辅助函数在数学分析中的重要性

邓贵兰

数学分析是数学专业的一门重要的基础课程，这门课程学习的好坏，直接影响到其它后续课程的学习。而检查这门课程掌握的程度主要是对概念的理解、对定理的应用，其中重要的手段之一就是研究命题的证明。

证明命题的方法很多，通过构造辅助函数使某些命题得到简捷而明了的证明，就是一个很好的方法。在数学分析中，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不等式与恒等式的证明、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的。同样柯西中值定理的证明也是通过构造辅助函数而得证的。

辅助函数方法是数学分析中解决问题的一种重要方法，在证明和计算过程中，有些问题直接去做往往很困难，而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往可以化难为易，使问题迎刃而解。

一、辅助函数在数学分析中的重要性

（一）辅助函数的基本特点

第一，辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。

第二，同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题。

第三，表面上看构造辅助函数的思路较宽广，实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易。

因此，构造最恰当的輔助函数是解题的关键。

（二）辅助函数在数学分析中的重要性

数学分析中许多理论问题的解决都涉及到构造辅助函数的方法。某些很复杂的问题构造了一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单。具体体现在：

（1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完美的解决。

由此可见，辅助函数在数学分析中的证明和计算中发挥着十分重大的作用。

二、辅助函数在数学分析中的应用

（一）辅助函数在微分中值定理中的应用

微分中值定理是微分学中的基本定理之一，而其证明往往需要构造辅助函数，是微积分教学活动的重点之一，也是教学中的难点。因此，研究辅助函数的构造方法对于我们学习和掌握微分中值定理来说是十分必要的。

（二）辅助函数在判别方程根的存在性中的应用

解方程 ，实质上就是求函数 的零点。有关于函数零点的问题，许多都是通过构造辅助函数作为桥梁，再应用相应的定理得以使问题解决。

1.应用零点存在定理判别方程根的情况

应用零点存在定理判别方程根的情况时，将方程一端化为零，令另一端为某一函数，构造出辅助函数.

2.应用罗尔定理判别方程根的情况

应用罗尔定理判别方程根的情况时，将方程一端化为零，选取另一端的原函数为辅助函数.

（三）辅助函数在证明不等式中的应用

用辅助函数证明不等式，常用的方法有：利用函数的单调性、利用拉格朗日中值定理、利用函数的凸凹性。

利用函数单调性证明不等式：

2.3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式

2.3.3利用函数的凸凹性证明不等式

（四）辅助函数在证明恒等式中的应用

（五）辅助函数在求函数极限中的应用

在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数使离散变量连续化，然后（六）辅助函数在计算积分及求导函数值中的应用

有时确定被积函数的原函数是十分困难的，若能引入适当的辅助函数，困难就解决了.

（七）辅助函数在近似计算中的应用

辅助函数可以很简便地解决一些证明问题，用好辅助函数能起到事半功倍的效果。构造辅助函数的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法。在数学分析的教学过程中，有意识地培养学生掌握构造辅助函数法且能用来解决问题，有助于学生加深和概括所学知识，培养学生良好的逻辑思维能力。