“方差”教学设计简案

张琼吉，刘永东，苏德杰，许世红

（广东省广州市第四十七中学汇景实验学校；广东省广州市天河区教育局教研室；广东省广州市二度学法研究中心；广东省教育研究院）

“方差”教学设计简案

张琼吉，刘永东，苏德杰，许世红

（广东省广州市第四十七中学汇景实验学校；广东省广州市天河区教育局教研室；广东省广州市二度学法研究中心；广东省教育研究院）

结合“基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究”课题中的数学交流方法和途径的探索主题，在设计上呈现问题串来搭建交流平台，引导学生从是什么、为什么、怎样用三个方面开展学习，即弄清方差概念产生的必要性和合理性，理解方差的内涵与外延及其统计意义，理解方差的算法，强调统计概念的学习要突出养成用数据说话的统计意识和交流习惯.

问题串；统计思想；数学交流

一、教学内容与目标解析

1.教学内容

“方差”是京教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十七章“方差与频率分布”第一节“数据波动”的内容，笔者承担该节第一课时的主讲任务.

一组数据主要描述其集中趋势和离散程度.学生已学过用平均数、中位数、众数描述一组数据的集中趋势，本节课将学习如何描述一组数据的离散程度.教材主要从学生熟悉的生活实际问题入手，逐步建立方差概念，了解方差的意义，通过思考和实践，让学生体会并能解释方差的统计含义，体会统计在实际中的应用价值.方差是描述一组数据离散程度的重要特征数，它全面、平均地表示一组数据的离散程度，是最常用的统计量之一，广泛应用于比较实际事物的整体性、均匀性和过程的稳定性、均衡性.教材还结合实际，借助计算机或计算器来处理平均数和方差，以提高学生的学习兴趣，提高数据处理效率，感受现代信息技术的广泛应用.方差教学需要两个课时，本节课为第一课时，主要是学习方差的概念，包含算法和统计含义，关键是理解算法规定的合理性，从算法中体会方差的统计含义；第二课时则是熟练掌握方差的公式计算方法，综合运用平均数、方差的统计意义解决丰富多彩的实际问题.

2.教学目标

根据教学内容解析，确定本节课的教学目标如下.

（1）了解方差的统计含义，掌握方差的计算方法，会用方差表示数据的离散程度，能比较两组数据的变化范围和波动大小.

（2）在分析和解决实际问题的过程中，探索、归纳表示一组数据离散程度的有效方法；感受离散程度的含义，体会方差算法规定的合理性，体验“平均数+方差”方法在解决问题中的有效性.

（3）在数据分析中提升学生对统计推断的兴趣，进一步培养学生用数据说话的统计意识与交流习惯，培养与数据打交道的情感，体验统计与实际生活的联系.

本节课的教学重点是理解方差的概念，包含算法和统计含义；教学难点则是正确理解一组数据离散程度的含义，体会方差算法规定的合理性.

二、教学过程设计简案

1.创设情境，提出问题

例图1是国家射击队参加奥运会前预选赛的一张照片.看到这张照片我们自然想到：教练如何选拔运动员呢？我们简化这一问题，试以下面两组数据为例，思考解决办法.甲、乙两位运动员在射击选拔比赛中，各射击10次，成绩如表1所示（单位：环）.

图1

表1

选派哪位运动员去参加比赛更合适呢？

2.理解问题，分析问题

（1）设置问题，引发思考.

问题1：有同学提出比较最高成绩，你同意吗？

问题2：有同学认为两位运动员的最高成绩是一样的，故应当从平均成绩进行比较，你同意吗？

问题3：现在最高分、平均分都一样，怎么办？

（2）独立思考，小组讨论.

从成绩的角度，不好选择.为了稳中求胜，我们要研究两位选手的稳定性.

①同学们能从两组数据看出谁更加稳定吗？试比较两组数据的差异，再用数据表达你的观点.

②以射击次序为横坐标，对应成绩为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，借助图形的直观，分析这两组数据的稳定性，再运用数据表达你的观点.

（3）全班交流，形成共识.

教师引导学生思考“可以用什么量（角度）来刻画（描述）一组数据的稳定性（波动大小）呢？”，并进一步将该问题细化为四个小问题.

问题1：我们可以用什么量来刻画某次成绩相对平均数的波动大小？

问题2：点到直线a的距离是一个非负数，我们可以用什么量来表示它？

问题3：用什么量才能刻画出一组数据相对其平均数的波动大小？

问题4：数据的个数对结果有影响吗？怎样避免？

采用小组合作的方式探索解决这四个问题，画出如图2所示的图形，引出极差、平均数、方差等多种方法，体验不同方法解决问题的优、缺点.

图2

3.形成概念，解决问题

（1）回顾步骤，酝酿概念.

师生共同回顾，总结方差计算的四个基本步骤：①求一组数据的平均数；②求每个数据与平均数的差；③求差的平方和；④求差的平方的平均数.

（2）语言转化，形成概念.

将解决特例时探索出来的解决方案加以拓展、一般化，用数学符号表示方差算法公式，从而归纳出一般意义上的解决方案.

如果用x1，x2，x3，…，xn表示一组数据，用-x表示这组数据的平均数，用s2表示每个数据与平均数的差的平方数的平均值，则

我们把s2叫做这组数据x1，x2，x3，…，xn的方差.它描述了一组数据波动的大小.方差的值越小，数据波动越小.常常用方差来比较平均数相同的两组数据波动的大小.

4.典例示范，内化新知

（1）典例示范.

师生共同完成该例题的解答，强调计算、表达、书写的规范性和准确性.

例1某地区某年12月中旬前、后5天的最高气温记录如表2所示（单位：℃）.

表2

比较哪5天中最高气温的波动较小.

（2）内化新知.

用计算量相对较小、由易到难的4道练习题，检验学生对方差意义的理解状况，教师针对性地加以点拨和辅导.

练习1：（口答题）甲、乙两队各有8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为0.3，乙队8人射中靶数的方差为0.28，那么下列说法正确的是（ ）.

（A）乙队的射击水平高于甲队

（B）甲队的射击水平高于乙队

（C）乙队的射击水平比甲队稳定

（D）甲队的射击水平比乙队稳定

练习2：（口答题）一个样本的方差是s2=则这个样本的样本容量是_____________，平均数是_____________.

练习3：从甲、乙两种农作物中各抽取10株苗，分别测得它的苗高如表3所示（单位：cm）.

表3

试问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？

（2）哪种农作物的苗长的比较整齐？

练习4：比较如表4所示的两组数据，哪组数据的波动更小，比较整齐？

表4

5.归纳学法，提升学力

学是为了会学，如何才是会学呢？教师引导学生从是什么、为什么、怎样用三个方面进行总结，弄清三个问题，归纳本节课的所学、所用.

（1）是什么？理解知识的内涵与外延.

就本节课而言，即什么是方差.

（2）为什么？弄清知识的必要性.

就本节课而言，即方差有什么作用.

（3）怎样用？掌握运用知识的思考顺序.

就本节课而言，即计算方差的具体步骤.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2017—07—12

广东省教育科研“十二五”规划2015年度重点项目——基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究（2015ZQJK035）.

张琼吉（1975—），女，中学高级教师，主要从事数学教学和解题研究.