微课助力中考数学小专题复习——以微课“特殊的相似：一线三等角”为例

康 丽

（天津市小站实验中学）

微课助力中考数学小专题复习
——以微课“特殊的相似：一线三等角”为例

康 丽

（天津市小站实验中学）

在微博、微信迅速发展的“微时代”，教育界也开启了一种新的教学方式——微课.文章以微课“特殊的相似：一线三等角”为例，科学、合理地设计了教学过程，并结合近几年天津市中考试题，为深入理解并掌握“一线三等角”模型搭建平台，在此基础上简述了微课的创作及使用说明，以期为中考数学小专题复习提供借鉴.

微课；中考数学；小专题复习；一线三等角

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中考数学复习是整合知识、提升认知的系统工程，教师必须从整体出发，把初中所有的知识点分成若干个专题进行复习，从知识、技能、方法等方面展开，横向、纵向加以研究，既要使知识有一个“基本点”（基本图形），又要使知识有一个“生长点”（变式），对知识进行再归纳、再总结，深入理解知识间的关系，促进学生建立系统的数学知识体系，促进学生有效复习，提升学生课堂效率.但中考复习内容多、难度大，因此将若干个大专题分解成小专题势在必行，而且要尽量做到专题虽小，但知识不小；内容虽少，但延伸不断.

鉴于小专题的特点，为达到高效复习的目的，可以借助微课进行小专题复习.一节微课只讲解一两个知识点，看似很慢，但稳步推进，效果显著，而且微课适合学习程度不同的学生，视频播放快慢可以调节，让不同的学生根据自己的基础水平和接受程度控制视频的快慢.另外视频可以反复播放，使那些平时反应慢的又羞于发问的学生能够反复观看，主动研究，最终达到小专题复习的高效吸收，促进高效课堂的构建.

笔者近几年也在不断尝试借助微课进行中考小专题复习，本文以微课“特殊的相似：一线三等角”为例，谈一谈笔者的思考.

一、微课“特殊的相似：一线三等角”

1.“一线三等角”模型

一线三等角是一种特殊的相似关系，也是初中重要的几何基本模型（如图1）.

图1

它指的是当某条直线或线段的同一侧有依次排序的三个相等的角（∠C=∠BAD=∠E）时，首尾两个角所在的三角形相似，即△ABC相似于△ADE，这种特殊的相似称为“一线三等角”.它是初中重要的几何基本模型，通过相似的比例关系建立方程或函数来表示数量之间的变化关系，以期来求解问题，是解决中考几何问题的重要工具.而从复杂图形中分离出“一线三等角”模型是“一线三等角”的重点，亦是难点.

2.适用对象

“一线三等角”既适用于九年级下学期刚学相似的学生，促进学生初步对一线三等角的理解，又适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.

3.教学分析

（1）教学内容.

“一线三等角”的本质是一个重要的几何基本模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.此类问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数.

（2）教学方法.

本节专题复习课按照从特殊到一般的方法探索“一线三等角”，经历观察、实验、归纳、推理、验证的过程，掌握“一线三等角”证明的过程，让学生掌握基本图形，渗透类比思想和模型思想，利用中考试题进行巩固训练，最后对模型进行变式、反思和升华.

（3）学习方式.

以微课的形式呈现，有两种学习方式：学生自己在家观看视频时，可随时暂停，先独立思考，再听分析和解答，并规范解题步骤，把未听懂的、勉强懂得的、认为还可以再深入的问题记录在本子上，准备在课堂上与其他学生讨论；集体观看视频时，可以先观看，独立思考，再与同伴或老师进行交流.

4.教学过程

（1）勾股导入，发现问题.

导入：回顾勾股定理的一种证明方法（如图2），可知任意两个相邻的直角三角形是全等的，这个图形是八年级全等一章常见的基本图形，那么如果将其中一个三角形放大，两个三角形是怎样的关系呢？

图2

【设计意图】“一线三等角”中最特殊的一种情况是3个90°角，笔者联想到是否能从全等入手，因此利用几何画板软件从学生熟悉的勾股定理入手，动态展示其中相邻的两个全等三角形，接近学生的最近发展区，从而导入新课.

（2）大胆猜想，类比总结.

探究1：①观察图3，猜想△ABC与△DAE的关系，并进行证明；②猜想符合怎样的条件时，上述的结论成立.

探究2：观察图4，若∠C=∠E=∠BAD=60°时，上述结论是否成立？并说明理由.若∠C=∠E=∠BAD=45°时，是否依然成立呢？

图3

图4

探究3：观察图5，若∠C=∠E=∠BAD时，上述结论是否成立？并说明理由.

图5

图6

探究4：观察图6，若∠C=∠E=∠BAD是一个钝角时，上述结论是否成立？并说明理由.

思考：根据4个探究，你能得出什么结论吗？

【设计意图】美国著名数学家波利亚曾在《数学与猜想》中指出，要成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家.可见猜想对创造性发明的重要性，本节微课的4个探究按照从特殊到一般的方法，小坡度、密台阶，层层推进，这样设计就是始终在学生的“最近发展区”内探究，有利于学生步步登高，逐步让学生经历观察、实验、猜想、归纳、论证的过程，符合学生知识的建构规律，体会类比思想，最后思考升华知识，总结结论，进而得到“一线三等角”的概念及基本模型.

