非高斯噪声环境中基于梯度范数的自适应滤波算法*

冯子昂, 胡国平, 匡旭斌, 周 豪

(1 空军工程大学防空反导学院, 西安 710051; 2 93861部队, 陕西三原 710000)

非高斯噪声环境中基于梯度范数的自适应滤波算法*

冯子昂1, 胡国平1, 匡旭斌2, 周 豪1

(1 空军工程大学防空反导学院, 西安 710051; 2 93861部队, 陕西三原 710000)

针对传统最小均方类算法在非高斯噪声中自适应滤波性能下降的问题,提出了一种基于梯度范数的变步长归一化最小平均p范数算法。算法将α稳定分布作为非高斯噪声分布模型,依靠梯度范数与均方权值偏差(MSD)的关系自适应调整步长,加快收敛速度的同时减小稳态误差,理论推导证明了算法的有效性。仿真结果表明,在非高斯噪声条件下,该算法具有更好的收敛性能和抗突变能力以及更小的稳定误差。

α稳定分布;自适应滤波;梯度范数;归一化最小平均p范数算法

0 引言

在传统的信号处理领域中,基于高斯分布的白噪声模型广泛应用于接收机的设计之中。在理想的高斯白噪声假设下通常可以得到信号处理问题的闭式最优解,从而能够降低信号处理算法和接收机结构设计的复杂程度[1]。但是在实际问题中,具有明显的尖峰脉冲和长拖尾特性非高斯信号和噪声广泛存在,如低空环境下的杂波、大气噪声以及海洋噪声等。在这种噪声条件下,基于高斯假定下的信号处理算法的性能将会急剧下降甚至失效。α稳定分布作为唯一一类满足中心极限定理的分布,能够描述多个独立同分布随机变量之和的极限分布[2-3],又有实测数据作支撑,在描述具有尖峰脉冲特性的非高斯信号时具有广泛的适用性。

基于高斯假定的时域自适应滤波系统中常用的算法是基于最小均方误差(minimum mean square error,MMSE)准则的最小均方(LMS)类算法和递归最小二乘(RLS)类算法。由于α稳定分布不存在二阶及二阶以上矩,因此以上两种算法在α稳定分布噪声环境中无法发挥出最佳性能。针对这一问题,Shao和Nikias在最小分散系数(minimum dispersion,MD)准则的基础上率先提出了最小平均p范数(LMP)算法[4-5];Belge和Miller受RLS算法的启发,提出了利用加权最小二乘的RLP算法[6]。为了兼顾收敛速度和稳态误差,人们对变步长LMS算法进行推广[7-12],文献[13]提出了一种变步长LMP算法,提高了算法的性能,但是该算法需要已知信噪比这一条件,在实际应用中仍存在诸多困难。因此文中在众多变步长NLMS算法的基础上,借鉴Shin提出的最优化变步长LMS算法[9]的思想,研究了一种变步长LMP算法,算法利用梯度范数与均方权值偏差之间的关系,实现梯度范数对迭代步长的控制,并分析证明了算法的稳定收敛性。最后利用仿真验证了算法的相关性能。

1 非高斯α稳定分布噪声模型

Levy在研究广义中心极限定理时提出了α稳定分布,该分布的概率密度函数无闭式解,通常用特征函数来描述其分布特征[1]。α稳定分布的特征函数可表示为:

φ(t)=E{exp(jtx)}=

exp{jδt-γ|t|α[1+jβsgn(t)ω(t,α)]}

(1)

式中:

(2)

(3)

其中:

1)α∈(0,2]为特征指数,与分布的拖尾厚度紧密相关。当α的值越小时,分布的拖尾越厚,非高斯特性也就越明显。

2)β∈[-1,1]代表偏斜参数,用来描述分布的对称特性,β=0时的分布被称作对称α稳定分布,即SαS。

3)γ>0代表分散系数,用来描述分散程度。

4)δ∈(-∞,∞)对应于分布位置参数,对于SαS,δ表示分布的均值(1<δ≤2)或中值(0<δ≤1)。

由此可见,α稳定分布具有的4个参数即可确定一个稳定分布的特征函数,改变不同的分布参数几乎可以描述所有的噪声统计特征,十分灵活,因此作为非高斯噪声模型具有广泛的适用性。同时α稳定分布存在几种特殊形式[14],即α=2时的高斯分布及α=1,β=0时的柯西分布和α=0.5,β=-1时的Levy分布。

2 基于梯度范数的变步长NLMP算法

2.1NLMP算法

对于一个M阶FIR自适应滤波器,滤波器在k时刻的输出为:

(4)

(5)

式中:d(k)=xT(k)wopt(k)+v(k)是期望响应,wopt(k)是最优权系数,v(k)是服从α稳定分布的噪声。

由分数低阶矩理论可知,对于任意的1≤p<α,服从SαS分布的随机变量的分数低阶矩与其p范数成正比,且其所有分数低阶矩都是等价的,那么该自适应滤波器的代价函数可表示为:

(6)

用误差的统计平均代替瞬时值,并对代价函数求偏导,得到代价函数的瞬时梯度估计值:

-p|e(k)|p-1sign(e(k))[x(k)]

(7)

因此可知算法的权系数更新方程为:

(8)

式中：μ>0,1≤p<α。μ为步长,控制收敛速度和稳态误差。根据NLMS算法的思想,在式(7)中对瞬时梯度进行归一化,则可得到NLMP算法的权系数更新公式为:

(9)

