固定谐振荷载作用下曲线轨道动力响应特性研究

杜林林， 刘维宁， 刘卫丰， 马龙祥

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院， 北京 100044； 2. 西南交通大学 土木工程学院， 成都 610031)

固定谐振荷载作用下曲线轨道动力响应特性研究

杜林林1， 刘维宁1， 刘卫丰1， 马龙祥2

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院， 北京 100044； 2. 西南交通大学 土木工程学院， 成都 610031)

将曲线轨道视为周期性离散支撑结构，根据周期性结构的振动特性，通过引入移动荷载作用下曲线轨道梁的数学模态以及广义波数，得出曲线轨道梁频域响应的级数表达，进而求解固定谐振荷载作用下曲线轨道梁平面外弯扭耦合振动的响应特性。通过计算不同频率固定谐振荷载作用下曲线轨梁的动力响应，可以求得曲线轨梁垂向位移频响特性。对单层离散点支撑轨道模型进行计算分析可知：曲线轨道梁一阶自振频率受扣件支点垂向支撑刚度、垂向支撑阻尼系数、扣件支点间距变化影响较大，扣件支点垂向支撑刚度增加时轨梁一阶自振频率提高，垂向支撑阻尼系数增加时轨梁一阶自振频率略有减少，扣件支点间距减小时轨梁一阶自振频率提高；扣件支点间距对曲线轨梁频响特性具有显著的影响，跨中处一阶pinned-pinned共振峰幅值及支点处反共振峰幅值随支点间距的增加而变大；曲线半径对地铁轨道轨梁垂向位移频响特性几乎没有影响。

曲线轨道；弯扭耦合；周期结构；频响特性

曲线轨道能够适应地形、地物、地质等条件的约束，满足城市轨道交通线路的规划设计要求[1]。然而列车通过曲线轨道时产生的振动问题却不容忽视，以北京地铁为例，曲线轨道处出现了大量的异常波磨，影响车辆运行甚至危及行车安全[2]，曲线段列车运行引起的地表振动响应较大[3]。不同于直线轨道，列车在曲线轨道运行时会引起曲线轨道的平面内振动以及平面外振动，对于列车运行时的垂向荷载来说，平面外振动占主要成分[4-5]，为研究列车通过曲线轨道过程中的轮轨相互作用关系，应首先明确曲线轨道的动力响应特性，因此需要研究固定简谐荷载作用下曲线轨道弯扭耦合振动特性。

针对曲线梁振动特性的研究，姚玲森等[6]根据Vlasov[7]曲线梁平衡方程，采用傅里叶级数法求解简支曲线梁内力，通过求解两个联立的四阶微分方程得到曲梁的内力和变形。单德山[8]应用积分变换法，求解了移动荷载作用下简支曲线梁弯扭耦合振动的解析解，并进一步研究了高速铁路曲线梁桥车桥耦合振动。宋郁民等[9]运用模态叠加法，通过考虑列车曲线的通过特点及轮轨非线性相互作用，建立了空间列车-桥梁的耦合方程。Yang等[10]通过模态叠加法，研究了水平曲线简支梁在竖向力和水平力的共同作用下，曲线梁的弯扭耦合振动响应。刘维宁等[11]根据曲线梁的传递矩阵，以Duhamel积分为基础，推导了移动荷载作用下曲线Timoshenko梁平面外振动响应的解析解。总体来说，针对曲线梁振动特性的研究相对较少，固定谐振荷载作用下曲线轨道的动力响应问题仍需作进一步的研究。

不同于曲线车-轨动态耦合研究，曲线超高、轮轨间横向相互作用力及轨底坡等对车轨动态相互作用影响较大[12]，本文主要研究固定简谐荷载作用下曲线轨道的振动响应问题，可以忽略超高、横向轮轨力、轨底坡等因素的影响，将曲线轨道简化为周期性离散支撑的平面曲线梁。利用轨道结构周期性条件，将动力响应的求解映射于一个基本元之内进行，通过引入移动荷载作用下曲线轨道梁的数学模态以及广义波数，得出了曲线轨道梁频域响应的级数表达，进而求解得出轨梁的频域动力响应，得到了固定谐振荷载作用下曲线轨道平面外弯扭耦合振动的响应特性。

1 曲线轨道梁动力响应分析

1.1 圆弧曲梁振动微分方程推导

在推导曲线梁振动微分方程时，假定曲线梁为等截面的匀质梁且曲率半径为常数，横截面具有竖直的对称轴；曲线梁形心与剪切中心重合；曲率半径远大于横截面、梁长的尺寸。曲线梁的坐标系按照右手螺旋法则规定，如图1所示。

