反思性教学中说数学的几个方面

刘寒冰

[摘 要] “说数学”活动教学与传统教学最大的区别在于改变了“教师讲学生听”的被动的学习局面，让学生主动参与教学过程，从概念课中的知识发现、探究、升华、拓展到复习课中知识网络的编织、知识的重难点的实例分析、“近似”知识的辨析教学，等等. 学生说出自己的想法、体会、反思，让课堂中学生学习的进程以及对知识点的掌握情况暴露在师生面前，不仅有利于教师掌握整个教学环节及教学效果，而且能对其他学生起到启示和警示作用；不仅实现了学生课堂教学的自主性，而且培养了学生的语言表达能力和创新能力.

[关键词] 反思性教学；说数学；说内涵；说思想；说方法；说技能

众所周知，反思根据数学活动的三要素，即对象、过程、结果，可分为三种. 第一，对数学学习活动对象的反思：①对数学问题的特征进行反思；②对数学问题所涉及的数学知识的反思；③对数学思想的反思；④对与数学活动有联系的问题的反思. 第二，对数学学习活动过程的反思：①思考的过程；②理解的过程；③推理的过程；④运算的过程；⑤想象的过程.第三，对数学学习结果的反思：①对解题思路的反思；②语言表述的反思；③对结果进行反思. 因此，从反思性教学入手可以设计“说数学”的入手方向，让学生从这些方向中寻找数学素养提高的空间.

反思“说复习”

传统数学课，教师引入知识，通过探讨知识挖掘其内涵，并通过典型例题的分析，学生依葫芦画瓢，再加上变式以促进对知识的深层理解. 学生发出这样的感叹：“上课能听懂，但是下了课自己做题依然不会.”教师要抓住这个复习教学的机会，在教学中设计学生“说复习”的环节，引导学生通过说“复习明线”、说“复习暗线”、说“外延”、說“性质”、说“应用”，在全班学生共同的合作交流、共同探讨、共同整合之下，内化成为自己已有的知识，并融入自己已有的知识结构中去. “说”复习形成的过程，让学生体会知识整合的缘由和必要性.“说”语言转换，即将生活的实际问题转换成数学模型，或者是将数学知识、定理、公式、思想方法等用语言文字来表述、翻译，使学生能从更通俗的语言中理解新知识，加强学生对知识的理解.？摇

案例1：精心设计知识网络，激发学生的探究欲——函数：教学线路

复习课的问题设计针对了知识网络的复习、典型例题的解析、数学思想方法的反思等.这就要求教师在认真研究教材、吃透教材、提高自身的专业水平的基础上，结合学生的认知规律、生理特征、心理特征等方面，设计针对性强、难度适中、启发性强、有教学价值的问题，让学生在教师所设计的“导火索”下，通过互相启发、互相帮助的方式“说”出本节课教师预设的教学目标. 这样的教学不仅能符合学生自主学习的要求，而且能较好地达到教师的预设目标，更能让学生通过“说数学”的教学活动，对数学产生兴趣，对知识产生探究欲.

函数复习的“三线”策略——明线、暗线与虚线：

（1）明线：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数这些具体函数的特征与性质.

（2）暗线：研究上述函数的一条线索：第一层，解析式、定义域与值域——函数的三要素；第二层，单调性、奇偶性、周期性、对称性与最值——函数的五大性质，展示的平台是图像.这也是给出了研究函数的一条基本路线.

（3）虚线：很多函数问题的条件是以抽象函数的形式呈现的，要学会读懂，应用这些性质，并随后举例体现“说复习”的具体应用性，限于篇幅，举例省略.

反思“说方法”

数学是一门工具型学科，解题是高中数学的重要组成部分之一，也是高考检测学习成效的唯一方法，所以掌握解题技巧、解题方法是至关重要的. 在课堂中，教师应引导学生也可以通过团队合作的方式，自行分析、探索处理数学问题的思路和方法. 具体过程如下：①审题环节：指导学生分析题设中的条件和结论，将条件和结论用数学语音“翻译”成已学知识，中间可以穿插联想，将已知条件常见的用法展现在其他同学面前；②整理环节：将学生根据条件和结论所说的各种信息进行汇总，并说明习题中现有的条件是否足够，如果不够还缺什么，如何进一步挖掘，从这些信息中寻找搭扣，使知识点环环相扣，从而得出解题的具体过程；③解题环节：指导学生将已有的解题过程通过数学符号语言表达出来；④再探索环节：其一，引导学生从多元化的思维角度寻求解题方法的多样性、简洁性；其二，引导学生寻找近似问题的相似性，形成相似的解题模式，即“一题多解”和“多题一解”.

