例谈函数与方程思想在解三角形中的渗透

2017-10-31于光香

中学课程辅导·教师教育（上、下） 2017年20期

关键词：解三角形方程思想函数思想

于光香

摘要：函数与方程思想是中学数学重要思想方法之一，三角形是数学中最基本的图形。在研究三角形的边长和角度之间的数量关系中，需要运用函数与方程思想。本文从三个角度阐述函数与方程思想在解三角形这章中的渗透。

关键词：解三角形；函数思想；方程思想

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）20-027-2

三角形是数学中最基本的图形，解三角形这章的教学目标是指通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程组与不等式组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

本章的知识内容体现了多种多样的数学思想方法，本文着重谈函数与方程的思想在解三角形中的应用。

一、整体把握，一览众山小

在数学教学中，教师通过教学渗透，让学生能够站在数学思想的高度去看待数学知识和找到解决问题的入口。在解三角形中，主干知识就是两个定理，分别是正弦定理：asinA=bsinB=csinC和余弦定理a2=b2+c2-2bccosA。我们在得出定理后，重点要从方程的角度帮助学生理解定理的应用。这两个定理中涉及到三个边和三个角共六个量，只要知道其中三个独立的量就能求出其余三个量，再推广到一般情况：如果一个三角形已知三个条件，这个三角形就是确定三角形，其他量就能通过正弦定理、余弦定理和其他公式求出。如果题目中方程的个数少于变量的个数，解题的方向就是“消元”即减少变量的个数。如果变量最终减少到一个，这时我们就动用函数的思想，设未知量，寻求目标量与未知量之间的关系，即建立未知量和目标量之间的方程关系，然后用未知量表示目标量，问题就转化为研究函数关系，运用函数思想来解决问题。

二、扎实训练，处处有风景

在数学教学中，通过指导学生，让学生切实能学到扎实的知识和基本技能，不能让学生做数学题时没有方向，也不能眼高手低。

例1：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB=5，bsinA=12，求a。

分析：此题中显现条件有两个，未知量是四个，求a的确定值。解题的方向应该是“消元”，由4个变量减少到2个，用方程组继续消元得到a。

解：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得asinB=bsinA，又因为bsinA=12，所以asinB=12①，

由已知acosB=5②，

①2+②2得，a=13。

例2：在△ABC中，若a+2c=2b，sinB=2sinC，求cosA。

分析：此题中，未知量的个数达到了5个，因为目标量是cosA，是个比值，所以我们只需要知道a、b、c之间的关系即可求得。由正弦定理把角转化为边，變量减少到3个，方程有两个，于是就能用其中一个量表示另外两个量，从而余弦值水到渠成。

解：由正弦定理得sinBsinC=bc，于是b=2c①，

把①式代入到a+2c=2b，得a=2c②，

把①、②代入到cosA=b2+c2-a22bc，得出cosA=24。

在数学教学实践中，学生遇到的困难比我们想的还要多。在例1中，学生会把sinB和cosB看成两个变量，没有理解sinB和cosB是角B的两种表示方式。在例2中，学生遇到两个方程三个变量时，找不到化简的方向，“消元”的思想和方法都欠缺。例3中，学生化简到c=a，得出三角形是等腰三角形，对解三角形了解不彻底。例4和例5是两道综合题，学生对如何选择变量，如何找变量与目标量之间的路径都有待于教师指导并实践。在教学中，我们不仅要手把手教学生如何去想，如何去做，更要在课堂上留时间让学生去想，去做，去表达。对学生解决问题过程中出现的任何细节问题，教师都不能一带而过。我们要通过扎实的训练，让学生在做题时题题有收获，处处有风景。

三、一题多解，条条大路通罗马

在数学教学中，往宽处行，就是通过一题多解，拓宽学生的解题思路，给自己解题留有足够的空间。

例3：在△ABC中，若b=2，c=1，B=45°，求a。

分析：这道题学生最容易想到的是用正弦定理，得出sinC，再得出角A，用余弦定理得出边a。其实这道题最佳方法是用方程思想，用余弦定理直接就能求出a。

解法1：由正弦定理，得出sinC=12，C=30°或150°，

因为A+B<180°，所以C=30°，从而A=105°，

再由正弦定理，得出a=6+22。

解法2：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得a2-2a-1=0，

解得a=6+22或a=2-62（舍）。

例4：在△ABC中，若cosA=45，cosC=513，a=1，求b。

分析：题目中已知角A、C和边a，解决问题的途径1为：由正弦定理求出边c，再由正弦定理求出b；途径2为：由A+B+C=π，求出角B，再由正弦定理求出边b。