寻找自然底数e的来源

任浩然

摘 要：自然底数e在数学中有各种良好的性质，从指数函数到对数函数，再到两者的导数，e都展示着其独有的性质。那么，自然底数e究竟是怎么来的呢？e来源于一个数列的极限。

关键词：自然底数 极限 独有的性质

一、一个故事引发的思考

古代时候有一个吝啬的财主，在借出一笔一年期的高利贷（借出一个金币，利息也是一个金币）时，他进行了以下思考：如果借款是按照半年期付利息的话，在半年后收到利息后，这笔利息又能产生利息。那么相比于原来的一年期付利息能够在年底收获更多的金币，即收获个金币。同样地，如果按照四个月付一次利息，就能收获个金币。也就是说，利息支付越频繁，能够收获的金币就越多。那么，是不是利息支付得足够频繁，就能夠收获无穷多的金币呢？

二、自然底数e的定义

根据古时候财主借金币的故事，我们用数学方法来计算一下是不是能够收获无穷的金币。

考察两个数列和，其中，。那么，我们明显能够发现的是，对于任意的正整数n，都有，并且随着n的增大，会越来越接近于1。

然而当我们来考察这两个数列的单调性的时候，我们能够神奇地发现，是一个单调递增的数列，而是一个单调递减的数列，接下来，我们将给出证明。

由于单调递增，单调递减，并且当n逐渐增大，我们能发现和会无限接近，也就是说这两个序列会有相同的极限，这个极限就被定义为自然底数，用字母e表示。

e是数学中最重要的常数之一，它是一个无理数，e=2.718281828459045…。

三、自然底数e的性质

e作为特殊的数学存在，有着其特殊的性质，尤其是在指数函数和对数函数方面。众所周知，的导数为，也就是说的导数就是它本身，那么这是为什么呢？

指数函数有一个特性：。那么，对于函数来说，假设c是常数，就有，即有。那么我们就能得到，对于特定的点，，令，就能得到。如果我们令，也即，那么就有，将用代换，那么我们就能够得到。由于是一个常数，因此在这里我们能发现的是指数函数的导数就是它本身乘上一个常数，下面我们就需要来说明e就是那个特殊的能够使得的值。

我们反过来考虑这个问题，已知的是，然后我们需要来寻找这个具有特殊性质的。我们运用最原始的导数的定义得到的是：

又因为，所以我们能得到：，于是我们就有：，如果我们令，并对进行反解，那么我们就能得到，因此我们证明了的导数就是它本身。

同样地，在对数函数方面，也有很好的性质，即有。那这又是为什么呢？

根据导数的基本定义，我们能得到推导：

于是，我们就将高中所学到的与自然底数有关的特殊性质都进行了本质上的推导。

结语

自然底数e是一个很神奇的数，有许多良好的性质。从一个特殊的极限起源，到各种特殊性质在指数函数、对数函数中的应用，无不展示着其独特的数学魅力。这就是数学的魅力所在！

参考文献

[1]伍胜健.《数学分析》（第一册）. 北京大学出版社，2009：53-55.

[2]何云英. 解读自然对数的底数e[J]. 数学通讯：教师阅读， 2010（5）：64-64.endprint