关于超级有穷条件下角域内的亚纯函数的唯一性*

李效敏， 刘 翠， 徐会彩， 孙文江

(1.中国海洋大学数学科学学院, 山东 青岛 266100； 2.中国人民大学信息学院， 北京 100872)

关于超级有穷条件下角域内的亚纯函数的唯一性*

李效敏1， 刘 翠1， 徐会彩2， 孙文江1

(1.中国海洋大学数学科学学院, 山东 青岛 266100； 2.中国人民大学信息学院， 北京 100872)

研究了复平面上的亚纯函数在超级有穷条件下在角域内分担2个有限集合的唯一性问题，改进和推广了仪洪勋和林伟川，以及吴召君等人的有关结果。

角域Nevanlinna theory；亚纯函数；分担值； 唯一性定理

另外， 本文需要下述2个定义：

1958年，熊庆来证明了下述结果：

(1)ρ(r)是区间[r0,+∞)上的连续非减函数，其中r0>0是1个正数，并且当r→+∞时，有ρ(r)→+∞。

由定理A本文给出以下定义：

定义1.2[4-5]假设g是无穷级亚纯函数， 并且T(r,g)=B(r)， 其中B(r)由定理A定义，若存在连续可微函数ρ(r)满足定理A的条件，则称ρ(r)和U(r)分别是B(r)的阶函数和型函数，并称ρ(r)为亚纯函数g的无穷级。

1929年，Nevanlinna[6]证明了著名的五值定理和四值定理。后来， Gundesen[7-9]和 Mues[10]对具有四个公共值的亚纯函数的唯一性问题做了一些进一步的研究工作。2004年，郑建华[11-12]开始了角域内的亚纯函数唯一性问题的研究。2006年，Lin- Mori-Tohge[13]在超级有穷的条件下，研究了在1个角域内具有2个公共值的和3个公共值的亚纯函数的唯一性问题，改进Gross[14]和Yi[15]中的相应结果。最近吴昭君[16]改进了文献Lin- Mori-Tohge[13]中的相应结果。本文将进一步研究超级有穷条件下亚纯函数在角域内分担两个有限集合的唯一性问题。

1977年,Gross[14]提出了下述问题：

问题 A[14]能否找到两个有限集合S1与S2，使得对任意2个非常数的整函数f与g，只要满足E(S1,f)=E(S1,g)和E(S2,f)=E(S2,g)， 就有f=g。

1995,仪洪勋肯地回答了问题A, 证明了下述定理：

定理 B[16-17]设S={ω:ωn+aωn-1+b=0}，其中n≥7是一个正整数，a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。如果非常数的整函数f与g满足E(S,f)=E(g,S)，那么f=g。

后来,Lahiri[18]和Fang-Lahiri[19]推广了定理B， 分别证明了下述结果：

定理 C[18]假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合，其中a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。如果n≥8，并且对2个没有单极点的非常数的亚纯函数f与g满足E(S1,f)=E(S1,g)和E(S2,f)=E(S2,g)，那么f=g。

定理 D[19]假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合，其中a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。如果n≥7，并且对2个没有单极点的非常数的亚纯函数f与g满足E(S1,f)=E(S1,g)和E(S2,f)=E(S2,g)，那么f=g。

2006年，Yi-Lin[20]证明了下述结果， 改进了定理 C：

针对定理 E， 人们自然要问：

问题B[21，问题 1 ]是否存在某个角域X=X(α,β)={z:α≤argz≤β}，其中α,β是2个实数且满足0<β-α<2π， 使得对任意2个非常数的整函数f与g，只要满足EX(S1,f)=EX(S1,g)和EX(S2,f)=EX(S2,g)， 就有f=g?

吴昭君[21]回答了问题1， 证明了下述定理：

定理 F[21，定理 1 ]假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合， 其中a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。记

X=Xθ,ε:={z:θ-ε

针对定理 F， 人们自然要问：将定理F的条件“f,g∈M(ρ(r))”换为“f∈M(ρ(r))”， 定理F的结论是否成立？ 本文在超级有穷条件下研究了该问题，证明了下述定理:

定理 1.1 假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合，其中a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。记

X=Xθ,ε:={z:θ-ε

如果n≥8，并且对2个非常数的亚纯函数f与g满足

f∈M(ρ(r))且σ2(g)<∞，那么f=g。

由定理1.1可得下述结果：

推论 1.1 假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合，其中a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。记

X=Xθ,ε:={z:θ-ε

如果n≥8，并且对2个非常数的亚纯函数f与g满足

如果σ(f)=σ(f)=∞，σ2(f)<∞并且σ2(g)<∞，

那么f=g。

1 几个引理

定义

Aα,β(r,f)=

(1)

(2)

和

(3)

Sα,β(r,f)=Aα,β(r,f)+Bα,β(r,f)+Cα,β(r,f)。

为了便于叙述, 接下来省略上述全部符号的下标，对于每一个有限值a分别用A(r,a),B(r,a),C(r,a),S(r,a)来代替Aα,β(r,fa)，Bα,β(r,fa)，Cα,β(r,fa)和Sα,β(r,fa)。