鉴于角度的任意性，利用几何画板软件动态展示，方便学生体会各角度间的变化，缩短讲授时间，体会知识的本质和内涵，提炼知识的精髓，进而得出结论.

（3）火眼金睛，链接中考.

例1如图7，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°.则AE的长为______.

图7

图8

例2如图8，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，A（11，0），B（0，6），点P为BC边上一个动点（点P不与点B，C重合），经过点O，P折叠该纸片，得到点B′和折痕OP，经过点P再次折叠该纸片，使得点C落在PB′上，得点C′和折痕PQ，若BP=t，AQ=m，试用含有t的式子表示m.

【设计意图】鉴于微课的时间限制，例题的选择必须短小精悍，具有针对性、典型性和可研究性，而中考试题是中考复习的指挥棒，例题的选择是否恰当对小专题微课的成败至关重要，针对重点内容，不仅要巩固基础知识和基本技能，还要有延伸性和研究性.美国著名数学家波利亚曾说过，一个专心的、认真备课的教师能够拿出一个有意义的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.首先例题的选取应在学生的“最近发展区”内进行选择，然后再逐层递进，深入挖掘.本节微课选取的例1贴近探究2，根据相似列出方程求解模型，主要让学生熟练运用基本的“一线三等角”模型.例2的主要目的在于拓展延伸.首先，学生能否顺利找出基本图形，关键是分析关键词“折叠”的结论.其次，是用函数模型来刻画，这一步对于学生也是一个提升.

本节微课应当注重分析关键词和基本图形的由来，能利用方程和函数建立模型，围绕通性、通法，建构知识“核心内容”网络，提高微课效益，提升学生解决问题的能力.

（4）归纳总结，感悟思想.

问题：通过本节课，你学到了哪些知识？在解决问题的过程中感受到了哪些思想？

【设计意图】反思探究过程和例题，理解和掌握“一线三等角”的结论及证明方法，掌握基本图形，感悟类比思想、从特殊到一般的思想，体会利用“一线三等角”这一几何模型解题的要领.

（5）巩固模型，反思升华.

思考：如图9，∠C=∠E=∠BAD，点A是CE中点.问：图中有多少对相似三角形？

图9

【设计意图】复习课既要使知识有一个基本点，又要使知识有一个生长点，基本点是根基，而生长点是发展的必要条件.著名数学家波利亚指出，数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾，如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面.解题后的反思可避免解题的错误，优化解题方法，发现更多的问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性.笔者提出的这个思考是对“一线三等角”模型的巩固和升华，旨在让学生建立知识网络，与其他的相似进行紧密的练习.

二、微课的创作及使用说明

创作说明：

（1）课题的选择应以中考试题为根本，尤其是将中考的重点、难点制作成微课，及时完善、更新、拓展，建立涵盖中考数学系列专题的微课系统；

（2）要避免偏题、怪题的制作，否则既浪费教师时间，又给学生造成学业负担；

（3）教学设计要科学合理，从旧知进行导入，加强知识之间的联系，建立知识体系；

（4）教学设计要有反思、升华的内容，或迁移到其他专题或精华提炼，能够抛砖引玉，引导学生拓展、提高.

使用说明：

（1）使用地点和时间应根据具体的内容设定，可上课观看，也可课前或课后观看.例如，较难的专题可布置给学生课前观看，上课着重解决观看视频后未能解决的问题、存在的困惑或发现的新问题；拓展资源可让学生课后观看，通过书面测验等方式检验效果；易懂的内容可在课上观看，观看后再探究.

（2）针对课前和课后使用微课，可以让学生通过手机或平板电脑随时随地观看微课，并结合聊天工具进行师生之间和生生之间的交往互动，既为学生创建了自主探索的环境，又为学生提供了交流、质疑、解决问题的平台，促进学生积极思考、自主探索、合作交流等学习习惯的养成.

（3）观看对象也要有选择性，对于较难的内容，可供优等生课后观看，避免出现揠苗助长的现象，使学困生和中等生出现厌恶情绪，对于中等难度或简单内容，可让全班学生观看.

（4）学生在使用微课时，也有一个逐步适应的过程，教师的指导、点拨要到位，如何抵制游戏的诱惑，也需要教师加以引导.

（5）要注意学生学习驱动力的养成，避免强加给学生，占用学生过多的时间.

［1］沈岳夫.知识与能力并重思想与经验齐驱：初中数学专题复习“组块式”教学模式初探［J］. 中学数学，2013（22）：22-24.

［2］周丽霞.基于学生主体论的微课数学教学模式研究［J］. 牡丹江教育学院学报，2015（4）：69-70.

［3］孙丽梅，吴华.现代信息技术支持下的数学微课教学［J］.科教导刊（中旬刊），2013（12）：65-66.

［4］赖艳，侯咏娴，赵姣姣.翻转课堂初探：微课在小学数学中的应用［J］.中小学信息技术教育，2014（3）：36-39.

2017—06—23

康丽（1987—），女，中学一级教师，主要从事数学学科教学研究.