浅谈等效思维在物理解题中的应用

等效思维是指通过把复杂的抽象的物理概念，物理规律或物理模型简单化，明确化，从而使这一概念，规律，或模型易于被人理解、接受的一种思维方式。这种思维方式应用于物理的解题中，这样既不影响问题的解决结果，又能使复杂的问题的解决变得简单明确得多，解题过程使学生易于接受，提高学生们的解题能力。但是利用等效思维解物理题时，需要说明一下的是，等效的应用必须注意两点，首先等效前后必须具有相同的效果，其次等效过程只是在特定的前提条件下才适用。下面就我在高中物理教学过程中所遇到的、使用等效思维解题的几个典型问题罗列出来作一个简单的探讨。

例题一、已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v= ，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2，c=2.997 9×108 m/s.逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg，求它的可能最大半径；

分析：当发射卫星时，发射速度小于第二宇宙速度，卫星就不能逃逸地球；黑洞是一个天体，解决此题，采用等效思维法，把黑洞等效为地球，光子等效为卫星，可以由地球的逃逸速度公式去计算黑洞的逃逸速度，因此有v= m/s>c=2.997 9×108 m/s，整理得R<2.93 km，所以黑洞的可能最大半径为2.93 km。

例题二、一个人乘坐在一条小船上，逆流而上。前进中，船上的一只木箱不慎落入水中，船上的人在木箱落水后十分钟发现后，立即调转船头顺水而下追赶。如果船相对水的速度始终不变，那么，调转船头后船多长时间可以追上木箱？

分析：如果以河岸为参考系的话，这个问题是比较麻烦的，但是如果以水为参考系的话，问题将非常简单。木箱落水后相对河水静止，船相对水速不变，船行驶十分钟发现木箱落水，立刻调转船头，这相当于船行驶十分钟再往回行驶，而木箱不动，因此，船一定是十分钟追上落水木箱。本题中以河岸为参考系，；还是以水为参考系对于船的航行时间是等效的，采用后一种方法明显可以简化问题，学生易于接受。

例题三、如图是小球在一个很大的光滑的球形底部来回运动AB<

分析：小球从圆心O点静止释放运动到光滑的球形底部的时间t2=

单摆周期的问题，其基本的模型是用一根不可伸长的细线吊起一个小球，使小球在同一竖直平面内作小角度（α<100）的摆动。在不计阻力的情况下单摆的周期公式为T=2π

小球从B点静止释放运动到光滑的球形底部的时间求解情况是单摆的变形，主要问题都是等效摆长的寻找，按照原来悬点到球心的长度作为摆长很显然是不行的；考虑到单摆的运动中摆球都是在做圆周运动，严格的数学证明表明：单摆的周期与摆球做圆周运动的半径有关，等效摆长实际对应摆球作圆周运动的半径。这样的话等效摆长就比较好找了。如图中的等效摆长为R，

小球从B点静止释放运动到光滑的球形底部的时间t1=T/4=0.5π 。由此可见小球从B点静止释放运动到光滑的球形底部比小球从圆心O点静止释放运动到光滑的球形底部时间长。

由此题可知关于物理上的模型或情境，恰当地使用等效变换可以把复杂的或很不常见的情景转化为简单的或常见的类型，从而大大地降低了问题的难度。

例题四、如图已知电源电动势为10V内阻r=1Ω，R1=5Ω，R2=6Ω，当闭合开关时，滑动变阻器的电阻调节为多大时，其电功率最大？电功率最大为多少？

分析：按照常规的方法需要根据整个电路的电阻变化得出滑动变阻器上的功率表达式，计算难度很大。如果此题同样采用等效思维法，问题将大幅度减小。把所有不变的物理量（电源，电阻R1，R2）整体看成一个等效电源，按照电源电动势的特征，电源电动势等于电源没有接入电路时两极间的电压，则此时ab两点相当于等效电源的两极， 等效电动势等于ab两点电压E/=Uab=ER2/（R1+R2+r）= 5V，其等效电源的内阻从ab两点看相当于R1，r串联再和R2并联，r/=（R1+r）R2/（R1+R2+r） ，则r/=3Ω，这样外电路只有一个滑动变阻器，根据电路知识知道当外电路电阻等于电源内阻时电源的输出功率最大，即滑动变阻器电阻为3Ω时，其上电功率最大，P最大=（E/）2/（4 r/），代入数据计算可得，电功率最大约为2.08W。

例题五、伏阻法：用一个电压表和电阻箱测量电源电动势和内阻，电路如图所示，测量原理为：E=U1+U1R1r，E=U2+U2R2r，由此可求出r和E，此种方法测得的电动势 电动势真实值和测得的内阻 内阻真实值（填<、=、>），

