古典概型教学及其解题研究

江苏省扬州市竹西中学 宋 扬

古典概型教学及其解题研究

江苏省扬州市竹西中学 宋 扬

本文根据数学新课程标准和义务教育阶段江苏版数学教材，结合初中数学活动课的教学实践，对古典概型教学要领及解题的多种方法做了细致研究，特别是这部分内容对初中学生怎么教，怎样能对概念和方法理解得精准到位、通透，又如何掌握解题规律和技巧等问题，都做了较为详尽的阐述。

古典概型；等概基本事件组；有利场合数；树状图法；表格法；乘法原理；排列与组合

概率论与数理统计是大学数学与应用数学的重要课程和研究内容。为加快培养更多创新型人才，逐步将它的一部分基础知识下放到了高中、初中乃至小学，古典概型首当其冲。尽管概率的理论性、实践性都很强，认知过程也较为漫长，但遵照认知规律，对于古典概型，中低年级学生完全具有良好的可接受性。只要教学方法得当，循序渐进，就完全能够收到颇为理想的效果。

所谓古典概型，顾名思义，就是概率论发展史上最早被人们发现、研究并应用的概率模型，它与几何概型、统计概型、主观概型等常用概型之间都有着密切的联系。

一、古典概型的概念

1．等概基本事件组

设A1，A2，…，An是一个事件组，如果它满足下列三个条件：

（1）A1，A2，…，An发生的机会相同（等可能性）；

（2）在任意一次试验中，A1，A2，…，An至少有一个发生，即除此以外没有别的结果(完全性)；

（3）在任意一次试验中，A1，A2，…，An至多有一个发生，即不可能有两个或两个以上同时发生（互不相容性）。

则称A1，A2，…，An为一个等可能基本事件组，也称为等概基本事件组，其中任一事件Ai(i=1，2，…，n)称为基本事件。

2．概率的古典定义

如果试验的所有可能的结果可以记为一个等概基本事件组A1，A2，…，An，其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件A（即当且仅当这m个事件中任一事件发生时，事件A发生），则称比值m/n为随机事件A的概率，记作P(A)= m/n。

其中事件A所包含的基本事件数，也称为事件A的有利场合数，或有利结果数。

3．古典概型

可以根据概率的古典定义来计算随机事件的概率，这样的概率模型称为古典概型。

P(A)= m/n是概率古典定义的核心内容，它给出了古典概型中随机事件的概率计算公式。

4．古典概型的两个基本特征

（1）试验的所有可能出现的结果只有有限个（有限性）；

（2）每一个试验结果出现的机会相同（等可能性）。

5．判定等可能性的常用依据

（1）客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等试验）；

（2）某种均衡性（如摸球、抽签等试验）。

二、古典概型与概率的统计定义（统计概率）之间的联系

概率的统计定义，是指通过大量重复试验，得到某个随机事件发生的频率，并用频率的稳定值作为其发生的概率。古典概型的最大优点，就是不必做大量重复费时、耗力甚至具有破坏性的试验，只要按照简单的计算公式，就能直接计算出该事件发生的概率。但要知道，其理论与实践依据恰恰来自于概率的统计定义（统计概率）。古典概型就是满足特定条件的统计概型，所求概率也正是频率的稳定值，而且上升为理论值，是精确值。

三、几何概型与古典概型的关系

共同点是其概率均为两个数的比值，分母为试验结果总数，分子为随机事件的有利场合数。

在几何概型中，如果可以将试验结果总数（长度、面积或体积）分成有限个等份，而且随机事件的有利场合数恰好占其中若干个等份，这类几何概型就可以转化为古典概型。问题的关键是能否将无限转化为有限。反过来，几何概型可以看成是对古典概型的一种推广。

四、教学及其解题要领

1.讲清基本概念。通过各种实例，让学生感悟具体情境下的等可能性，逐步加深对等概基本事件组、古典概型的理解，举一反三。

2.对所要解决的问题，首先要确认是不是属于古典概型。这一点很重要，否则就会出错。例如，一个射手打靶，“中靶”和“脱靶”在一般情况下不是等可能的。又如，任意抛掷1枚图钉，“针尖着地”和“针尖朝上”也不是等可能的。诸如上述两个试验都不适用于古典概型。问题的关键在于试验结果是否具有有限性和等可能性。再举一个例子：不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球与摸到白球就不是等可能的。因为在这个情境中，摸到红球相对摸到白球占有一些优势，所以不能直接当成古典概型来做。但只要稍作处理，比如把这5个球编号，分别记为1，2，3，4，5，则相对于编号（即对于袋中的每一个球）来说，出现的结果就具有等可能性，从而完全适用于古典概型。

3.考察等概率基本事件组。有时候，等概基本事件组不是唯一的，可供选择。一般情况下，选择基本事件的总数越少，解决问题也就越简便。

4.先分别计算公式中的分母和分子，然后求比值，即为所求概率。分母是基本事件的总数，分子是相应事件所包含的基本事件数，即有利场合数。

5.运用多种方法实施计算：（1）树状图法；（2）表格法；（3）根据乘法原理；（4）根据排列与组合的基本知识；（5）根据概率的运算性质。上述方法各有自身的特点、优点和缺陷。对于不同的具体问题、不同的认知阶段，可灵活采用不同的计算方法，并从中总结出相应的规律。

