辅助角公式的课堂教学处理与思考

赵卫群

[摘 要] 公式教学中教师应重视学生的生活经验，关注学生的原有知识基础和思维基础，利用设计陷阱，经历“试误”，发现“错误”，小组讨论等方式让学生经历知识探究的艰难过程. 最后加上适度的数学训练帮助学生加深对数学方法、规律的理解，达到增强记忆的目的. 至于教学实际中哪种方法更能减少学生的错误，这还需要教师多比较、多思考、多实践.

[关键词] 辅助角公式；教学处理；灵活运用

辅助角公式在三角函数式的化简、求最值、周期、单调区间时，使用频率比较高，因此要求学生熟练地掌握辅助角公式的运用.对于形如y=asinx+bcosx的三角函数式，可变形为：asinx+bcosx= sin（x+φ）（*），其中φ由cosφ= ，sinφ= 来确定.通常称式子（*）为辅助角公式. 使用辅助角公式的难点主要是辅助角φ的大小确定，虽然公式中给出了φ的确定方法，但在实际运用中学生极其容易犯错. 更何况笔者所接触的是因各种原因未能考上普高而选择上职业高中的学生，他们的领悟能力、接受能力和记忆能力均稍逊一些. 根据江苏省对口单招考纲要求，结合这些高中学生的实际情况，教学中教师要把握好度. 下面谈谈笔者对辅助角公式的教学处理与思考.

学生熟悉公式的来龙去脉

y=asinx+bcosx= ·sinx+ cosx，因为 + =1，所以存在角φ，使得cosφ= ，sinφ= ，则y= （sinx·cosφ+cosx·sinφ）= sin（x+φ）. 教学中教师通过以上讲述，使学生在认知上能理解构造角φ，目的是转化为角x和角φ和的正弦，然后根据两角和的正弦公式写成sin（x+φ）.

不管我们面对的学生能力层次如何，在公式教学过程中，公式的推导要舍得花时间. 一是强调学生对认知过程的经历和体验，二是培养学生学会探究的一种数学基本素养，三是进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力. 教学中不能过于形式化，更不必让学生死记硬背公式.

教学处理方法与思考

处理方法一：设θ是锐角，得sinθ= ，cosθ= 的值，由此可求得锐角θ；再判断点（a，b）的象限；最后根据φ=θ（点在第一象限），π-θ（点在第二象限），π+θ（点在第三象限），-θ（点在第四象限）（*），求得φ的值.

这种方法的优点是化简后的表达式中正弦型函数的系数永远是正数，且整体结构不变，主要是括号内辅助角φ的不同. 这种做法对后续求正弦型函数的相关性质有利. 但在教学中要提醒学生注意sinx的系数是a，cosx的系数是b，两者不能混淆. 缺点是由于中职学生的自身原因记不住上述求φ的规律，难点是无法理解明明是求φ，为什么要先求θ.在此说不清道理可以不说，以后再说. 就像小学生背古诗词，他未必懂，但随着阅历的增长，他对诗词的理解会越来越深刻.也就是说用这种方法处理时让学生感觉到求出θ再求φ很方便.

处理方法二：设θ是锐角，得tanθ= 的值，由此可求得θ；再判断点（a，b）的象限；最后根据规律（*），求得φ的值.

这种解法与解法一基本相似，主要不同在于求角θ时，用的是正切函数. 此时学生只要借tan = ，tan =1，tan = ，即可得角θ，且不容易混淆 与 . 虽然在解法上只做了稍稍改变，但却大大减少了学生的错误. 当然难点还是需要学生记忆tanθ= 及根据象限求φ的方法规律.

处理方法三：若a，b同正，则y=asinx+bcosx= sin（x+φ）；若a，b同负，则y=asinx+bcosx=- sin（x+φ）；若a正，b负，y=asinx+bcosx= sin（x-φ）；若a负，b正，y=asinx+bcosx=- ·sin（x-φ）； 前的正负号与系数a的性质符号是一致的，其中由tanφ= 得锐角φ. 如 cosx-sinx=-sinx+ ·cosx=-（sinx- cosx）=-2sin（x-φ）. 因为tanφ= ，所以锐角φ= ，因此 cosx-sinx=-2sinx- . 根據此法化简-sinx-cosx=-（sinx+cosx）=- sinx+ .

这种解法的优点是求得辅助角φ很简单，只要根据tan = ，tan =1，tan = ，即可求得锐角φ，无须判断点（a，b）象限，也就不必记忆规律（*）了. 从而大大降低了辅助角φ的计算错误. 但要注意的是提醒学生要注意两个符号，一是sin（x±φ）的系数可正可负，实际操作时把含sinx的这部分写在前面，若sinx的前面是负号，则添一个含负号的括号；若是正号，则无须添括号. 二是括号内的符号可加可减，与添括号后cosx前的符号一致. 这种做法虽然正确率高，但过于程式化，程式化后容易形成思维定式、套路.

处理方法四：设φ是锐角，asinx+bcosx= sinx+ cosx，或者asinx-bcosx= sinx- cosx，目的使之转化为两角和、差的正弦或余弦，即 sin（x±φ）， sin（φ±x）或 cos（x±φ）， cos（φ±x）.

这种解法较灵活，无须死记硬背规律，主要是熟练掌握两角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ+cosαsinβ和余弦公式cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ，记住几个简单的特殊的三角函数值即可. 如cosx-sinx= cosx- sinx= sin cosx-cos sinx= sin -x，cosx-sinx= cosx- ·sinx= cos cosx-sin sinx= cos +x. 学生容易出现的错误是将两角的顺序搞错，错误的化简为 sinx- . 减少这种错误的方法是建议学生注重转化过程，不要漏步骤.这种解法大大加深了学生对公式转化的理解，巩固了已有知识，提高解决问题的能力，不知不觉中渗透了数学思想，摒弃了那种无意义的机械训练.

辅助角的教学处理办法很多，以上四种方法比较适合中职对口单招教学. 公式教学中教师应重视学生的生活经验，关注学生的原有知识基础和思维基础，利用设计陷阱，经历“试误”，发现“错误”，小组讨论等方式让学生经历知识探究的艰难过程. 最后加上适度的数学训练帮助学生加深对数学方法、规律的理解，达到增强记忆的目的. 至于教学实际中究竟哪种更适合学生，哪种方法更能减少学生的错误，这还需要教师多比较、多思考、多实践. 在此引用陈光立老师的一句话作为结束语：“教之道在于度，学之道在于悟.”endprint