式中：λ为一适当的小正数,用来避免分母为零的情况。NLMP算法有效改善了LMP算法中存在的梯度噪声放大的缺点,提高了算法的收敛速度和稳定性,同时从式(9)可以看出,当p=2时,NLMP算法就会退化为NLMS算法,因此具有广泛的适用性。

2.2 改进的变步长NLMP算法

文中利用梯度矢量与MSD之间的联系,提出了一种基于梯度范数的变步长NLMP算法,首先对梯度矢量进行平滑,然后利用平滑梯度矢量的欧氏范数控制迭代步长,在迭代的初始阶段,较大的均方误差使得步长相对较大,算法的收敛速度也相对较快;当自适应滤波器的权系数接近最优值时,系统收敛,迭代步长随着均方误差逐渐减小,进而降低了稳态误差,提高了系统的稳定性。

算法的步长和权值更新公式如下:

(10)

(11)

(12)

3 稳定性分析

(13)

则该平滑梯度向量欧氏范数平方的期望为:

(14)

(15)

将式(15)代回式(14),则有:

(16)

在式(16)中,假设i≥K时,系统达到稳定状态,式中忽略K之前的项是因为此时这些项的值趋近于零。

对式(12)进行如下处理:

(17)

式中：令

当i≥K时系统达到稳定状态。由于1≤p<α<2,所以对于有限功率的输入信号x(k),都有E{‖x(k)‖2|e(k)|2(p-1)}<∞,因此文中提出的算法在非高斯α稳定分布噪声条件下是可以收敛的。

4 仿真分析

仿真一 特征指数α对算法收敛性的影响

由于α稳定分布不具有2阶以上的高阶矩,因此α稳定分布不具有功率的概念。此时的广义信噪比可表示为:

(18)

仿真二 弱噪声环境下算法收敛性

设定广义信噪比GSNR=20 dB以模拟弱噪声环境。算法参数ρ、μmax、λ的设置与仿真一相同。非高斯噪声的特征参数α=1.5。将Shin算法作为与文中算法进行对比的变步长LMS算法,其参数设置同上所述,这种设置可以使Shin算法的性能达到最佳[16]。文中算法和Shin算法的初始步长均为0。图3给出了弱噪声环境下权系数误差与迭代次数的关系曲线。从图中可以看出,相较于Shin算法和固定步长的NLMP算法,文中提出的VSS-NLMP算法在初始阶段具有最快的反应速度,并且在迅速达到了稳态的同时显著降低了系统的稳态误差。

仿真三 强噪声环境下算法收敛性

设定广义信噪比GSNR=0 dB以模拟强噪声环境。算法参数设置为ρ=0.99,μmax=0.05,λ=1,初始步长为0。非高斯噪声的特征参数α=1.5。Shin算法的参数设置与上述相同。从图4中可得到强噪声环境下权系数误差与迭代次数的关系曲线。虽然稳态误差较弱噪声环境中有所增大,但是VSS-NLMP算法依然比其他两种算法具有更快的反应速度,能够迅速达到稳态并较好的降低了稳态误差。由此可以看出,文中提出的算法强噪声和弱噪声环境中都有较好的性能。

仿真四 系统突变时算法收敛性

设定广义信噪比GSNR=20 dB,其他参数设置与仿真二相同。假设当迭代次数为2 500时,系统参数发生一次突变,之后恢复正常。图5为权系数误差在突变前后的收敛曲线。由以上图可以看出,尽管在迭代过程中系统参数发生了突变,相较于其他两种算法,本算法依然能够迅速反应并在短时间内恢复收敛,具有良好的抗突变性能。

5 结语

服从α稳定分布的非高斯噪声广泛存在于工程实践之中,而传统LMS类自适应滤波算法在这类噪声环境中性能会发生退化。文中提出了一种基于梯度范数的变步长归一化LMP算法,该算法利用梯度范数与MSD之间的关系自适应的调整迭代步长。最后通过仿真考察了非高斯噪声特征指数α对算法性能的影响,比较了文中算法和Shin算法、NLMP算法在强、弱噪声环境的性能,仿真结果显示在非高斯α稳定分布环境中所提算法不仅提升了收敛速度还降低了稳态误差,使得算法性能得到了较大提高,并且在抗系统突变方面也有良好的表现。这种算法在通信、雷达信号处理等领域有着良好的应用前景。

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AnAdaptiveFilteringAlgorithmBasedonGradient-norminNon-GaussianEnvironment

FENG Ziang1, HU Guoping1, KUANG Xubin2, ZHOU Hao1

(1 Air and Missile Defense College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China; 2 No.93861 Unit, Shaanxi Sanyuan 710000, China)

Conventional least mean square(LMS) algorithms meet declines of performance in non-Gaussian environment. A new variable step-size normalized least mean p-norm algorithm based on gradient-norm is proposed. The new algorithm assumes that the non-Gaussian noise satisfies alpha stable distribution, and the step size is adaptively adjusted by the relationship between mean square departure (MSD) and the gradient-norm. Through the relationship, the convergence rate is accelerated and the steady state error is decreased at the same time. The performance of the proposed algorithm is confirmed by theoretical derivation. Simulation results show that the proposed method has faster convergence rate, smaller steady state error and better performance of anti-saltation in non-Gaussian environment.

α-stable distribution; adaptive filtering; gradient norm; normalized least meanp-normalgorithm

TN911.72

A

2016-05-20

国家自然科学基金(61372166);陕西省自然科学基础研究计划(2014JM8308)资助

冯子昂(1993-),男,山东济宁人,硕士研究生,研究方向:雷达信号与信息处理。