.5)和DWMA(λ=6，θ=0.5)在计算序列单分形和多重分形是较为理想的算法。

4 实证分析

在实证部分，分析南京市气温序列的长记忆与多重分形性。南京市地处长江中下游流域，江苏省西南部，处在亚热带季风区域，湿度大、夏季受欧亚大陆低气压影响，雨水充沛、较为炎热，并且持续的时间较长，冬季受欧亚大陆气团影响较大，比较寒冷、干燥，是典型的内丘陵气候，与武汉、 南昌、重庆并称为中国的“四大火炉”。表2为南京市1951-2008年一月份和七月份的气温序列统计表。一月最高温、最低温、平均温表示1951-2008年一月份每日最高气温、最低气温、平均气温组成的序列，每条序列长度均为1798个。七月最高温、最低温、平均温的表示含义和一月份相同。从表中可以看出，南京市一月份气温的最大值、最小值分别为21℃、-14℃，二者相差35℃，平均气温为2.31℃。七月份气温的最大值、最小值分别为39.7℃、16.8℃，二者相差22.9℃，平均温度为28.06℃。偏度系数除一月份最高温其余5条序列均为负数，说明在这些序列的分布具有左偏性，序列中气温处于高位的情形较少。从正态性检验(JB)来看，序列的分布均不服从正态分布。单位根检验(ADF和PP)表明一月份气温序列是平稳的，七月份序列具有非平稳性。图7为南京市1951-2008年一月份和七月份气温的日数据和年平均数据序列，图中虚线为线性趋势线。图7.a1、a2、a3、c1、c2、c3表示南京市1951-2008年一月份日最高、日最低、日平均气温和七月份日最高、日最低、日平均气温序列。从各个子图的线性趋势线来看，其斜率均为正数，表明南京市气温在一月份、七月份气温总体呈上升趋势，但对于日数据来说，上升变化是很微弱的。为了更清楚地反映上升趋势的强度，在图7.b1、b2、b3、d1、d2、d3中分别做出一月份、七月份最高气温、最低气温、平均温度的年平均序列图(共有58个数据)，及其线性趋势线。从中可以看出，南京市1951-2008年一月份的年平均最高气温、最低气温、平均气温的增幅分别为0.14℃ /10a，0.3℃ /10a，0.2℃ /10a，表明在一月份，南京市最高气温每10年增长0.14℃，平均气温增长0.2℃，最低气温增长最快，每10年增长0.3℃。南京市1951-2008年七月份的年平均最高气温、最低气温、平均气温的增幅分别为0.045℃/10a，0.08℃/10a，0.103℃ /10a，表明在七月份，南京市最高气温每10年增长0.045℃，最低气温增长0.08℃，平均气温增长最快，每10年增长0.1℃，但对于每类气温，七月份增速要小于一月份的增速。

根据DWMA和MFDWMA法，做出波动函数F(s)与时间标度s之间的双对数图，以求出序列长记忆性的Hurst指数，见图8。其中带星号，位于毎幅图形上部分的曲线为在原有的DMA(= 0.5)下做出的双对数图，带加号，位于图下部分的曲线即为本文提出的改进分形法(DWMA，λ= 6，= 0.5)做出的图。图中H表示Hurst指数，R2为线性拟合度。图8.a1、a2、a3表示一月份最高温、最低温、平均温的波动函数与时间标度之间的双对数图。从三个子图中可以看出，两种方法做出双对数图的线性拟合度非常接近，都在0.94以上，说明得出的标度指数具有可信性。所计算出的Hurst指数均在0.5以上，表明一月份最高温、最低温、平均温均存在长记忆性。然而, 由本文提出的改进分形法(DWMA)计算出一月份最高温、最低温、平均温的Hurst指数均在0.69左右，而由原有的DMA计算出的Hurst指数相差较大。事实上，由于在同一天，最高温、最低温、平均温所受的外部环境相差不大，三者应该具有相类似的结构特征。此外，一月份最高温、最低温、平均温均为平稳序列，因此，对于平稳序列，尽管原有算法所得出幂律性(转化为双对数图，即为线性拟合度)较好，但结果不如本文提出的DWMA法稳定。为此，可选择DWMA计算出的Hurst值作为评判标准。对于七月份气温，图8.b1,b2,b3刻画了其波动函数F(s)和时间标度s之间的幂律性，从三个子图中可以看出，由原有的DMA法做出的双对数图，其线性拟合度均在0.75左右，且曲线出现了明显的震荡现象，与线性性相去甚远，故所计算出的Husrt指数真实性也是值得怀疑的。由DWMA(λ= 6，= 0.5)做出波动函数和时间标度之间的双对数线性拟合度在0.96以上，说明新算法优于原算法。三条气温序列的Hurst指数均在0.74左右，表明七月份最高温、最低温、平均温存在长记忆性，且长记忆性要大于一月份各气温序列。由于七月份序列具有非平稳性，故从结果来看，DWMA处理非平稳序列的效果要优于DMA法。

