探析数学思想方法在高等代数教学中的渗透

张爱萍

(吕梁学院 汾阳师范分校, 山西 汾阳0322000)

探析数学思想方法在高等代数教学中的渗透

张爱萍

(吕梁学院 汾阳师范分校, 山西 汾阳0322000)

高等代数是大学课程里的一门基础课程，对其他专业课的学习充当着工具的作用，因此高等代数是解决问题的一种手段。而在高等代数中，问题解决的方式有不同种，但灵魂是主导。数学思想方法则是其精髓与灵魂，对于深刻理解高等代数的原理以及进一步的掌握有重要意义。文章提出几种高等代数中的数学思想方法，为相关教育工作者提供一定参考借鉴。

数学思想方法；高等代数；教学

高等代数是数学中的一个重要分支，相比于高等数学与概率论更具有其自身的特点，即抽象性。所以只有认清数学的本质，增加对于高等代数的学习兴趣，才能更加灵活的运用代数来解决问题。

1 高等代数的课程特点

高等代数内容主要包括向量、矩阵、行列式、方程组与矩阵变换等多个方面。该课程的主要特点可以概括为“三点一线”。“三点”即逻辑推理的严密性；研究方法的公理性；代数系统的结构性。而“一线”是矩阵表示是一条主线，利用矩阵理论把前后知识串起来。高等代数是现代工程、数学以及物理等需要大量计算学科的良好帮手与工具。高等代数中体现了现代数学的许多思想以及方法原则，如化复杂为简单，多学科交叉结合等，但由于高等代数与高等数学、概率论的最大不同点在于其抽象性〔1〕。

2 高等代数中思想方法的分类及具体思想方法

数学的发展历史悠久，从古至今，虽然所发展的具体科学随着时代有所不同，但其思想方法贯穿了整个数学史〔2〕。关于数学思想方法，作者认为可分为两类：针对过往所学知识进行延伸扩展的思想方法与对于数学中各个分支所对应相应特点进行分析的思想方法。高等代数中抽象性以及所具备的较强联系性使得研究在高等代数中的思想方法对于更好的理解高等代数有重要意义。

2.1 一般化的思想

在中学时学生就简单的接触过空间向量。而在高等代数中，对于向量的讨论就会向上更进一步〔3〕。不仅包括之前学过的运算法则及性质，还增加了一些新的内容。如在高等代数中会接触到“数乘”的概念，这显然是之前没接触过的，但与之前所学的“点乘”可做比较，再进行理解。数乘的结果是向量，点乘的结果是数，其运算法则也有不同，如：α·β点乘的运算法则，即若α=(1，2，5，0)，β=(-1，-4，0，5)，则α·β=1×(-1)+2×(-4)+5×0+0×5=-9。kα为数乘的法则,其中k为数,当k=-12时，有kα=-12(1，2，5，0)=(-12，-24，-60，0)。例如在之前的学习中可解的方程组一般为二元、三元，但是通过高等代数的学习可以解决更多元的问题。利用空间向量可以更好的理解代数的部分内涵，使学生在学习数学的基础上有更进一步的提高。

2.2 变抽象为具体的思想

高等代数的最大特点之一就是抽象性。但是任何抽象的东西都可以将其转化为具体可理解的东西。如在空间运算的过程中可以将向量的加减运算分别简化为同一空间坐标中横纵坐标的相加减，这样可以将向量由空间转化为平面〔4〕，简化其理解与计算。如在矩阵的化简过程中，可以将其理解为几个方程相互消元的过程，这也是方程组求解的思想方法的应用，最终得到结果，这样就可以将抽象相对简化为具体。还有抽象的初等变换与具体的行列式;抽象的因式分解理论与具体多项式的因式分解;抽象的线性方程组与具体的矩阵;抽象的二次型与具体的对称矩阵;抽象的线性空间与具体的线性空间等。

例如：取何值时，下列二次型是正定的

因为实二次型正定的等价条件是矩阵的顺序主子式都大于零得知，即

所以解得-1

抽象思维可以在高等代数学习的过程中逐步培养，这种思维能力不仅仅是对于数学学习上有重要的意义，对其他学科掌握其本质，深刻理解学科的内涵同样有重要意义。抽象思维的优越性在于可以使看似复杂的事物变得简单、有迹可循，有理可依。

2.3 公理化思想方法

在数学学习过程中，有许多的定理，而如何将数学原理加以证明，这也是学习高等代数需要掌握的问题。在证明过程中，应该将已知条件中所隐藏的潜在已知条件挖掘出来〔5〕，将所靠近的知识定理加以梳理以此获得可证出结果的方案。这样的系统演绎的方案需要不断的进行实践与摸索。而在高等代数的证明体系中，这种方法更加严谨。公理化方法是一项整理数学中知识、使知识进一步向更深层次发展的一种思想方法。其实质是将高等代数中的相关内容放在同一个标准下，讨论它们的相关运算等内容。

