给学生一双慧眼

黎丽娟

摘要：从一道课本复习题引发对练习不同表现形式的教学探索，引导学生去发现，进而掌握本质，在获得成功的同时，激发学生的学习兴趣，促使各个层次的学生都能得到一定的发展。

关键词：发现；变式；数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）08-0122

波利亚曾说过，一个专心备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的多个方面，使通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。

但是，教学实践又告诉我，学生并不喜欢被教师牵着鼻子走，因为兴趣才是最好的老师。如何让学生打开那道门户呢？

按照新课程标准“面向全体学生，立足双基”的要求，从学生认知能力和思维能力的最近区域出发，充分发挥学生的主体意识，发现问题，从特殊到一般，探索规律，总结经验，力求达到层层递进、分解难度，在获得成功的同时，激发学生的学习兴趣，促使各个层次的学生都能得到一定的发展。

现在以浙教版八下P156练习8的教学为例来说明，让学生自己发现：数学并不神秘，只要我们立足基础，虽然横看成岭侧成峰，但透过层层迷雾，能够发现它的本来面目，增强学习的自信，拓宽知识面，改进自己的认知！

原题：在反比例函数（y=■>0）的图像上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标分别是1、2、3、4，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3，则s1+s2+s3= 。

本题主要考查了y=■反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，并在解题过程中结合所给的条件，充分挖掘使用相应的解题技巧。

一、立足双基，梳理知识点

解决问题首先要从学生的认知能力和思维能力的最近区域出发，符合学生学情。

知识点：

设P（x，y）是反比例函数y=■图像上的任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为A，

则（1）OPA的面积=■OA·PA=■xy=■k

（2）矩形OAPB的面积=OA·PA=xy=k

这就是比例系数K的几何意义，并且无论P如何移动，OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

二、预设问题，做准备工作

要求学生利用K的几何意义，充分思考。

问题：对于反比例函数y=■，

1. S1与S2的大小？

2. 当0A1=A1A2时，S3与S2的大小？

问2的设计意图：既承接原题的相邻横坐标等距的意思，又为变式拓展时的表述的正确理解做铺垫。凸显这个条件的重要性，让学生更加有效地理解题目。

三、一题多解，把握其本质

一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同的解法求得相同结果的思维过程。教学中适当地运用一题多解，可以激发学生发现或创造的强烈愿望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟应用。

解原题：由题意，可知点P1、P2、P3、P4的坐标为：（1，2）、（2，1）、（3，■），（4，■）

解法一：

∵s1=1×（2-1）=1，s2=1×（1-■）=■，

s3=1×（■-■）=■

∴s1+s2+s3=1+■+■=■

学生取名累加法

解法二：

∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，

∴1×2-■=■，

故答案为：■。

学生取名推积木法

总结：

解法一用到了函数基本技能：求点坐标，再结合图形求解。

解法二由图形的特点入手，通过图形的平移变换变成一个矩形，再利用坐标计算。两种方法都体现出了数形结合在解此类问题的优势，并且让学生体会这些基本解题经验。

四、变式训练，横侧皆看清

变式训练的目的是对一道题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列的新题，甚至得到更一般的结论，从而增强学生的应变能力和解题的信心，是减少题海战术的好方法，并培养了学生学会如何真正吃透题目，同时还要坚持以学生为主体，教师作为组织和引导的角色。

积极引导学生发现原题中的一些特定的数据和顺序，可以改变吗？改变后还有相关结论吗？你能给出解答吗？

学生1：发现例题的横坐标间隔都是1，可以改变吗？

变式1：改变特殊条件为一般条件（例题的横坐标间隔都是1

横坐标间隔等距）

过在反比例函数（y=■>0）的图像上的点P1、P2、P3…Pn、Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，在轴的垂足分别为A1、A2、A3…An、An+1，构成若干个矩形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次为s1、s2、s3…sn，则= s1+s2+s3+…+sn=

（用含n的代数式表示）

解：设=OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a

则P1（a，2/a），P2（2a，2/2a）

Pn（na，2/na），Pn+1（（n+1）a，2/（n+1）a），

解法一：累加法

s1+s2+s3+…+s=a（2/a-2/（n+1）a）=2n/n+1

解法二：推積木法endprint

目的：进行知识的正迁移。体现数学从特殊到一般的探究式的自主学习方式。学生解决。

学生2：那么不等距呢？

变式2：横坐标间隔等距 不等距

（新编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，S1+S2+S3= 。

学生发现：原式=s1+2s2+s3，可以单个计算，累加。学生解决。

学生3：发现反比例函数是确定的。

变式3：进一步改变特殊条件为一般条件（比例系数k如果也不知道呢？）

把变式1中的反比例函数改成（y=■>0）？

发现两种解法照样可以解决：s1+s2+s3+…+sn=Kn/n+1

学生发现有些问题，哪怕变成一般条件，照样能够找到规律和一般结论。学生解决。

学生4：一定要第1个加到最后一个吗？

变式4：改变结论（取部分的和）

（改编）反比例函数改成（y=■>0），OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…

当k=8时，s2+s3= 。

这个问题有一定难度，需要在找到规律的同时，学生合作解决！

学生5：能把条件和结论换个位置吗？

变式5：改条件为结论，结论为条件。

（新编）当s2+s3=5时，k等于多少？（知识负迁移）

效果：激发学生的逆向思维，主动运用方程思想，解决问题的能力。合作解决。

学生6：一定要是矩形嗎？

变式6：从矩形变成三角形

（改编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，若OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…现分别过点A1、A2、A3、…An、An+1…作x轴的垂线段，交反比例函数图像于点P1、P2、P3、P4、P5构成若干个三角形，如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3、s4、s5，已知s4=2，则s1= 。

解：再次探究规律，sn=■。

∵s4=■=2

∴k=16，s1=■=8

发现是什么？发现是一切智慧的起源！只有敢于发现的人，才有获得新知识的动力。在教学中，我们需要让学生发现问题，并引导他们如何去改变，获得更多的、更完整的处理问题的经验。

在探究过程中，我发现学生发现的并不比我们少，有弱化条件的，有改变图形的，有找规律的，也有求特殊的，甚至有学生问“会不会有动点问题？”这些发现和改变无疑都是很精彩的。

（作者单位：浙江省绍兴市上虞区张杰中学 312000）endprint