好玩的速成的“亚幻方”

哈尔滨师范大学研究生 马正方

好玩的速成的“亚幻方”

哈尔滨师范大学研究生 马正方

本文推出了好玩的速成的“亚幻方”，比传统幻方容易推广普及，从而成为素质教育的好教材，彰显数学文化的正能量。

亚幻方；平分；斜线；泛对角线；素质教育

幻方属于中华优秀传统文化，古典《易经》就有记载。然而，由于编制幻方的程序比较复杂，很不利于推广普及。简单是真理的标志。因此，笔者采取变通的措施，创造出一种“亚幻方”，好玩速成，有利于推广普及。“亚幻方”不完全符合传统幻方的定义，而是其中一部分符合幻方的定义。以往编制N阶幻方，N的取值不同，所采用的方法也不同。然而“亚幻方”就没有取值的约束了，不论N取值多少，都通用一种方法，速成快捷，精准无误，从而使得亚幻方各行各列以及2N条泛对角线之中的数字连加之和存在许多相等的情况，尤其是四阶的亚幻方更为显著。所谓N阶幻方是指该幻方每行每列都是几个格子，是几个格子就称几阶幻方。如图1所示，N阶幻方有2N条泛对角线。

图1

“1、6、11、16”和“4、7、10、13”这样两条主对角线，其他次对角线（如同被折断的主对角线）分别是“13、2、7、12”、“9、14、3、8”、“5、10、15、4”、“1、8、11、14”、“2、5、12、15”、“3、6、9、16”，这样共六条次对角线，主次对角线统称泛对角线。N阶幻方都如此这般体现泛对角线。

例1 编制一个三阶亚幻方。因为三阶之“3”是奇数，首先写出（3×3+1）个连续的自然数（不要求非从1开始写，不过从1开始数字较小，作为例题尤显简明），并且平分成两列来表示：

如斜线所示，从左至右每四个数字为一组，对斜线两端的数字进行交换，从而形成如下状况：

7、2、9、4、5

6、1、8、3、10

进而把交换之后形成的前九个数字从左至右、从上至下依次安排在三阶方阵所需要的九个格子内（从左至右、从上至下各就其位），如图2所示：

图2

两条主对角线：7+5+3=9+5+1=15；中间的一行一列：2+5+8=4+5+6=15；两边的两行两列：9+6+3=7+2+9=18，7+4+1=1+8+3=12；其他泛对角线：1+2+6=2+4+3=9，4+8+9=7+6+8=21。

例2 编制一个四阶亚幻方。因为四阶之“4”是偶数，首先写出（4×4）个连续自然数，并且平分成两列：

如斜线及例1所示，数字交换之后形成：

10、2、12、4、14、6、16、8

9、1、11、3、13、5、15、7

进而把交换之后的十六个数字如例1所示安排在四阶方阵的十六个格子内，如图3所示：

图3

八条泛对角线上的数字：10+6+11+7=4+16+1+13=34，其他六条泛对角线上的数字也都等于34（13+2+16+3=9+5+12+8=14+1+15+4=10+8+11+5=2+14+3+15=12+6+9+7）。

例3 编制一个五阶亚幻方，因为五阶之“5”是奇数，首先写出（5×5+1）个连续自然数，并且平分成两列：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13

14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26

如例1和例2所示，数字交换之后形成：

15、2、17、4、19、6、21、8、23、10、25、12、13

14、1、16、3、18、5、20、7、22、9、24、11、26

进而把交换之后的前二十五个数字（26除外）如例1和例2所示安排在五阶方阵的二十五个格子内，如图4所示：

图4

中间一行一列的数字和两条主对角线上的数字都等于65：17+8+13+18+9=25+12+13+14+1=7+3+13+23+19=15+21+13+5+11=65；其他六条泛对角线的数字：7+2+8+14+20=25+3+9+4+10=4+8+12+16+11=51；16+22+17+23+1=6+12+18+24+19=15+10+14+18+22=79。

数学大师陈省身说“数学好玩”。数学具备独特的深刻性和哲理性。亚幻方数形结合，具有一定的游艺性，取用多少阶亚幻方可任意选定，少则三阶，多不封顶，并且自然数是无穷的，如此这般，张力无限，产生出乎意料的戏剧性和多变性，十分有助于培养观察、分析、想象、计算、探索等能力，不失进行素质教育的好教材，彰显数学文化的正能量。

数学大世界，景点千万个。劝君多游玩，此生不白活！