图6 MFDMA和MFDWMA的二项式多重分形谱

均值标准差最大值最小值峰度偏度JBADFPP一月最高温6.974.1121-5.23.170.2216.76-3-7.15一月最低温-1.173.7310.5-142.8-0.043.61-18.6-19.46一月平均温2.313.2612.2-93.09-0.157.23-10.77-12.97七月最高温32.223.3939.721.52.62-0.5396.27-0.98-0.69七月最低温24.782.233016.82.68-0.4259.82-0.74-0.42七月平均温28.062.7234.119.22.42-0.3460.66-0.89-0.49

图7 气温序列及其趋势线

利用MFDWMA(λ= 6，= 0.5)，做出南京市一月份、七月份最高温、最低温、平均温序列的多重分形谱，见图9。可以看出，六条序列均具有多重分形性，多重分形谱图的左半部分，一月份、七月份的最高温、最低温、平均温的多重分形几乎重合；在右半部分，最高温和平均温的多重分形也是基本相同，最低温的多重分形比前二者更窄些，暗示南京市最高温和平均温序列的内部结构比最低温序列更复杂些。上述分析表明，尽管南京市一月份、七月份的最高温、最低温、平均温序列多重分形大致相同，但仍存在一定差别，这意味着利用多重分形可以更加细致的分析序列内部结构。

图8 气温序列s和F(s)的双对数图

图9 气温序列的多重分形谱图

5 结语

灰类调整系数，从决策的角度，给予邻近灰类更大的权重，灰色缓冲算子从把握序列变化趋势的角度，提高模型精度，将二者结合构造新的灰色算子，用于代替移动平均去趋势法(DMA)中的均值化算子，从而建立权重可调的加权移动平均去趋势法(DWMA)，进一步将其拓展为多重分形形式(MFDWMA)。分析指出了DMA(MFDMA)是DWMA(MFDWMA)的特例。数值模拟表明权重为6的中心DWMA(MFDWMA)法能有效地去除序列趋势，其计算出Hurst、f()的精度优于原有算法。将新方法分析南京市一月份、七月份气温序列的长记忆性和多重分形性，结果表明一月份和七月份的最高温、平均温和最低温序列均具有长记忆性和多重分形性，且一月份与七月份的最高温和平均温序列的内部结构比最低温序列更复杂些。这说明一月份和七月份气温序列具有可预测性，为通过气温预测进行灾害防范提供了理论支撑。本文提出的DWMA(MFDWMA)法也可用于生物、医学、水文、地质等领域中。

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TheModifiedFractalMethodsBasedontheGreyOperatorandTheirApplication

ZHOUWei-jie1,DANGYao-guo2,GURong-bao3

(1.Business College,Changzhou University,Changzhou, 213164,China;2.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106,China;3.School of Finance, Nanjing University of Finance and Economics Nanjing 210046,China)

Under the framework of grey buffer operator and grey adjustment coefficients, the grey operation is constructed, and the weighted detrended moving average with adjustable weighted coefficients and its multifractal form called as multifractal weighted detrended moving average are put forward. The original detrended moving average is a special of the modified fractal method. Numerical simulation on fractal Gauss noise and binomial multifractal withuctuation and linear trend shows that the centered detrended weighted moving algorithm whose weight is 6 can effectively remove the sequence trend, and the accuracy of Hurst and f() calculated by weighted detrended moving average and multifractal weighted detrended moving average are more close to analytics value compared with original algorithm. In empirical part, the long term memory and multifractality of daily temperature series in Nanjing from 1951 to 2008 by modified methods are investigated. The results show that the growth rate of temperature in July is significantly smaller than that of January; compared to the original methods, the conclusions from modified fractal methods are more close to reality; all temperature sequences have the long term memory feature, but the long term memory of daily temperature series in contained the highest, the lowest and the average temperature are stronger than that in January, which indicates that predictability of temperature in July is higher than that in January. The prediction of temperature series gives a way to manage the temperature disaster risk. Besides, temperature series of Nanjing in January and July possess multifractality, which suggest that the temperature series can be studied from multi scale. Through the shape of multifractal spectrum, it is found that the internal structure of the highest and average temperature sequences are more complex than the lowest temperature sequences whether for January or July.

1003-207(2017)10-0089-11

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.10.010

C931

A

2014-05-22；

2017-07-10

国家自然科学基金资助项目(71701024)

周伟杰(1983-)，男(汉族)，江苏常州人，常州大学商学院，讲师，研究方向：灰色系统、金融工程，E-mail:wjzhou@cczu.edu.cn.

Keywords： grey operator; weighted detrended moving average; multifractal weighted detrended moving average; long memory