关于一类双单叶函数的系数估计

敖 恩，汤 获，杨静宇

（1.赤峰学院 数学与统计学院；2.赤峰学院 应用数学研究所，内蒙古 赤峰 024000）

关于一类双单叶函数的系数估计

敖 恩，汤 获，杨静宇

（1.赤峰学院 数学与统计学院；2.赤峰学院 应用数学研究所，内蒙古 赤峰 024000）

在本文中,引进一类由拟从属关系定义的双单叶函数新子类,结合正实部解析函数的系数估计和分析技巧,研究函数类的起始项a2和a3的边界估计问题及Fekete-SzegÖ问题,得到准确结果,并推广及改进一些已有的结论.

解析函数；双单叶函数；系数估计

1 引言

用A表示所有在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内解析且具有形式

的函数族.记S表示A内在单位圆盘U={z∈C:|z|＜1}内单叶解析函数的全体.

著名的Koebe one-quarter Theorem[1]表明每一个函数都存在一个逆函数f-1,满足

和

若一个函数f∈A在U内称为是双单叶的当且仅当f和f-1在U内都是单叶的.用σ表示在单位圆盘U内双单叶的函数的全体.若则

1970年,在文献[2]中,Robertson引入了拟从属的概念.设函数f(z)和h(z)在单位圆盘U内解析,若存在一个解析函数φ(z),使得在U内解析且

满足

则称函数f(z)在U内拟从属于h(z),记为f(z)≺qh(z).特别地,当φ(z)=1 时,f(z)=h(ω(z))，z∈U,此时称函数 f(z)在 U 内从属于函数 h(z),记为 f(z)≺h(z);

当 ω(z)=z时,f(z)=φ(z)h(ω(z))，z∈U,此时称函数 f(z)在 U内优于函数h(z),记为f(z)≪h(z).因此从属关系和优化关系是拟从属关系的两种特殊情形.

在文献[3]中,Lewin首先引入双单叶函数族σ,并对系数进行估计,得到了若 f∈σ,则 |a2|≤1.51.在文献[4]中,Branan 和Clunie推测若 f∈σ,则在文献[5]中,Netanyahuz 证明了若 f∈σ,则由此开始,许多学者开始引入与双单叶函数族相关的一些重要子类,并研究其系数估计问题[6-11].

1976年,在文献[12]中,Noonan和Thomas研究了函数f∈A系数的q阶Hankel多项式Hq(n)(q≥1,n≥1)如下:

特别地,H2(1)=|a3-a22|为Fekete-SzegÖ问题的特殊情况.近来许多学者也对于Hankel多项式产生了极大的兴趣 (如[13],[14]).受以上工作的启发,本文利用拟从属关系引入一类双单叶函数类,定义如下:

则称 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;ø),其中 γ∈C{0},λ≥1,δ≥0,g(ω)=f-1(ω).

当参数取特殊值时,可得到一些特殊的函数子类,例如:

(1)Nq,σ(1,λ,0;ø)=(λ,ø)(见文献[12]);

q,σ

(3)Nq,σ(γ,1,0;ø)=(ø)满足

(4)Nq,σ(γ,1,1;ø)=(ø)满足

在本文中,利用正实部解析函数的系数估计和分析技巧,研究了函数类 Nq,σ(γ,λ,δ;ø)中函数起始项 a2和 a3的边界估计问题及Fekete-SzegÖ问题的特殊情况.

为了得到本文的主要结果，需要引进下面的引理.

引理[15]设则 |pk|≤2,k=1,2,…,其中P表示正实部函数族,即P表示在单叶圆盘U内解析且满足p(0)=1,Re{p(z)}＞0 的函数的全体.

2 主要结果

为了得到本文的主要结果,在U内定义函数p1(z),p2(ω)为

则函数 p1(z)，p2(ω)在 U 内解析，且 p1(0)=p2(0)=1.于是

由解析函数u,v:U→U可得到函数p1(z),p2(ω)有正实部，则 |pi|≤2,|qi|≤2.

除特别声明,本文规定

定理 1 设 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;ø),则

和

证明 设 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;ø),则根据定义存在解析函数 u,v：U→U 满足

及解析函数 ψ(z),φ(z)满足 |ψ(z)|＜1,|φ(z)|＜1使得

将 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分别代入(2.8)式和(2.9)式左侧,通过简单计算可得

又将(2.1),(2.3)和(2.5)代人(2.8)式右侧, 整理可得

同理将(2.2),(2.4)和(2.5)代人(2.9)式右侧,整理可得

于是将(2.10)和(2.12)代入到(2.8)式,比较两边同次幂的系数可得

由于 b2=-a2,b3=2a22-a3,则将(2.11)和(2.13)代入到(2.9)式,比较两边同次幂的系数可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得出(2.4)式中给出的|a2|的上界.

下面再讨论 |a3|的上界.由(2.15)和(2.17)得

将(2.18)代入到(2.20)式,有

由引理可得

另一方面,将(2.19)代入到(2.20)式,有

结合(2.21)和(2.22)式,即可得(2.7)式成立.因此,定理 1 证毕.

在定理1中,分别令γ=1,δ=0和λ=1，得到下面两个推论：

推论 1 设

推论 2 设

和

注明 推论1和推论2改进了文献[16]和[17]中的相应结果.

在推论2中,分别令δ=0和δ=1,得到下面两个推论:

和

和

另外,在(2.20)式中利用引理可以得到下面定理2.定理2中结果是Fekete-SzegÖ问题的一个特殊情况,即二阶Hankel多项式H2(1)=|a3-a22|的上界估计.

定理 2 设 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;ø),则

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O174.51

A

1673-260X（2017）10-013-03

2017-08-03

国家自然科学基金（11561001）；内蒙古自然科学基金项目（2014MS0101）；内蒙古高等学校科学研究项目（2015NJZY240）