比例导引法中剩余飞行时间的计算方法

陈升富,常思江

(南京理工大学 能源与动力工程学院,江苏 南京 210094)

比例导引法中剩余飞行时间的计算方法

陈升富,常思江

(南京理工大学 能源与动力工程学院,江苏 南京 210094)

为了给比例导引法提供尽可能精确的剩余飞行时间,基于导弹-目标相对运动模型,研究了剩余飞行时间的计算方法。建立了以导弹前置角收敛到0为准则的剩余飞行时间计算模型。对于比例系数为3时的特殊情形,利用解析方法得到了该计算模型的一阶解和二阶解,通过仿真分析对解的精度进行了评估;利用多项式拟合方法得到比例系数为其他值时剩余飞行时间的近似解,仿真分析表明多项式次数为5时拟合精度较好;将研究的剩余飞行时间算法应用于拦截不同类型目标的比例导引过程,结果表明,该算法用于比例导引拦截匀速目标具有良好效果,在导弹速度足够大时也可有效拦截匀加速目标。

导弹;剩余飞行时间;比例导引法;多项式拟合;目标拦截

Abstract:In order to provide an accurate time-to-go to the proportional navigation guidance,the calculation method of time-to-go was studied based on the missile-target relative motion model.The time-to-go caculation model was established according to the criterion of the missle’s leading angle converging to zero.For the special case that the navigation gain was three,the first and second order solutions of the model were obtained by using the analytical method,and the accuracy of these solutions were evaluated by simulation analysis.The approximate solution of time-to-go for the other navigation gain was obtained by using the polynomial fitting method.The simulation results show that the fifth order polynomial fitting has better precision.The time-to-go algorithm was applied to intercepting different types of tagets with proportion navigation guidance.The results show that the algorithm can effectively intercept the constant speed target and the constant acceleration target,as long as the missile’s velecity is large enough.

Keywords:missile;time-to-go;proportional navigation;polynomial fitting;target interception

比例导引法因其鲁棒性和简易性而广泛应用于导弹的制导[1-2]。比例导引法有多种形式,如以目标视线变化率为导引参数的比例导引法以及以剩余飞行时间的倒数为导引参数的比例导引法等,其核心是制导指令与导引参数成一定的比例关系。随着现代制导技术的发展,以比例导引法中剩余飞行时间估算为基础的攻击时间受限、最优制导以及联合攻击等问题越来越受到学者的关注[3-5],研究人员需要根据剩余飞行时间设计出满足特定约束条件的比例导引法。因此,剩余飞行时间的精度对有效实现比例导引至关重要。目前,在联合攻击和最优控制方面,研究人员针对剩余飞行时间的精确估算开展了一些工作。如文献[4]在研究攻击时间受限问题时使用近似碰撞假设,将导弹弹道弧长用线性运动方程的解来近似,从而得到剩余飞行时间的估算公式。文献[5]针对基于比例导引法的联合攻击问题,应用小角度假设求取制导过程中的弹道弧长,进而估算出剩余飞行时间。文献[6]采用时间比例法,通过已知初始条件下的剩余飞行时间求取所需估算条件下的剩余飞行时间,取得较好效果,但并未在多种条件下开展深入研究。

本文以文献[6]的思路为基础,对基于导弹与目标相对运动模型的剩余飞行时间计算方法开展深入研究,得到比例系数为3时的一阶解和二阶解并进行对比分析;采用多项式拟合方法建立了比例系数为其他值时的剩余飞行时间计算模型,对其计算精度开展了评估。最后,将本文研究的剩余飞行时间算法分别应用于拦截匀速目标和匀加速目标的比例导引过程中,给出了仿真分析结果。