引理 2.3[13,Lemma 5]假设F与G是2个非常数的亚纯函数，并且在X(α,β)上CM分担1和∞，那么下述3种情形之一成立：

(ii)FG=1 ；

(iii)F=G。

引理 2.5[24, Lemma 1.3]假设f是复平面上非常数的亚纯函数， 并且f(0)≠0,∞。那么

引理 2.6[22, Lemma3.1]假设f是复平面上非常数的亚纯函数， 并且f(0)=1。那么

(4)

引理 2.7 假设f与g是复平面上无穷级亚纯函数， 并且f(0)=1和σ2(g)<∞。如果f∈M(ρ(r))，U(r)=rρ(r)，那Q(r,f)+Q(r,g)=O{logU(r)+rσ2(g)+ε0}。

证明 设

(5)

由(2.2)，(2.5),定理 A 和引理2.5可得

4log+r+10+4log2)，

即

4log+r+10+4log2)。

(6)

由引理2.6可得(4)。将(5)代入(4)，再由定理A可得

K(4·2ωlogU(r)+loglog(1+logU(r))+1+log2)，

即

K(4·2ωlogU(r)+loglog(1+logU(r))+1+log2)。

(7)

由(6)，(7)和引理 2.2可得

Q(r,f)=O(logU(r))，

(8)

同理

Q(r,g)=O(logU1(r)),

(9)

其中U1(r)=rρ1(r)，ρ1(r)为g的无穷级。由σ2(g)<∞和定理 A可得

logU1(r)=O(rσ2(g)+ε0)，

(10)

其中ε0>0为常数。由(8)～(10)可得引理2.7的结论。

引理2.8[22,Lemma6]假设S1={∞}和S2={ω:ωn+aωn-1+b=0}是2个集合， 其中n≥8，a与b是使得代数方程ωn+aωn-1+b=0具有n个判别的根的非零常数。记X=Xθ,ε:={z:θ-ε

Q(r,f)+Q(r,g)。

引理 2.9[22,Lemma 2]假设

(11)

2 定理的证明

定理1.1 的证明：首先设定(11)。 由定理1.1的条件可知，F与G在X上CM分担1和∞。 由引理2.3我们分以下3种情形讨论：

情形1 假设引理2.3的结论(i)成立并且F不恒等于G。由(11)，引理2.8和引理2.7可知

Q(r,f)+Q(r,g)+O(logU(r)+rσ2(g)+ε0)≤

(12)

其中

S1(r)=max(S(r,f),S(r,g))。

(13)

再由(11),(12)和引理 2.1可得

S(r)=nS1(r)+O(1)，

(14)

其中符号S(r)和引理2.3中出现的S(r)含义相同。 由(12)和(14)可得

(15)

由(15)和引理2.3(i)可知

(16)

由条件`n≥8可知

(17)

由(16)，(17)和引理 2.4可得

矛盾。

情形2 假设引理2.3的结论(ii)成立并且F不恒等于G。引理2.3的结论(ii)和(11)可得

[fn-1(f+a)][gn-1(g+a)]=b2。

(18)

注意到f与g是非常数的亚纯函数，并且b≠0，由(18)和条件f与g在角域Xθ,ε内分担∞可知：0，-a，∞为f在角域Xθ,ε内的三个Picard例外值，这与f∈M(ρ(r)),从而射线J:argz=θ为f的一个ρ(r)级Borel方向矛盾。

情形 3 假设引理2.3的结论(iii)成立,即F=G。由条件由条件n≥8和引理 2.9可得f=g。于是完成了定理1.1的证明。

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Abstract: In this paper, we study the uniqueness questions of meromorphic functions sharing two finite sets in an angular domain. The results in this paper improve and extend the corresponding results given by Yi -Li[20]and Wu[21]．

Key words: Nevanlinna theory in angular; Meromorphic functions; shared values; uniqueness theorems

AMS Subject Classifications: 30D35；30D30

责任编辑 陈呈超

Uniqueness of Meromorphic Functions of Finite Hyper-Order in an Angular Domain

LI Xiao-Min1, LIU Cui1, XU Hui-Cai2, SUN Wen-Jiang1

(1.School of Mathematical Sciences， Ocean University of China,Qingdao 266100, China; 2.School of Informaition, Renmin University of China, Beijing 100872, China)

O174.52

A

1672-5174(2017)11-132-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20140279

李效敏， 刘翠， 徐会彩， 等. 关于超级有穷条件下角域内的亚纯函数的唯一性[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2017, 47(11): 132-136.

LI Xiao-Min, LIU Cui, XU Hui-Cai, et al. Uniqueness of meromorphic functions of finite hyper-order in an angular domain[J]. Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(11): 132-136.

国家自然科学基金项目(11171184)；山东省自然科学基金项目(ZR2014AM011)；中国人民大学科学研究基金项目(16XNH117)资助 Supported by the NSFC(11171184); the NSF of Shandong Province,China(ZR2014AM011);the Research Funds of Renimn University(16XNH117)

2014-09-12;

2015-05-05

李效敏(1967-)，男，教授。E-mail: lixiaomin@ouc.edu.cn