“设而不求”

陈金华

摘要：设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。

关键词：数学解题；设而不求；举例

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）20-051-1

一、整体代入，设而不求

在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。

例1已知等比数列{an}中，Sm=16，S2m=64，求S3m。

解：设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，

于是a1（1-qm）1-q=16①a1（1-q2m）1-q=64②，

②÷①得1+qm=4，则qm=3，

所以S3m=a1（1-q3m）1-q

=a1（1-qm）1-q（1+qm+q2m）

=16×（1+3+32）

=208。

二、转化图形，设而不求

有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。

例2设a、b均为正数，且a+b=1，求证2a+1+2b+1≤22。

证明：设u=2a+1，v=2b+1（u>1，v>1），u+v=m，

则u、v同时满足u+v=mu2+v2=4，

其中u+v=m表示直线，

m为此直线在v轴上的截距，

u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。

由图易得mmax=22，

即2a+1+2b+1≤22。

三、适当引参，设而不求

恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。

例3已知对任何满足（x-1）2+y2=1的实数x、y，如果x+y+k≥0恒成立，求实数k的取值范围。

解：设x=1+cosθy=sinθ（θ∈R），则

g（θ）=x+y+k

=sinθ+cosθ+1+k

=2sin（θ+π4）+1+k

≥-2+1+k，

令-2+1+k≥0，得k≥2-1。

四、巧设坐标，设而不求

在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。

例4设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O。

证明：设点A（2pt21，2pt1）、B（2pt22，2pt2），则点C（-p2，2pt2），

因为AB过焦点F，

所以2pt1·2pt2=-p2，

得t1t2=-14。

又直线OC的斜率kOC=2pt2-p2=-4t2=1t1，

直线OA的斜率kOA=2pt1-02pt21-0=1t1，则kOC=kOA，

故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。

五、活用性质，设而不求

解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。

例5求证1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）

证明：设xn=1n+1+1n+2+…+12n-1324，

则xn+1=1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2-1324，

由xn+1-xn=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2>0可知：数列{xn}为单调递增数列。

又x2=13+14-1324>0，

则xn>0（n≥2，n∈N*），

即1n+1+1n+2+…+12n>1324（n≥2，n∈N*）。

六、恒等变形，设而不求

某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。

例6求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值。

解：设M=cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，

N=sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，

则MN=sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17cos8π17

=128sin2π17sin4π17…sin16π17

=128sinπ17sin2π17…sin8π17

=128·N，

而N≠0，故M=128=1256。

以上例題中，方法多样，其中例1可以用构造法，例2设参法，例3几何法，例5逼近法，例6补项法，速度和准确度比“设而不求”更方便。但是，“设而不求”的处理，可以打开学生的一道心扉，从而转变他们的思维和计算方式，为后面的数学学习增添无穷的动力和乐趣。endprint