1 导弹-目标相对运动模型

考虑平面内拦截静止目标的情况,其导弹和目标的运动关系如图1所示。

图中,M表示导弹,T表示目标;γ,θ,R分别表示导弹弹道角、目标视线角以及弹目连线距离;φ=γ-θ,表示导弹速度矢量前置角(简称前置角);am表示制导指令;(Xm,Ym)表示导弹的位置。假设导弹速度为常值vm,N为比例系数,则导弹与目标之间的运动关系满足如下运动学方程:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

将方程(7)代入方程(3)和方程(6),有

(8)

根据方程(4)和方程(8),有

dR/dφ=(Rcotφ)/(N-1)

(9)

根据弹目运动的物理意义,不妨令φ∈[0,π),初始条件为(φ(0),R(0))。

解方程(9),可得到R关于φ的函数关系式:

(10)

(11)

方程(11)表示初始条件。

从方程(11)可以看出,当前置角φ收敛到0时,弹目连线距离收敛到0,将方程(10)代入方程(8),得到:

(12)

由方程(12)可知,当比例系数N≥2时,如果初始弹目距离R(0)确定,初始前置角φ(0)∈(0,π)时,则导弹拦截过程的前置角φ是关于时间的减函数(当前置角φ=0时,剩余飞行时间通过初始弹目距离与导弹速度之比求取)。因此,剩余飞行时间tgo的计算可以转换为求解使前置角趋于0所需的时间。

2 剩余飞行时间计算方法

2.1 比例系数N=3时的算法

比例导引法中,比例系数N越大导引弹道曲率越小,需用的法向过载也越小[1]。但N过大时,会对测量噪声敏感,导致导引性能下降。因此,比例系数N一般取3到5,且比例系数N=3时,控制能量最优[2]。因此,有必要研究N=3时tgo的准确估算方法。当N=3时,假设前置角φ是一个小角度,对方程(12)中的sinφ分别进行一阶和二阶泰勒展开,所得微分方程如下:

(13)

(14)

当t=0时有φ(0)=0,将此条件代入上述2个微分方程分别求解,得到tgo关于φ、初始条件K和导弹速度vm的函数关系:

(15)

(16)

解析表达式(15)、式(16)分别为N=3时tgo的一阶解和二阶解。

2.2 比例系数为其他值时的算法

为了获得比例系数为其他值时tgo的计算方法,对方程(12)进行积分并代入终止条件t=tf时,有φ(tf)=0,则

(17)

式中:tf为拦截终点的时间。

设φ1(t1)和φ2(t2)分别为K=K1以及K=K2时方程(14)的解。则

(18)

式中:

(19)

式(19)表明,如果前置角φ1(t1)趋于0的时间t1已知,则前置角φ2(t2)趋于0的时间可以通过求关于已知时间t1的比例关系来获得。因此,tgo可通过以下比例关系来计算:

tgo(φ,K)=(K/Kb)tgo,b(φ,Kb)

(20)

式中:下标b代表已知的基础条件(φ,Rb(0)),tgo,b表示该基础条件对应的tgo(可称为基础解),K和Kb可通过方程(11)获得。

同理对于导弹速度不同的拦截情况,有

tgo(φ,K)=(K/Kb)(vm/vm,b)tgo,b(φ,Kb)

(21)

式中:vm,b表示求取基础解的导弹速度。当不同前置角和不同比例系数的基础解已知时,任意所求条件的tgo都可以通过式(20)或式(21)获得。

根据以上分析,如果某个比例系数N关于前置角的基础解已知,则任意初始条件下的tgo都可以通过关于该基础解的时间比例关系来获得。为了计算每一个比例系数N下的tgo,实际应用时需要存储每一个N所对应的基础解。从工程应用角度,这是较为不便的。本文借鉴文献[6]的思路,选取一定范围内的N和φ分别计算出对应的基础解,然后将其拟合成关于N的多项式:

(22)

式中:多项式的系数ai(φ)是关于前置角φ的函数,j指多项式拟合的次数。

因此,tgo的具体算法如下:①通过式(10)计算不同条件下的K和Kb;②通过式(22)计算基础解tgo,b(N,φ(0),Kb);③通过式(21)计算tgo(N,φ(0),K)。