图1 曲线梁坐标系Fig.1 Coordinate of curved beam

自由振动下，忽略高阶微量，曲线Euler梁的轴向、径向、垂向及扭转振动微分方程为[13-15]

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:uz、uy、uz分别为x、y、z方向上的位移；φz为绕z轴的扭转变形；m为单位长度质量；ρ为密度；A为截面面积；Id为截面扭转常数；I0为截面极惯性矩；E、G分别为曲线梁的弹性模量和剪切模量；Ix、Iy分别为绕x、y轴的截面惯性矩；Iω为截面扭转翘曲常数；R为半径。

由式(1)～(4)可知，式(1)～(2)表示曲梁的轴向及径向，即平面内振动微分方程，式(3)～(4)表示曲梁的垂向及扭转，即平面外振动微分方程。观察式(1)～(4)可知，曲线梁平面内振动与平面外振动相互独立，且曲梁平面内振动对平面外振动影响很小，因此，垂向荷载作用下曲线梁的动力响应仅考虑平面外振动情况。

考虑到曲线轨道曲线半径远大于轨梁截面尺寸，轨梁动力变形中可忽略翘曲扭转，因而Iω=0，则曲线梁平面外自由振动微分方程为

(5)

(6)

1.2 曲线轨梁动力学控制方程

将钢轨简化为曲线Euler梁，将扣件简化为弹簧阻尼支点，此时轨道简化为等间距离散点支撑的轨梁模型，考虑一速度为v、角频率为ωF的垂向单位移动谐振荷载eiωFt作用于轨梁上，如图2所示。轨梁的振动微分方程可以写为

(7)

(8)

对式(7)、式(8)进行傅里叶变换

(9)

(10)

图2 垂向移动简谐荷载作用下曲线轨道梁力学模型图3 轨梁变形及约束示意图Fig2MechanicsmodelofcurvedtracksubjectedtoharmonicmovingloadsFig.3Schematicofconstraintofrail

1.3 曲线轨道轨梁频域响应的广义波数法

将曲线轨道映射至圆形轨道结构中[18]，根据周期性结构的性质对曲线轨道梁的动力特性进行分析，移动谐振荷载作用下轨梁频域动力响应具有如下周期性性质[19]

(11)

式中:ω为角频率；符号“＾”代表频域内的物理量；L为轨梁的周期长度。

(12)

结合式(11)与式(12)，有

(13)

(14)

式中:Cn(ω,ωF)是傅里叶级数系数；ξn=2πn/L。

(15)

记：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中:2N+1为计算采用的轨梁模态数，记为NMR，即NMR=2N+1。

令：

κ=(ω-ωF)/v或ω=ωF+vκ

(21)

由轨梁频域动力响应的模态叠加法可知：

(22)

(23)

(24)

(25)

联立式(24)及式(25)，整理可得：

G(κ,ωF)u(κ,ωF)=P(κ,ωF)

(26)

式中:u(κ,ωF)={U-N,…,U+N,Φ-N,…,Φ+N}T；G(κ,ωF)为(NMR+NMR)阶方阵；P(κ,ωF)为(NMR+NMR)×1阶已知向量，其第j行的值为

解式(26)可得：

(27)

(28)

1.4 固定谐振荷载下曲线轨梁动力响应求解

根据已求出的轨道梁频域响应，轨梁时域响应可采用逆傅里叶变换求得

(29)

上式即为速度为v的移动谐振荷载作用下，轨梁时域位移响应解。令v=0，可得固定谐振荷载作用下轨梁的位移响应

(30)

式(30)表明：在固定谐振荷载作用下，轨梁稳态响应是简谐的，位移响应幅值为

(31)

式(31)即为固定谐振荷载作用下曲线轨梁动力响应幅值，通过计算不同频率固定谐振荷载作用下曲线轨梁的动力响应幅值，即可求得曲线轨梁垂向位移频率响应函数。式(31)可采用数值积分法求解：

(32)

2 曲线轨道轨梁频率响应函数分析

2.1 轨道梁模型及轨梁频率响应函数计算

为求得曲线轨道梁垂向位移频率响应函数，以北京地铁普通整体道床轨道为例，轨道采用DTVI2扣件，轨道梁模型如图4所示，以此模型研究曲线轨道动力响应特性，钢轨及DTVI2扣件参数见表1。