分析：由于测量原理把U/R当做电路的总电流，形成系统误差，与上题一样，按照常规的方法讨论，难度很大。如果此题同样采用等效思维法，问题将大幅度减小。把所有不变的物理量（电源，电压表内阻RV）整体看成一个等效电源，按照电源电动势的特征，电源动势等于电源没有接入电路时两极间的电压，则电阻箱的阻傎调至无穷大，等效电动势等于电源两端电压E=E真RV/（RV+r）

从例题四和例题五可知，在很多的全电路的计算中采用等效电动势常常可以使问题简化。

例题六、（多选）长为l、相距为d的平行金属板M、N带等量异种电荷，A、B两带电粒子分别以不同速度v1、v2从金属板左侧同时射入板间，粒子A从上板边缘射入，速度v1平行金属板，粒子B从下板边缘射入，速度v2与下板成一定夹角θ（θ≠0），如图所示.粒子A刚好从金属板右侧下板边缘射出，粒子B刚好从上板边缘射出且速度方向平行金属板，两粒子在板间某点相遇但不相碰.不计粒子重力和空气阻力，则下列判断正确（ ）

A.两粒子带电荷量一定相同

B.两粒子一定有相同的比荷

C.粒子B射出金属板的速度等于v1

D.相遇时两粒子的位移大小相等

分析：A、B两粒子能在板间相遇，说明两粒子具有相同的水平速度，因此粒子B射出金属板的速度等于v1，C正确；粒子A刚好从金属板右侧下板边缘射出，研究B粒子的运动时，采用等效思维法，把B粒子的运动看做逆向的从M出发的类平抛运动，A、B两粒子做类平抛运动初速度大小都为v1，如图所示，故垂直于金属板的方向两粒子有相同的加速度，由a=qEm可知，它们有相同的比荷但带电荷量可能不同，A错、B对；由对称关系可知，相遇点距离板左、右两侧的距离相等，即从粒子射入到相遇所用时间等于粒子穿过金属板的时间的一半，即t0=t2=l2v1，垂直于板的方向可看作是某粒子做初速度為零的匀加速直线运动，故相遇点到上、下板的距离之比等于1∶3，此时粒子B的位移大于A的位移，D错.答案 BC

例题七、（多选）如图所示，图甲中MN为足够大的不带电的薄金属板.在金属板的右侧，距离为d的位置上放入一个电荷量为+q的点电荷O，由于静电感应产生了如图所示的电场分布.P是金属板上的一点，P点与点电荷O之间的距离为r，几位同学想求出P点的电场强度的大小，但发现很难.他们经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的.图乙中两异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2d，虚线是两点电荷连线的中垂线.由此他们分别对P点的电势和电场强度作出以下判断，其中正确的是（ ）

A.P点的电势为零

B.P点的电势大于零

C.P点电场强度的方向垂直于金属板向左，大小为2kqdr3

D.P点电场强度的方向垂直于金属板向左，大小为2kqr2-d2r3

分析：P点电场强度是电荷量为+q的点电荷O和薄金属板上感应电荷分别在P点产生的电场强度矢量叠加，P点的电势是电荷量为+q的点电荷O和薄金属板上感应电荷之间的电场的电势，采用等效思维法，把薄金属板上感应电荷等效为电量为-q，所在位置在以薄金属板为对称面的对称点上的等效电荷，我们把这个等效电荷称为镜像电荷（因为与平面镜成像类似），选项分两组，A、B两项判断P点电势，C、D两项计算P点场强.金属板MN接地，电势为零，则金属板上P点电势为零，A正确、B错误；类比图乙中的电场线方向可知，金属板所在位置及P点场强方向均垂直于金属板向左，大小由等量异种电荷分别在中垂线上产生的场强叠加得知，由于对称，带电荷量分别为+q和-q的点电荷在P点产生的场强大小均为E+=E-=kqr2，由相似三角形关系得EE+=2dr，解得E=2kqdr3，C正确、D错误.故答案是A、C

高考对电场强度的考查，往往会和对电势的考查结合在一起进行，目的就是刻意对考生制造思维上的混乱，以此来考查考生对物理基本概念的区分和辨别能力.常用的思维方法——等效法和对称法.

高中物理教学中的等效思维应用在解题中涉及很多方面的题，在这里不能一一列举，总之等效思想是物理学中的基本思想之一。它对物理问题解决具有重要作用，要使学生形成等效思想，必须加强应用，在应用过程中使学生深刻理解，不断完善等效思想。等效思想教育对于培养分析和解决物理问题的能力，提高物理教学质量大有裨益。

作者：毛子久

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