2.3 仿真与分析

本节对上述tgo算法的性能进行仿真分析。为了验证N=3时式(15)和式(16)的估算性能,取R0=6 000 m,φ=120°,vm=300 m/s,并与文献[5]所给公式:

(23)

进行对比。

所得结果如图2所示。图中的实际值是指利用四阶龙格库塔法数值计算出的tgo,Δtgo指估算值与实际值之差。

由图2(a)可知,3种算法所得tgo随着时间的增加最终都趋于实际值。由图2(b),文献[5]的初始估算误差最大,其次是一阶解,而二阶解全程的估算误差都趋于0。这说明,当N=3时,在较大前置角(φ=120°)条件下,3种算法中二阶解的估算精度最高。需要指出的是,一阶解和二阶解尽管是在φ为小角度条件下得到的,但对于较大φ的情形仍适用。

为了拟合多项式,需要计算不同比例系数N和不同前置角φ下的基础解。考虑到工程应用,比例系数选N=2～10(步长0.1),前置角φ(0)=0°～170°(步长0.2°),初始弹目距离Rb=3 000 m,导弹速度vm=200 m/s。

为得到更为准确的多项式,将数值计算得到的基础解分别进行4次到7次的多项式拟合。在R=6 000 m,vm=500 m/s,φ(0)=0°～170°(步长5°)的条件下,验证不同阶次多项式的计算精度。所得结果如图3所示,图中,纵坐标为多项式计算值与实际值之差Δtgo。

由图3可知,5次拟合多项式的计算精度较好且计算量相对较小。图4(a)～4(f)为5次多项式系数随前置角φb的变化关系图,其中a1～a6分别表示5次拟合多项式的系数。

在N=5,R=8 000 m,vm=400 m/s条件下,考察上述5次多项式在不同初始前置角φ0下的计算精度并与文献[5]和文献[7]的算法进行比较,其中文献[7]所给公式:

(24)

所得结果如图5所示,图中,“本文方法”是指基于5次拟合多项式求得基础解并用于求解tgo的算法。

由图5可知,当前置角φ>100°时,文献[5]和文献[7]的估算精度迅速下降,而本文方法能在φ∈[0,π)的范围内均具有良好精度,可较好地实现大前置角下tgo的估算。

3 剩余飞行时间算法的应用

3.1 拦截匀速目标的比例导引过程中的应用

本文所研究的剩余飞行时间的算法可应用于拦截匀速目标的比例导引。导弹与目标的运动关系如图6所示。下标p表示预测拦截点。假设目标的加速度at=0,vt为非零常数,h表示目标的预测飞行距离。

主要思想是通过构建导弹与目标飞行时间的误差方程来预测拦截点,进而计算tgo。假设导弹在计算拦截点的时间内静止,则误差方程可表示为

(25)

将上述误差方程对h求一阶导数,可得:

(26)

由式(10)求得:

(27)

由弹目相对几何关系求得:

(28)

然后可利用迭代方法(如牛顿-拉夫森迭代法)求得预测拦截点。

3.2 拦截匀加速目标的比例导引过程中的应用

当待拦截目标是做加速度已知的匀加速运动时,同样可以通过预测拦截点的方法来计算tgo,与3.1节类似,建立误差方程:

(29)

该误差方程关于h的一阶导数:

(30)

式中:at为目标的常值加速度,vt,0为目标初始速度,其余导数的求法与3.1节类似。

3.3 仿真和分析

对于目标为匀速运动情况,取R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°。仿真结果如图7所示。图中,k为迭代次数,表征预测点的收敛速度;Δh表示h的实际值与预测值之差。

由图7可知,对于不同弹道角γ,通过3～4次迭代之后tgo和h的值迅速稳定,说明本文方法具有鲁棒性,且具有较高的计算精度。

对于拦截目标为匀加速运动的情况,取R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,N=3,γ=15°,60°,90°,目标加速度at=20 m/s2,仿真结果如图8。

