一道不定积分的解法与教学探讨

2017-11-02刘国祥

赤峰学院学报·自然科学版 2017年19期

关键词：积分法换元定式

刘国祥，刘众

（1.赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 024000；2.松山区职教中心，内蒙古赤峰 024009）

一道不定积分的解法与教学探讨

刘国祥1，刘众2

（1.赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰 024000；2.松山区职教中心，内蒙古赤峰 024009）

本文给出不定积分dx(a＞0）的几种换元解法.并探讨在教学中如何培养思维定式与创新意识.

不定积分；分部积分法；换元积分法；创新意识

1 积分的几种换元解法

1.1 常规第二换元法

这是一种流行的常规解法，一般的文献上都给出，例如矿爷[1]指出：

其中第二个积分中，我们设t=tanu,有

看似简单的题目，运用常规（基本）方法，运算非常复杂.其中中间一部也可以这样处理：设t=tanu.

1.2 先分母有理化，再三角换元法

这是一种典型的积分形式，运用三角变换：x=asint.

1.3 先分子有理化，再三角换元法

运用三角变换：x=asint.

以下与方法2完全一样.

1.4 直接三角换元法

根据被积函数形式特点，尝试直接换元，设x=acos2t.

1.5 凑微分法（第一换元法）

2 教学探讨

综观给出的五种解法，都属于换元积分法，其中有第一类换元法，也有第二类换元法.自然想到能不能用分部积分法？试一试.

没有变简单反而更复杂了，看来不用换元法行不通.

上边给出的五种方法，第一种是多数教材和文献上提供的常规解法，可以说是一种“定式”，按照陈文灯[2]的说法，“不管三七二十一”，这类题目都首先想到这种解法.我们也看到，这个方法运算最繁琐.第二、第三解法其实是同一种，只有不同的是有理化分母与分子的区别.中学用到多的是分母有理化，而大学中更多的是分子有理化.转化为被积函数含有式子的积分形式，采用变换x=asint,或者x=cost也成为常规.第四种换元方法是针对被积函数的特殊形式采取的，不具有一般性.被积函数式子稍有变化，可能就行不通.第五种方法最简洁，直接用积分公式.几种方法的结果形式不完全一样，从容易看出2、3、5与4一致.至于1，通过求导数或者三角变换可以推得.

在课外辅导和考研辅导时，经常有学生问，这么多方法，那种是最好的.我对学生的回答是：对你来说，你想到的那种，你会使用的那种，就是最好的.学生很难把几种方法都掌握，当然也没有必要.但是对于这类常规的、经典的题型，至少要熟练一种解法.掌握那种呢？第一，你喜欢的；第二，常规的.不要过分追求新奇的‘巧妙的’解法，熟才能生巧，不熟，“巧”，你也记不住.

作为教师，是不是每种方法都讲解呢，当然不是.有的题目，人为地也不一定能够罗列出多种解法，即使有，也不一定非得都讲.但是，对于个别的典型的题目，偶尔不妨多种解法全讲，精讲.一是让学生欣赏数学的美妙，提高兴趣感到数学可爱，学习数学是一种享受；二是扩展学生眼界，“见多”才能“识广”；三是让学生进行比较选择.无论怎么讲授，常规解法一定要介绍.那么，问题来了，解法一是常规的，也是最复杂的，或许是学生最不喜欢的.其实，除方法四之外，上述每个解法都是常规的，经典的，只是教材上没有提及.这体现了教师的水平与经验，教师的价值和作用也就体现在这里.你讲授的与教材上完全一样，学生自学吧，用教师干啥.

现在最时髦的话是创新，解题方法有没有创新呢，怎么创新呢？我们说，只有精通一门学问，充分认识了它的方法与规律，也就是说只有基本功扎实，才会有创新，创新从传统知识与经验积累中来.创新与创业最怕的是失败，甚至有时我们失败不起.解题创新从试验中来（这里我更喜欢用《概率论与数理统计》中意思相同的的“试验”一词），数学创新不怕失败，可以说失败是损失最小的，只是一支笔一张纸.好多学生数学学不好的主要原因是解题少，动笔少.让看书可以，就是不动笔.不动笔读数学书，我至今也不会.

养成习惯，看到一个题目，书上的解法算一算，其它方法试一试，或许就有创新，就有新的收获.

例如不定积分 ∫xarcsinxdx，一般的文献上都强调，这是一种“定式”，先分部积分.解题过程发现还需要用第二类换元法.