根据计算分析可知，轨梁模态数取为21，κ取值范围为[-10，10]，Δκ取值为0.039，计算结果已充分收敛，可保证计算精度。

为研究曲线轨梁垂向位移频响特性，本文分别计算了扣件支点处及两相邻支点跨中处的频率响应函数，其中激振点与拾振点布置如图4所示，计算结果如图5所示。

表1 T60钢轨及DTVI2扣件参数Tab.1 Parameters of T60 rail and DTVI2 fasteners

支点处

跨中处图4 不同位置处频响函数布置图Fig.4 Frequency response of track at different load points

图5 轨梁支点及跨中处垂向位移频响函数Fig.5 Frequency response of rail at a fastener support point and mid-span between fastener support points

2.2扣件支点垂向支撑刚度及阻尼系数对频响函数的影响

为了研究支点垂向支撑刚度对轨梁垂向位移频响函数的影响，本文分别计算了支点垂向支撑刚度为15 MN/m、30 MN/m、90 MN/m及120 MN/m时支点处和跨中处的频响函数。为研究支点垂向支撑阻尼系数对频响函数的影响，分别计算了垂向支撑阻尼系数为0.01 MN·s/m、0.04 MN·s/m及0.07 MN·s/m时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。

图6给出了不同支点垂向支撑刚度作用下跨中处及支点处的轨梁垂向位移频响函数，观察图6可知：①曲线轨梁一阶自振频率受支点垂向支撑刚度变化影响较大，支点垂向支撑刚度的增加会引起轨梁一阶自振频率的提高，降低一阶自振频率点处的响应幅值，增加频响函数在高于一阶自振频率频段的幅值；②扣件支点垂向支撑刚度变化对离散点支撑轨梁一阶pinned-pinned共振频率没有影响。

跨中处

支点处图6 垂向支撑刚度对垂向位移频响函数的影响Fig.6 Frequency response of track with different stiffness of fastener support point

图7给出了不同支点垂向支撑阻尼系数作用下跨中处及支点处的曲线轨梁垂向位移频响函数，观察图7可知：

(1)曲线轨梁一阶自振频率受阻尼系数变化影响较大，增加阻尼系数时，轨梁一阶自振频率略有减少，频响函数在一阶自振频率点附近处的响应幅值有所降低；

(2)阻尼系数变化对离散点支撑轨梁一阶pinned-pinned共振频率没有影响，随着阻尼系数的增加，跨中处一阶pinned-pinned共振频率处响应幅值增加，支点处反共振峰响应幅值降低。

跨中处

支点处图7 垂向支撑阻尼系数对垂向位移频响函数的影响Fig.7 Frequency response of track with different damping coefficients of fastener support point

2.3 曲线半径及扣件间距对频响函数的影响分析

为了研究曲线轨梁半径及扣件支点间距对垂向位移频响函数的影响，本文分别计算了曲线半径为3 m、6 m、12 m、50 m、100 m、300 m、500 m及1 000 m时支点处和跨中处的频响函数。为了研究扣件支点间距对轨梁垂向位移频响函数的影响，本文分别计算分析了扣件支点间距为0.45 m、0.6 m、0.9 m及1.2 m时支点处和跨中处的频响函数。其余参数如表1所示。

图8给出了不同曲线半径作用下跨中处及支点处的轨梁垂向位移频响函数，由图8可知：

(1)曲线轨道一阶自振频率几乎不受半径影响，半径的增加对一阶自振频率没有影响；

(2)在一阶pinned-pinned共振点处，支点处共振频率高于跨中处，曲线半径与扣件间距比值小于10时，半径对曲线轨道梁频响函数具有显著影响，随着曲线半径的增加，轨道梁一阶pinned-pinned共振频率变大，跨中处共振峰幅值降低，支点处反共振峰响应幅值提高；曲线半径与扣件间距比值大于10时，随着半径的增加，半径对曲线轨道梁频响函数的影响逐渐降低，当半径大于50 m之后半径对曲线轨道梁垂向位移频响函数几乎没有影响；

(3)地铁曲线轨道最小半径为300 m，随着曲线半径的增加，轨梁垂向位移频响函数基本一致，半径对曲线轨道垂向位移频响函数几乎没有影响。

图9所示为曲线半径为300 m时，不同扣件支点间距下跨中处及支点处的轨梁垂向位移频响函数。观察图9可知：

(1)扣件支点间距对曲线轨道一阶自振频率变化影响较大，支点间距减小时轨道一阶自振频率提高，一阶自振频率处响应幅值降低；

(2)根据计算公式求得支点间距为0.45 m、0.6 m、0.9 m及1.2 m时所对应的一阶pinned-pinned共振频率分别为2 563 Hz、1 442 Hz、640 Hz和360 Hz，与程序求解计算结果吻合良好，支点间距减小一半时，一阶pinned-pinned共振频率增大4倍；