6.不同计算方法的适用场合。

（1）计算简单随机事件发生的概率，即当试验出现的结果较少时，可用树状图法或表格法。优点是直观、整齐有序、一目了然，初学者容易理解和接受。

（2）当试验步骤分为三步（或以上）时，不宜使用表格。

（3）初中前阶段，宜采用列举法（画树状图或列表），帮助计算。

（4）初中后阶段，可介绍乘法原理，并实施计算。

（5）当试验出现的结果较多时，往往需要运用乘法原理或排列与组合的基本知识加以计算。

五、古典概型解题实例与一题多解

在初中，通常用树状图或表格列出所有等可能的结果，不出错，不遗漏，也不重复。得到基本事件的总数，然后从中找出所讨论的随机事件的有利场合数，从而求出相应事件的概率。等到学习了乘法原理、排列与组合的基本知识以后，还可直接计算出基本事件的总数以及某事件的有利场合数，即可求出该事件的概率。

文中解题过程中，在使用排列数或组合数符号计算的等号后面，紧接着写出了详细数字，是为了看清楚，让初中学生在还没有学习排列与组合知识的情况下，能运用乘法原理有效实施计算。

为书写简洁起见，同一题中的同一随机事件除首次出现外，均用J表示。

例1 一个均匀的小立方体，每两个相对的面上分别画有相同的图案。抛掷这个小立方体2次，求朝上一面出现相同图案的概率。

解法一：将图案分别用1、2、3表示，画树状图或列表，列出所有等可能出现的结果：

【注】上述解法一、二中，所选等概基本事件组的基本事件总数为9，而以下的解法三、四中，所选等概基本事件组的基本事件总数为36。

解法三：按图案代号1，1，2，2，3，3，画树状图（略）或列表：

例2 有两道选择题，每道题所给的4个选项中，只有1个选项是正确的。如果从每道题的4个选项中任选1项，那么两道选择题全都正确的概率是多少？

解法一：设每道选择题的选项分别为A、B、C、D。列表如下：

可见等概基本事件组的基本事件总数是16，两道题各自无论哪一个选项是正确的，由于4个选项中只有1个是正确的，从而两道题选择全都正确只有1种情形，即有利场合数是1。所以P（两道题选择全部正确）

解法三：记Ai=“第i道题选择正确”，i=1，2。显然，事件A1，A2相互独立，于是有

例3 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同。（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀 ，再从中任意摸出1个球。求2次都摸到红球的概率；（2）将球搅匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个红球的概率。

（1）解法一：将红球编号，分别为红1、红2。

画树状图（略）或列表：

共有9种等可能的结果，其中2次都摸到红球有4种情形。所以P（2次都摸到红球）

解法三：记Bi=“第i次摸到红球”，i=1，2。显然，事件B1，B2相互独立，于是有

（2）解法一：相当于先任意摸出1个球，不放回，再任意摸出1个球。

画树状图：

列表：

共有6种等可能的结果，其中摸到2个红球的情形只有2种。所以P（摸到2个红球）

【注】上述解法一、二都是考虑顺序的，所选等概基本事件组的基本事件总数为6，而在解法三中，所选的等概基本事件组是不考虑顺序的，其基本事件总数为3。

例4 有两副完全相同的手套（分左、右手），从中任意拿两只。求这两只手套恰好配成一副的概率。

解法一：相当于先任取一只，不放回，再任取一只。用树状图（略）或表格列出所有等可能出现的结果：

【注】解法三最为简便，这里所选的等概基本事件组，其基本事件的总数为6。

例5 用抽签方法从3名同学中选1名出席某场音乐会。先准备3张相同的纸条，并在其中1张上画个记号，分别卷好放在1个盒子中摇匀，然后让3名同学先后从中各抽取1张（抽出的纸条不放回），抽到纸条上画有记号的称为中签，将出席这场音乐会。试叙述抽签方法是公平的。

解法一：不妨设甲、乙、丙3名同学抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三；3张纸条中，画有记号的纸条记作A，另外2张记作 B1，B2。

用树状图（略）列出所有等可能出现的结果，共有6种，并且从中找出甲、乙、丙中签各有2种情形。

例6 一批产品共有50个，其中45个是合格品，5个是次品。从这批产品中任取3个，求其中有次品的概率。

解法一：记A=“取出的3个产品中有次品”；Ai=“取出的3个产品中恰有i个次品”，（i=1，2，3）。

显然， A1，A2，A3是三个互不相容事件，且有A=A1+A2+A3。

【注】所求得的概率若用分数表示，就是精确值。

与例题相配套的有课堂练习题和课后习题，用以复习巩固。类型基本相同，稍有提高。限于篇幅，暂且略去。

[1]杨裕前，董林伟．等可能条件下的概率，数学教师教学用书（九年级上册）[M]．南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016．

[2]陈家鼎，刘婉如，汪仁官．古典概型，概率统计讲义（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1998．