假设检验案例教学研究

宋继革

一、引言

推断统计中的一个重要内容，就是假设检验。通过多年的教学实践，发现学生对这部分教学内容接受困难。甚至在毕业多年之后，还坦言，自己当时没有搞清楚。通过思考，引入了一个“中大奖”判断的例子，将假设检验的基本思想与方法串连起来，取得了非常好的教学效果。

二、案例的引入

假设检验是统计学一个非常重要的内容，思想性强。学生们往往把假设检验这部分内容当成数学来学，忽略了其中的部分主观性。原假设与备择假设、小概率原理、两类错误、拒绝域与接受域、P值检验等概念本身的逻辑性与连贯性，需要一个背景简单的案例串连起来，以便取得良好的教学效果。

1、“中大奖”问题的提出

如果，作为统计学教师的我，今天向大家宣布：我昨天买了一张彩票，中了500万。你们信不信？信的同学有自己的理由：这是老师说的。不信的同学也有理由：可能性太小了。这就需要统计学意义上的假设检验。

2、原假设与备择假设概念的引入

谁来做假设检验呢？是不信的同学，他们希望收集证据，以支持不信的观点。这就是假设检验的主观性，它是有立场的。假设检验不是纯粹的数学。

原假设：研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设，记为 ；备择假设：研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，记为 。这里，原假设应该是“老师说的是真话”，备择假设应该是“老师说的是假话”。 原假设与备择假设是“非此即彼”的关系。

3、小概率原理与显著性水平的引入

一个事件如果发生概率很小，那么它在一次试验中是不可能发生的。通常把5%作为一个界限，发生概率在5%以下的事件，被称为小概率事件。如果老师说的话，连5%的可能性都没有，我们就有充分的理由拒绝相信。假设检验的核心思想就是，在肯定原假设的基础上，是不是会引起小概率事件？如果发生了小概率事件，就拒绝原假设；如果没有发生小概率事件，就不能拒绝原假设。这个5%，就是显著性水平。我们可以设的更小，以增加说服力。

4、两类错误

其实，我们无论是信，还是不信，都无法避免出错。弃真错误：原假设为真，拒绝原假设。取伪错误：原假设为假，接受原假设。我们拒绝老师说的话，认为他不可能中大奖时，有可能犯弃真错误；我们接受老师说的话，认为他中了大奖，有可能犯取伪错误。一般认为，需要控制弃真错误的概率，使之不超过5%、1%等。

5、拒绝域与接受域、P值检验

基本概念了解之后，拒绝域与接受域、P值检验不过是具体操作过程，来进行判断了。我们可以到彩票站收集样本数据，发现中大奖的概率不足5%，甚至不足万分之一。中大奖完全是一个小概率事件，拒绝原假设，理由是充分的，犯错误的概率很小，远低于显著性水平。

三、假设检验基本原理的实际应用

1、问题分析

由统计资料得知，去年某地区新生儿平均体重为3190克，标准差80克。现从今年新生儿中随机抽取了100个，测得其平均体重为3210克，请问今年与上一年相比新生儿体重有无明显差异？

20克的差异究竟意味着什么呢？两种观点。第一种观点： 20克的差异不过是抽样的随机性引起的，也就是说抽取的100个新生儿中恰好有几个超重的，拉高了平均值。不需要进一步调查分析。第二种观点：20克的差异太大了，抽样的随机性不足以解释这么大的差异。有必要进一步调查分析。所以，假设检验工作是由持第二种观点的人做的。

2、原假设与备择假设的确定

原假设是研究者想收集证据予以反对的假设。进行假设检验的人，是持第二种观点的人。所以，原假设应该是：“今年与去年相比，新生儿体重没什么变化”，备择假设则与之相反，应该是：“今年与去年相比，新生儿体重有明显变化”。我们把它用数学语言来描述，就是： （这是一个双侧检验， 过大或是过小，都将导致推翻原假设）

3、檢验统计量的确定

假设检验从逻辑上说，是一种反证法，在肯定原假设的基础上，看看是不是能推导出一个小概率事件。如果说，“今年与去年相比，新生儿体重没什么变化”是正确的话，那么根据中心极限定理， 。这就是我们构造的检验统计量。样本均值是一个均值为总体均值，方差为总体方差的N分之一倍。

4、拒绝域和接受域的确定

令 =0.05，即显著性水平为5%。我们犯第一类错误的概率不超过5%， =±1.96。这样，接受域和拒绝域就确定下来了。如果原假设是正确的，检验统计量落入接受域的概率为0.95。

5、计算检验统计量的值，作出推断： ，落入拒绝域，我们有充分的理由拒绝原假设，20克的差异无法用抽样随机性解释。结论：去年与今年相比，新生儿的平均体重确实有明显差异（原因不属于统计学的研究范围）。如果原假设是正确的，导致一件真实发性的事件成为不可能的小概率事件。所以，我们拒绝原假设是有充分理由的。

（作者单位：沧州师范学院经济管理学院）