从图8可以看出,与拦截匀速目标相似,本文方法也适用于已知加速度的匀加速目标拦截。在收敛速度及计算精度方面具有较好效果。需要指出的是,拦截匀加速目标时,要求导弹必须具有足够大的速度(vm足够大),否则很容易产生脱靶。

3.4 法向过载分析

在工程实践应用中,导弹所能提供的法向过载是有限的。为了顺利实现比例导引过程,需要研究不同条件下比例导引过程中的最大法向过载nmax。根据法向过载的定义[1]:

(31)

式中:an为导弹的法向加速度,g为重力加速度,取9.8 m/s2。

在γ=15°,60°,90°的条件下,针对不同比例导引系数和不同拦截目标进行了仿真。所得结果如表1和表2所示。表中情况1指在R0=10 000 m,vm=400 m/s,vt=200 m/s的条件下拦截匀速目标;情况2指在R0=10 000 m,vm=600 m/s,vt,0=60 m/s,at=20 m/s2的条件下拦截匀加速目标。

表1 N=3时不同拦截条件下nmax

表2 N=4时不同拦截条件下nmax

由表1和表2可知,在相同拦截条件下比例导引系数越大所需的最大法向过载nmax越大。在不同仿真条件下,针对不同拦截情况,由表1和表2可知,导弹在拦截过程中所需的最大法向过载nmax都相对较小,因此能够有效实现比例导引法拦截过程。

4 结束语

本文以导弹-目标相对运动模型为基础,对比例导引法中剩余飞行时间的计算方法及应用开展了深入研究。通过理论推导与仿真分析,可得到如下结论:

①比例系数N=3时,通过二阶泰勒展开得到的剩余飞行时间计算公式在大前置角下估算精度较高且收敛快速;

②当基础解的拟合次数为5时,所得多项式估算的精度较高且能满足大前置角下的准确估算;

③本文所研究的剩余飞行时间算法用于匀速目标的比例导引拦截时具有良好效果,并在导弹速度vm足够大时也可有效实现匀加速目标的比例导引拦截。

[1] 钱杏芳,林瑞雄,赵亚男.导弹飞行力学[M].北京:北京理工大学出版社,2012. QIAN Xing-fang,LIN Rui-xiong,ZHAO Ya-nan.Missile flight mechanics[M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,2012.(in Chinese).

[2] ZARCHAN P.Tactical and strategic missile guidance[M]//Progress in Astronautics and Aeronautics.Reston,VA:AIAA,2012:13-34.

[3] RYOO C K,CHO H,TANK M J.Optimal guidance law with terminal impact angle constraint[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2006,28(4):724-732.

[4] JESON I S,LEE J I,TANK M J.Impact-time-control guidance law for anti-ship missiles[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2006,14(2):260-266.

[5] JESON I S,LEE J I.Homing guidance law for cooperative attack of multiple missiles[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2010,33(1):484-492.

[6] DHANANJAY N,GHOSE D.Accurate time-to-go estimation for proportional navigation guidance[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2014,37(4):1 378-1 383.

[7] SATADAL G D.Unified time-to-go algorithms for proportional navigation class of guidance[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2016,39(6):1 188-1 205.

StudyonTime-to-goAlgorithminProportionalNavigationGuidance

CHEN Sheng-fu,CHANG Si-jiang

(School of Energy and Power Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

2017-04-26

国家自然科学基金项目(11402117);中国博士后科学基金项目(2013M541676)

陈升富(1993- ),男,硕士研究生,研究方向为弹箭飞行制导与控制。E-mail:chenshengfu@njust.edu.cn。

常思江(1983- ),男,副研究员,博士,研究方向为外弹道设计理论、弹箭飞行控制技术。E-mail:ballistics@126.com。

TJ303.4

A

1004-499X(2017)03-0014-06