案例2：说与三角函数值域相关的方法

原题：求函数y=sinx- cosx的值域x∈- ， （苏教版A组习题）.

生1说：y=2 sinx- cosx=2sinx- . 由x∈- ， ，可知-1≤sinx- ≤ ，所以，原函数的值域y∈[-2，1].

变式1：求函数y=cos2x+2sinx的值域x∈- ， .

生2说：利用公式将其转化为二次函数，即y=1-2sin2x+2sinx=-2sinx- + . 由x∈- ， ，可知- ≤sinx≤1，所以，原函数的值域y∈- ， .

变式2：求函数y= sin2x+sinxcosx+ cos2x的值域x∈ ， .

生3说：y= + sin2x+ = （sin2x+cos2x）+1= sin2x+ +1. 由x∈ ， ，可知-1≤sin2x+ ≤ ，故原函数的值域y∈1- ， .

上述学生说的与三角函数相关的求值域方法，将学生最应该掌握的基本问题表露无遗，这种“说”大大增加了学生对于知识的理解，会“说”方法比会做题目，对于知识的理解来得更为深刻.

反思“说思想”

数学学习的最终目标之一就是学会应用数学思想，从思维的最高维度反思高中数学学习. “说思想”就是从数学教学过程中提炼出数学思想，提升学生的数学思维品质. 例如，化归思想就是将不熟悉的环境化归转化为我们所熟悉的环境——将不熟悉的题设翻译成我们所熟悉和能运用的题设.

例如，数列中蕴含的“数学思想”的挖掘与运用：数列问题中蕴含着丰富的“数学思想”，在研究、解决数列问题时抓住思维方式以及数列内容的本质就能灵活运用这些思想，会取得事半功倍的效果.但是许多学生不管怎么学数列就是流于表面，没有抓住本质，缺乏主動运用“数学思想”来解决数列问题的意识，因此要从思想角度突破才能有利于学生学好数列.

函数思想：从映射的角度来看，数列本质上是一个定义在正整数集的子集上的函数.所以，用函数的观点理解数列，用研究函数的相关方法来研究数列，是解决数列问题的有效方法.

问题：在等差数列{an}中，已知a1=15，S4=S12，当n为何值时Sn有最大值？

为什么这个等差数列的前n项和Sn有最大项？其首项a1=15>0，故它的前几项为正，从某项起开始变号，因此，常规的做法是通过找到变号的项来求解. 这是纯数列解法. 等差数列前n项和Sn是关于n的“二次型”函数，该函数解析式的常数项是0，其图像是过原点的抛物线上横坐标为正整数的点（为便于分析，将这些散点用虚线连接，如图1所示）. 由题意可知，该数列的公差d<0，抛物线图像开口向下，S4=S12说明此抛物线有对称轴n=8，故当n=8时，Sn最大. 把数列看作一种特殊的函数，利用函数思想，通过数形结合来求解，既直观，又简洁.如果将此题进行变式，将条件中的“S4=S12”改成“S4=S11”，其他不变. 用“函数思想”求解，其优越性会更加凸显.

总之，传统的数学教学由于受应试教育的影响，重“做数学”，轻“说数学”；重结果，轻过程. 教学模式基本以“教师讲学生听”的枯燥形式为主，严重抑制了学生的学习兴趣和创新能力. 有些教师也已经注意到了这些问题，在课堂教学中引入对话，但对话偏离了对话的本质，呈现的大多数是一些评价性的对话（不错，是的，对与不对等），缺少一些过程性描述，这与培养具有创新精神的现代教育完全背道而驰. 因此，我们要改变以往的“以教师讲为主，学生参与的比较少”的困境，让学生主动参与课堂活动，使课堂不仅演示教师教的思维过程，更能挖掘学生学的认知形成过程，让教与学有机地结合起来，让课堂“活起来”.“说数学”是数学交流的重要形式之一，本文在反思性数学学习理论的基础上，探讨学生课堂中“说数学”的内容和实践操作，从本质上激发学生学习的兴趣，让学生体会学习数学的乐趣，从而达到提高教学效果的最终目标.