简析向量与其他数学知识的交叉运用

谭海峰

1引言

向量是数学量具有方向性的概念，此外向量本身含有坐标，正是由于向量的这两个特点，如果将向量和其他数学知识交叉运用，会使解题过程大为简化。本文选取了高中数学三个常见的知识点：平面几何、函数、数列，分别阐述了向量这一“工具”与这三个知识点的结合和运用，为建立高中生“向量思维”提供了一定的参考。

2向量和平面几何的结合

几何图形是向量的来源，将向量和平面进行交叉运用可以很方便的求解出许多问题。例如在△OAB中，坐标原点设为O，A点的坐标为（1，cosθ），B点的坐标为（sinθ，1），θ在（0，π/2]之间取值，对△OAB的面积求最大值。

设三角形OA和OB的夹角为α，向量[OA]的坐标为（1，cosθ），向量[OB]的坐标为（sinθ，1），△OAB的面积如式（1）所示：

[S?OAB=12OA?OBsinα=12OA?OB1-cos2α=12OA2?OB2-（OA?OB）2] （1）

将向量的坐标代入式（1）中可以得到△OAB面积的表达式，如式（2）所示：

[S?OAB=121+cos2θ（sin2θ+1）-（sinθ+cosθ）2=12sinθcosθ-1=12（1-12sin2θ）] （2）

由于θ的取值范圍为（0，π/2]，2θ取值范围为（0，π]，因此sin2θ的取值范围为[0，1]。当θ为π/2时，sin2θ等于0，此时△OAB的面积最大，为1/2。

向量与平面几何的结合点在向量中数量积概念，利用这个向量知识点可以更方便的对平面几何进行求解。

3向量和数列的结合

向量本身是带有坐标的，将向量看作序列，此时就会与数列的相关知识结合。以下用具体实例进行说明。假设存在某一系列的向量[an]，这些向量都是非零的。其中[a1]的坐标为（x1，y1），[an]的坐标为（xn，yn），其中横坐标和纵坐标满足如式（3）所示的关系：

[xn=12（xn-1-yn-1）yn=12（xn-1+yn-1）] （3）

式（3）中n≥2，根据式（3），[an+1]可以表示为式4：

[an+1=12（xn-yn）2+（xn+yn）2=122x2n+y2n=22an] （4）

由式（4）可得[an+1]/[an]=[22]，也就是说[an]实际上是一个等比数列。

向量与数列的结合点在于如何将向量的相关知识和概念进行转化，最终形成具有某一特性的数列，之后根据数列的定义进行求解。

4向量与函数的结合

向量在函数中的应用主要是利用式（5）所示的不等式对函数的最值进行求解：

[a-b≤a±b≤a+b] （5）

设存在一个函数，如式（6）所示，对该函数的最小值进行求解：

[y=x2-2x+5+x2+1] （6）

首先设向量[a]和向量[b]，这两个向量的坐标分别为（1-x，2）和（x，1），函数和两个向量的关系为y=[a]+[b]，根据式（5）所示，y满足式（7）所示的不等式：

[y=a+b≥a±b=（1-x+x）2+（2+1）2=10] （7）

也就是说函数y的最小值为[10]，式（7）成立的条件是两个向量必须是相同方向的，且两个向量在同一条直线上，也就是说x满足式（8）所示关系：

[（1-x）×1-x×2=0] （8）

此时x=1/3，即x=1/3时函数y取最小值[10]。

从上述分析中可以看出向量与函数的结合点在于构造合适的向量，用构造的向量表示函数。

5结论

综上所述，向量在许多数学知识都存在交叉运用，这种价差运用的基础其实就是向量的概念。在解题中如果能够活学活用向量思维，可以将复杂的证明或求解过程简单化，大大提高解题的速度。endprint