求数列通项公式方法的研究

王旭辉

1数列通项公式的概念

所谓的数列通项公式，就是指数列{an}的第n项与序号n之间的关系公式，其类似于函数问题中的解析式，通过通项公式，便可迅速求得任意一项的具体数值或者前n项的总和等，由此可见，求通项公式是解决数列问题的关键所在，因此，只有切实掌握各种数列通项公式方法，才能有效解决各类数列问题。

2数列通项公式的方法

2.1观察法

观察法指的是从横向和纵向两个角度来观察目标数列的特征，横向角度观察各项之间的关系，纵向角度观察各项与序号n之间的关系，其后将观察所得的横纵向规律进行整合，以此来得到数列的通项公式，总的来说就是对数列规律进行总结，一般适用于选择或填空题型，流程可概括为观察→概况→得出结论。

例如 已知数列{an}的前4项依次为11、102、1003以及10004，求an的值。

解：通过观察可得：11=1+10，102=2+102，1003=3+103，10004=4+104，

由此可得an=n+10n。

2.2公式法

在数列教学中，等差数列和等比数列是最为常见的两种数列形式，因而其也是解决数列问题的关键突破点，因此，学生必须牢牢掌握这两种数列的相关基础知识以及两种数列形式之间的关系。通过将等差数列概念中的减号更改为除号，将通项公式中的加号更换为乘号，倍乘更换为乘方，便可得出等比数列的概念及其通项公式，而这也使得我们可以进行两种数列形式性质的类比应用。

2.3归纳法

应用归纳法求解数列的通项公式一般分为三个步骤，依次是：第一，按照次序罗列出数列前面的几项；第二，对数列前面几项的结构规律进行分析，并对该数列的通项公式进行初步猜想；第三，运用归纳法对猜想进行证明。该种方法的关键点在于第二个步骤，即通过观察和分析数列前几项的结构规律，进而归纳出整個数列通项公式的结构规律，因此，罗列出来的观察数列项不宜过少，否则难以进行通项公式的结构猜想。

例如 已知在数列{an}中，假设a1=1，an+1=[anan+1]（n∈N），求该数列的通项公式。

解：依次设n=1，2，3，

由此可得a2=a1/a1+1=1/1+1=1/2，

a3=a2/a2+1=1/2/1/2+1=1/3，

a4=a3/a3+1=1/3/1/3+1=1/4。

又∵a1=1=1/1

∴猜想可得该数列的通项公式为an=1/n（n∈N）。

（证明步骤略）

2.4待定系数法

该种通项公式方法一般适用于求解题型为an+1=pan+q（p，q均为常数）的递推数列，即可先假设an+1-t=p（an-t），其后再设法求出参数t的值。

例如 已知在数列{an}中，an=2an-1+1（n≥2），其中a1=1，求该数列的通项公式。

解：设（an+x）=2（an-1+x），

由此可得an+1=2（an-1+1），

∴{an+1}为数列首项为a1+1=2，公比为2的等比数列，即an+1=2n，

∴该数列的通项公式为an=2n-1。

3结论

总而言之，通过考查数列通项公式的运用，既可有效了解学生对于数列知识的理解程度，又能进一步促进学生逻辑能力和变通思维的提高。因此，通过研究数列通项公式的方法，归纳总结其中的内在规律，能有效加强学生对于数列问题的解决能力，进而提升学生的发现、分析和解决问题的能力以及逻辑推理能力。endprint