公理化的作用是可以进行一系列的分析和整体框架的整合，用相对严谨的数学语言将各个逻辑关系串联起来。这种思想方法便于理解在实际应用中的效果也较为明显，可以不断增强学生的自我总结能力以及自己解决问题的能力，同时也培养了学生对于高等代数的兴趣。

2.4 初等转化的思想

这种思想在行列式部分、矩阵部分以及向量维数的变换过程都有相当多的体现。转化的思想指的是在保证原有性质与结果不变的前提下，为了简化计算而进行的操作。利用初等转换的性质可以化繁为简，将计算简单化。

例如求线性方程组:

(1)

所以 方程组(1)无解。

分析 ：本题的方程组有四个未知数x1，x2，x3，x4，解方程组时未知数不断重复出现，这样会很繁琐。其实解题过程实际上是系数在变化，所以解题时只要对增广矩阵进行初等行变换就会使问题变得简单化。

与人们的认知相一致，即寻求最简单的方法去解决问题，这种思想同样也可以应用到其他学科以及工程实际应用当中，为实际工程提供便利。

2.5 普遍联系的思想

在高等代数的学习过程中，重要的是将以前所学与现在所学结合起来，融会贯通解决问题，不可只局限于当下。数学是一门应用学科，相比于数学的其他方面，高等代数对于解决实际问题提供便利有重要意义。在老师教学和学生学习的过程当中，都要注重将之前的知识进行巩固与进一步深刻理解〔6〕。例如在矩阵部分的学习过程中，利用到所学的行列式的化解知识以及一些相关性质的应用，在方程组的解决方案里，应用到了矩阵的化解以及对于方程组有解无解的判断。在正交矩阵以及求二次型中再次利用了方程组的解的相关性质。

2.6 辩证看待问题的思想

数学是一门严谨科学的学科，不以任何意志为改变的客观真理，且随着世界的不断发展而不断的得出新结论但不否认旧结论的科学。在高等代数的发展中，也存在着许多可以利用辩证法进行解决的问题，关键是认清事物的现象与本质。例如在对线性方程进行求解的过程中，要进行一步初等变换，这样做可以将一个较复杂的方程组转化为一个相对简单的方程组，且结果不变；在求解矩阵的秩时，同样也是利用将复杂转化为简单的方法，通过一系列不改变结果的变换简化计算，这些都是在利用将表面的复杂转化为实质的简单的思想方法。

现象与本质的思想方法以及辩证法的思维可以解开在层层迷雾下的科学内涵，不仅是对于学习、对于实际生活工作中也有着重要的意义，可以提高思维能力与辨明真相的能力。例如在教学过程中的多项式根的问题可以将抽象变为具体，把复杂变为简单，将未知变为已知。

3 结语

相对于高等数学的基础，在初学高等代数的课程当中，学生难免会感到晦涩难懂，许多概念不能够理解其实质含义。在这种情况下，更需要教师将其中所包含思想方法进行讲解，使学生对于所学课程有更好的理解。利用一般性的思维将之前所学进行深一步的理解，利用抽象性思维与辩证法事物本质的思想拨开高等代数的面纱，看清实质，解决问题，利用公理性思维了解每一条定理的依据以及证明。

〔1〕 姚裕丰.高等代数中的几类数学思想方法〔J〕.高师理科学刊,2016，(05)：62-65.

〔2〕 杨浩菊.在高等代数教学中渗透数学史知识的思考〔J〕.大学数学,2013，(02)：6-8.

〔3〕 史秀英.高等代数中蕴涵的数学思想方法〔J〕.赤峰学院学报(自然科学版),2014(11)：5-6.

〔4〕 张谋,魏曙光,易正俊.高等数学教学中数学思想的渗透〔J〕.高等理科教育,2015(03)：90-93.

〔5〕 马虹.高等数学教学中数学思想方法的渗透〔J〕.辽宁师专学报(自然科学版),2012，(02)：9-10.

〔6〕 王玉华.数学思想方法在高等代数中的应用〔J〕.湖北第二师范学院学报,2014，(02)：79-81.

1008-3723(2017)05-078-03

10.3969/j.issn 1008-3723.2017.05.032

2017-09-06

张爱萍(1975-)，女，山西汾阳人，吕梁学院汾阳师范分校数学与科学系讲师，硕士，研究方向:高等代数.

G642.0

A