(3)支点间距对曲线轨梁一阶pinned-pinned共振响应具有显著的影响，跨中处一阶pinned-pinned共振峰幅值及支点处反共振峰幅值随支点间距的增加而变大。

跨中处

支点处图8 曲线轨道半径对垂向位移频响函数的影响Fig.8 Frequency response of track with different radiuses

跨中处

支点处图9 扣件支点间距对垂向位移频响函数的影响Fig.9 Frequency response of different spacing of fastener support points

3 结 论

本文将曲线轨道视为周期性离散点支撑结构，根据周期性结构的振动特性，通过引入移动简谐荷载作用下曲线轨道轨梁的数学模态以及广义波数，得出了垂向荷载作用下曲线轨道梁频域响应的级数表达，进而求解得出垂向固定谐振荷载作用下曲线轨道梁平面外弯扭耦合振动的响应特性。通过计算不同频率固定谐振荷载作用下曲线轨梁的动力响应，得到了曲线轨梁频响特性。针对地铁普遍采用的整体道床轨道，以单层离散点支撑轨道模型为基础，通过计算分析扣件支点垂向支撑刚度、垂向支撑阻尼系数、曲线半径及扣件支点间距对垂向位移频响函数的影响，得到以下结论：

(1)曲线轨道轨梁一阶自振频率受支点垂向支撑刚度、垂向支撑阻尼系数、支点间距变化影响较大；支点垂向支撑刚度增加时轨梁一阶自振频率提高，一阶自振频率点处的响应幅值降低；垂向支撑阻尼系数增加时轨梁一阶自振频率略有减少，频响函数在一阶自振频率点附近的响应幅值降低；支点间距减小时轨梁一阶自振频率提高，一阶自振频率点响应幅值降低。

(2)扣件支点垂向支撑刚度对轨梁一阶pinned-pinned共振频率没有影响；增大垂向支撑阻尼系数时跨中处一阶pinned-pinned共振峰幅值增加，支点处反共振峰幅值降低；扣件间距对轨梁一阶pinned-pinned共振特性具有显著的影响，跨中处一阶pinned-pinned共振峰幅值及支点处反共振峰幅值随支点间距的增加而变大；支点扣件间距减小一半时，一阶pinned-pinned共振频率增大4倍。

(3)地铁轨道最小曲线半径为300 m，随着曲线半径的增加，轨道垂向位移频率响应函数基本一致，半径对曲线轨道垂向位移频响函数几乎没有影响。

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Astudyoncurvedtrackdynamicresponseunderafixedharmonicload

DU Linlin1, LIU Weining1, LIU Weifeng1, MA Longxiang2

(1.School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China; 2.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Modelling the dynamic behavior of a curved railway track subjected to fixed harmonic loads is important to understand its dynamic characteristics. The discretely supported curved Euler Beam was used to simulate dynamic response of curved track based on a periodic structure. Mathematical modes of track and generalized wavenumber were introduced, and dynamic response of bending and torsion of curved track in frequency domain was expressed by series superposition of the mathematical modes. Dynamic response of curved track subjected to a fixed harmonic load was obtained, and some conclusions were obtained. The natural vibration frequency of curved beam was greatly affected by vertical stiffness, vertical damping coefficient and spacing of fasteners. The first-order natural frequency of track increased with increasing the vertical stiffness of fastener, but decreased slightly with increasing the vertical damping of fastener. The first-order natural frequency of track increasing as the fastener spacing is decreased. Fastener spacing has a significant influence on response of curved track. The bigger the fastener spacing, the greater the amplitude of first order pinned-pinned resonance in mid-span and the bigger the amplitude of first order pinned-pinned anti-resonance in fastener support. Radius has little effect on vertical displacement frequency response of a curved track in metro.

curved track; coupling of bending and torsion; modal superposition method; periodical structure; frequency response function

国家自然科学基金项目(51378001)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2015YJS122)

2016-10-19 修改稿收到日期： 2016-12-18

杜林林 男，博士生，1988年生

刘卫丰 男，博士，副教授，博士生导师，1975年生

U213.2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.20.035