导数在抛物线运动中的应用

尹海钦

导数是高中数学中的一个学习内容，也是数学应用较为广泛的一个知识点。经常见到的数学问题可以运用导数进行求解外，抛物线运动相关题目中，也可以运用导数进行求解。抛物线运动是生活中经常见到的运动学问题，在解决这一问题时除了常规解法外，导数也是一种经常利用的求解方法。本文主要对导数在抛物线运动中的应用进行了分析，以加强导数运用的理解和认识。

平抛运动是抛物线运动中的一种重要形态，历年高考中都会出现跟平抛运动相关的题目，因此平抛运动是高考中的一个重要出题方向。根据这一情况，高中学生在学习中应重视平抛运动相关知识的学习和复习，将其看作一个重要知识点。并在理解平抛运动基础上，学会总结平抛运动相关规律，学会解决平抛运动实际问题。在理解平抛运动时，可以将其看作是匀速直线运动、自由落体运动的结合。如表1为平抛运动的相关基础知识，如图1为平抛运动示意图。

在平抛运动中有，x方向上有[vx=v0]；y方向上有[vy=gt]，根据导数定义对x、y方向进行求导得到有：[dvxdt=0，dvydt=g]。从以上公式中可以看出对于x方向上的速度与时间的微变量关系是0，这表示速度在每时刻t的变化为0也就是匀速运动；对于y方向上的速度和时间的微变量为g，这表示速度在每时刻t的变化为g。从以上导数推到中可以看出学生只需要掌握导数的相关概念，便可推导出平抛运动中先关公式，这样减少了记忆难度。下面是导数在平抛运动中的实例分析。

例1 求解平抛运动中初速度的方法如图2所示为平抛运动轨迹。在该轨迹中，O为物体平抛点，物体经过平抛运动后，对轨迹中的某一点进行测量，该点坐标为（60，45），求解该物体做平抛运动时的初速度。

解：从题中可知x方向的位移sx=60，y方向是的位移为sy=45。根据导数在平抛运动中的应用可知，有[dsxdt=v0，dsydt=gt]。这样有[sx=v0t，sy=12gt2]。将[sx]平方的到[sx2=（v0t）2]，最终可以计算出[v0=xg2y]，带入数据最终得到[v0=2m/s]。

1.在类平抛运动中的应用。质量为m的小球在如图3所示的斜面中进行抛物线运动。小球从A点水平抛出，抛出速度为V0。抛出后，小球在斜面上进行运动，直至B点。假设小球从A点抛出时的高度为h，求小球在该斜面上进行运动时所花费的时间？当小球运动到B时，小球的速度是多少？

解析：小球在斜面上运动时出的抛物线运动为平抛运动，斜面向下加速度[a=gsinθ]。

假设小球从A至B的运动时间为t，由题可知[hsinθ=12at2]，求出运动时间[t=1sinθ2hg]。

假設小球m斜面向下速度为vy。

则小球运动到B的速度为[v=v20+v20=v20+2gh]。

2.在复杂平抛运动中的应用。已知物体在平面上运动，y方向的位移与时间关系是[ys=5t2+5t]，在x方向上的位移与时间关系是[xs=6t3+5t2+6t]，求t=2s时物体的运动速度。

解析：根据[dysdt=vy]表示t时刻在y方向上的速度，这样可以计算出[vy=10t+5]，同理可以计算出[vx=18t2+10t+6]，最终得到速度[v=vx2+vy2]，带入数据得到[v=vx2+vy2=101.13m/s]。

抛物线运动是物理学运动中的一种重要形式，也是生活中常见的运动形式。因此不管是日常生活中，还是高考题目中，都经常出现求解抛物线运动的问题。解决抛物线运动的方法很多，其中导数是一种有效解决抛物线运动的知识点。导数作为高中数学中出现次数最多、应用最广泛的知识点，如何利用导数解决抛物线运动问题是每个高中生都应掌握的解题技巧。endprint